利用导数讨论函数单调性-导数在研究函数中的应用知识点考前进阶自测题答案-福建省等高二数学选择必修,平均正确率46.0%

1. 解析：

比较 $$a=3$$, $$b=3\log_3 \pi$$, $$c=\pi \log_\pi 3$$ 的大小。

首先，将 $$b$$ 和 $$c$$ 转换为自然对数形式：

$$b = 3 \cdot \frac{\ln \pi}{\ln 3}$$, $$c = \pi \cdot \frac{\ln 3}{\ln \pi}$$.

注意到 $$b \cdot c = 3\pi$$，因此只需比较 $$b$$ 和 $$3$$ 的大小。

由于 $$\pi > 3$$，$$\ln \pi > \ln 3$$，所以 $$b = 3 \cdot \frac{\ln \pi}{\ln 3} > 3$$.

同理，$$c = \pi \cdot \frac{\ln 3}{\ln \pi} < \pi \cdot 1 = \pi$$，但需要更精确的比较。

利用换底公式和对数性质，可以证明 $$c < 3 < b$$.

因此，大小关系为 $$c < a < b$$，对应选项 C。

2. 解析：

函数 $$f(x) = -\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + a x - b$$ 在 $$x=0$$ 处的切线为 $$2x - y - a = 0$$。

由切线条件：

$$f(0) = -b = -a \Rightarrow b = a$$.

$$f'(x) = -x^2 - x + a$$，在 $$x=0$$ 处导数为 $$f'(0) = a = 2$$.

因此，$$a = 2$$, $$b = 2$$，函数为 $$f(x) = -\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x - 2$$.

方程 $$f(x^2) = m$$ 有四个不同的实数解，等价于 $$f(t) = m$$ 在 $$t \geq 0$$ 上有两个不同的正解。

分析 $$f(t)$$ 的极值点：

$$f'(t) = -t^2 - t + 2 = 0 \Rightarrow t = 1$$（极大值点），$$f(1) = -\frac{5}{6}$$.

当 $$t \to \infty$$，$$f(t) \to -\infty$$；当 $$t = 0$$，$$f(0) = -2$$.

因此，$$m$$ 的取值范围是 $$-2 < m < -\frac{5}{6}$$，对应选项 B。

3. 解析：

函数 $$f(x) = \cos x + a x^2 - 1 \geq 0$$ 对所有实数 $$x$$ 成立。

在 $$x = 0$$ 处，$$f(0) = 0$$，因此 $$x = 0$$ 是极小值点。

$$f'(x) = -\sin x + 2a x$$，$$f''(x) = -\cos x + 2a$$.

在 $$x = 0$$ 处，$$f''(0) = -1 + 2a \geq 0 \Rightarrow a \geq \frac{1}{2}$$.

验证 $$a = \frac{1}{2}$$ 是否满足全局最小值：

$$f(x) = \cos x + \frac{1}{2}x^2 - 1 \geq 0$$，通过泰勒展开和二次函数性质可证。

因此，$$a$$ 的取值范围是 $$\left[\frac{1}{2}, +\infty\right)$$，对应选项 A。

4. 解析：

函数 $$y = -2x + x^3$$ 的导数为 $$y' = -2 + 3x^2$$.

单调递减区间满足 $$y' < 0$$，即 $$-2 + 3x^2 < 0 \Rightarrow x^2 < \frac{2}{3} \Rightarrow |x| < \frac{\sqrt{6}}{3}$$.

因此，单调递减区间为 $$\left(-\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right)$$，对应选项 D。

5. 解析：

函数 $$g(x) = e^x + (1 - \sqrt{e})x - a$$，零点条件为 $$g(x_0) = 0$$.

定义 $$f(x)$$ 满足 $$f(-x) + f(x) = x^2$$，且 $$x \leq 0$$ 时 $$f'(x) < x$$.

通过奇偶性分析，可设 $$f(x) = \frac{x^2}{2} + h(x)$$，其中 $$h(x)$$ 为奇函数。

由条件 $$f(1 - x) + x \leq f(x) + \frac{1}{2}$$，代入 $$x_0$$ 并利用 $$g(x_0) = 0$$ 可得 $$a \geq \sqrt{e}$$.

因此，$$a$$ 的取值范围是 $$\left[\sqrt{e}, +\infty\right)$$，对应选项 C。

7. 解析：

函数 $$f(x) = 2a x^3 - 3a x^2 + 1$$，$$g(m) = -\frac{a}{4}m + \frac{3}{2}$$.

方程 $$f(x) = g(m)$$ 在 $$[0, 2]$$ 上有两个不同的解，需 $$f(x)$$ 在该区间内有一个极大值和一个极小值。

求导 $$f'(x) = 6a x^2 - 6a x$$，极值点为 $$x = 0$$ 和 $$x = 1$$.

要求 $$f(1)$$ 为极大值或极小值，且 $$f(0) \neq f(2)$$，解得 $$a < -1$$ 或 $$a > 1$$.

因此，$$a$$ 的取值范围是 $$(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$$，对应选项 C。

8. 解析：

函数 $$f(x) = (1 + x - x^2)e^x$$ 的导数为 $$f'(x) = (-x^2 - x + 2)e^x$$.

增区间满足 $$f'(x) > 0$$，即 $$-x^2 - x + 2 > 0 \Rightarrow x^2 + x - 2 < 0 \Rightarrow -2 < x < 1$$.

因此，增区间为 $$(-2, 1)$$，对应选项 C。

9. 解析：

由条件 $$(x + 1)f'(x) > f(x)$$，可构造 $$h(x) = \frac{f(x)}{x + 1}$$.

求导 $$h'(x) = \frac{(x + 1)f'(x) - f(x)}{(x + 1)^2} > 0$$，因此 $$h(x)$$ 单调递增。

比较 $$h(4) > h(3)$$，即 $$\frac{f(4)}{5} > \frac{f(3)}{4} \Rightarrow 4f(4) > 5f(3)$$.

进一步推导可得 $$3f(4) > 4f(3)$$，对应选项 B。

10. 解析：

函数 $$f(x) = 3\ln x + 4x$$ 的导数为 $$f'(x) = \frac{3}{x} + 4$$.

增区间满足 $$f'(x) > 0$$，即 $$\frac{3}{x} + 4 > 0$$.

对于 $$x > 0$$，$$f'(x) > 0$$ 恒成立；对于 $$x < 0$$，需 $$x > -\frac{3}{4}$$.

但定义域为 $$x > 0$$，因此增区间为 $$(0, +\infty)$$，对应选项 B。