利用导数求解方程解的个数-5.3 导数在研究函数中的应用知识点回顾进阶选择题自测题解析-甘肃省等高二数学选择必修,平均正确率32.00000000000001%

1、['利用导数求解方程解的个数'， '根据函数零点个数求参数范围']

正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {x^{2}-1， x < 1} \\ {\frac{\operatorname{l n} x} {x}， x \geq1} \\ \end{array} \right.$$，关于$${{x}}$$的方程$$2 [ f ( x ) ]^{2}+( 1-2 m ) f ( x )-m=0$$，有$${{5}}$$个不同的实数解，则$${{m}}$$的取值范围是（）

A.$$\{-1， \frac{1} {e} \}$$

B.$$\left( 0， \frac{1} {e} \right)$$

C.$$( 0，+\infty)$$

D.$$\left( 0， \frac{1} {e} \right]$$

2、['导数与最值'， '导数与单调性'， '利用导数求解方程解的个数']

正确率40.0% 已知函数 $$f ( x )=2 \operatorname{l n} x$$ ， $$g ( x )=x^{3}-2 e x^{2}+a x$$ ，其中 $${{e}}$$ 为自然对数的底数，若方程 $$f ( x )=g ( x )$$ 存在两个不同的实根，则 $${{a}}$$ 的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$(-\infty， \frac{2} {e} )$$

B.$$(-\infty， \frac{2} {e}+e^{2} )$$

C.$$(-\infty， e^{2} )$$

D.$$(-\infty， \frac{2} {e}-e^{2} )$$

3、['导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数求解方程解的个数']

正确率19.999999999999996%若$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$$有两个极值点$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$且$$f \left( \begin{matrix} {x_{1}} \\ \end{matrix} \right) \ =x_{1}$$，则关于$${{x}}$$的方程$$3 [ ~ ( f ~ \! ~ ( \mathrm{\ensuremath{x}} ) ~ ]^{2}+2 a f ~ \! ~ ( \underbrace{\textbf{x}} ) ~+b=0$$的不同实根个数为（）

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.不确定

4、['导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数求解方程解的个数'， '命题的真假性判断'， '函数中的恒成立问题']

正确率19.999999999999996%已知函数$$f \left( x \right) \!=\! x^{3} \!-\! 2 x^{2} \!-\! 4 x \!-\! 7$$，其导函数为$$f^{'} \left( x \right)$$，则以下$${{4}}$$个命题：
$${①{f}{{(}{x}{)}}}$$的单调减区间是$$\left(-\frac2 3， 2 \right)， \textrm{} \oplus f \left( x \right)$$的极小值是$$- 1 5 ; \， \odot\， f ( x )$$有且只有一个零点；$${④}$$当$${{a}{>}{2}}$$时，对任意的$$x \! > \! 2 x \! \neq\! a$$，恒有$$f \left( x \right) > f \left( a \right)+f^{'} \left( a \right) \left( x-a \right)$$．
其中真命题的个数为$${{(}{)}}$$

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

5、['分段函数与方程、不等式问题'， '导数与单调性'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数求解方程解的个数'， '利用导数解决函数零点问题'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象']

正确率19.999999999999996%若函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {\operatorname{s i n} x \;， x < 1} \\ {x^{3}-9 x^{2}+2 5 x+m， x \geqslant1} \\ \end{array} \right.$$与函数$$g ( x )=x$$的图像有$${{4}}$$个不同的交点，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）

A.$$( 1 6， 2 0 )$$

B.$$(-2 0，-1 6 )$$

C.$$(-\infty，-2 0 ) \cup(-1 6，+\infty)$$

D.$$(-\infty， 1 6 ) \cup( 2 0，+\infty)$$

6、['函数图象的平移变换'， '利用导数求解方程解的个数'， '根据函数零点个数求参数范围'， '利用导数解决函数零点问题']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} \frac{1} {3} x+\frac{4} {3}， x \leqslant0，} \\ {} & {{} \operatorname{l n} ( x+1 )， x > 0，} \\ \end{aligned} \right.$$将函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象向右平移$${{1}}$$个单位得到函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象，若函数$$y=g ( x )-m x$$有两个零点，则实数$${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$[ \frac{1} {e}， \frac{1} {2} )$$

B.$$[ \frac{1} {e}， \frac{1} {2} ]$$

C.$$[ \frac{1} {3}， \frac{1} {e} )$$

D.$$[ \frac{1} {3}， \frac{1} {e} ]$$

7、['利用导数求解方程解的个数'， '函数零点存在定理']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=x-\operatorname{l n} ( x+1 )-1$$，则此函数$${{(}{)}}$$

A.没有零点

B.有唯一零点

C.有两个零点$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$，并且$$- 1 < x_{1} < 0， 1 < x_{2} < 2$$

D.有两个零点$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$，并且$$1 < x_{1}+x_{2} < 3$$

8、['利用导数讨论函数单调性'， '利用导数求解方程解的个数'， '根据函数零点个数求参数范围'， '函数零点存在定理']

正确率40.0%定义：$$[ \operatorname{l n} ( g ( x ) ) ]^{\prime}=\frac{1} {g ( x )} \cdot g^{\prime} ( x )$$.设函数$$f ( x )=x^{2}+2 x+a， \， \， \， g ( x )=8 l n ( x+1 )$$，若$$\exists x_{1}， \， \， x_{2} \in( 0， 3 )， \， \， x_{1} \neq x_{2}，$$使得$$f ( x_{1} )=g ( x_{1} )， \， \， \， f ( x_{2} )=g ( x_{2} )$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$( 1 6 l n 2-1 5， 0 )$$

B.$$( 1 6 l n 2-1 5， 8 l n 2-3 )$$

C.$$( 0， 8 l n 2-3 )$$

D.$$( 0， 1 5-1 6 l n 2 )$$

9、['导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数求解方程解的个数']

正确率40.0%若三次函数$$f ( x )=x^{3}+b x^{2}+c x+d$$有极值点$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$且$$f ( x_{1} )=x_{1}$$，设$${{g}{(}{x}{)}}$$是$${{f}{(}{x}{)}}$$的导函数，那么关于$${{x}}$$的方程$$g ( f ( x ) )=0$$的不同实数根的个数为（）

A.$${{6}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{3}}$$

10、['利用导数求解方程解的个数']

正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}}$$是定义在$${{R}}$$上的奇函数，且当$${{x}{>}{0}}$$时，$$f ( x )=\frac{x^{2}-1} {e^{x}}$$，则对任意$${{m}{∈}{R}}$$，函数$$f \left( \textit{f} \left( \frac{\textit{}} {\mu} \right) \right) \ -m=0$$的根的个数至多为（）

A.$${{3}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{9}}$$

1. 解析：

首先分析函数$$f(x)$$的分段情况：

当$$x < 1$$时，$$f(x) = x^2 - 1$$，其值域为$$[-1, +\infty)$$。

当$$x \geq 1$$时，$$f(x) = \frac{\ln x}{x}$$，求导得$$f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$，极大值在$$x = e$$处取得，值为$$\frac{1}{e}$$，且$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$$。

设$$t = f(x)$$，方程转化为$$2t^2 + (1 - 2m)t - m = 0$$，解得$$t = \frac{2m - 1 \pm \sqrt{(1 - 2m)^2 + 8m}}{4}$$。

为了使原方程有5个不同的实数解，$$t$$必须满足两个不同的值，一个在$$(-1, 0)$$，另一个在$$(0, \frac{1}{e}]$$。

解得$$m \in \left(0, \frac{1}{e}\right)$$，故选B。

2. 解析：

方程$$2\ln x = x^3 - 2e x^2 + a x$$有两个不同的实根。

设$$h(x) = x^3 - 2e x^2 + a x - 2\ln x$$，求导得$$h'(x) = 3x^2 - 4e x + a - \frac{2}{x}$$。

要求$$h(x)$$有两个极值点且极值点函数值异号。

通过分析极值点条件，得到$$a < \frac{2}{e} + e^2$$，故选B。

3. 解析：

设$$f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$$，有两个极值点$$x_1, x_2$$且$$f(x_1) = x_1$$。

方程$$3(f(x))^2 + 2a f(x) + b = 0$$的解对应于$$f(x) = x_1$$或$$f(x) = x_2$$。

由于$$f(x_1) = x_1$$，$$x_1$$是一个不动点，而$$f(x_2) \neq x_2$$。

因此，方程有3个不同的实数解，故选B。

4. 解析：

函数$$f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x - 7$$，导数为$$f'(x) = 3x^2 - 4x - 4$$。

① 单调减区间为$$\left(-\frac{2}{3}, 2\right)$$，正确。

② 极小值为$$f(2) = -15$$，正确。

③ $$f(x)$$在$$x \to -\infty$$时趋向$$-\infty$$，在$$x \to +\infty$$时趋向$$+\infty$$，且只有一个极小值点，故有且只有一个零点，正确。

④ 当$$a > 2$$时，$$f(x)$$在$$x > 2$$时单调递增，故$$f(x) > f(a) + f'(a)(x - a)$$，正确。

故选D。

5. 解析：

函数$$f(x)$$与$$g(x) = x$$有4个交点。

当$$x < 1$$时，$$\sin x = x$$只有$$x = 0$$一个解。

当$$x \geq 1$$时，$$x^3 - 9x^2 + 25x + m = x$$，即$$x^3 - 9x^2 + 24x + m = 0$$。

设$$h(x) = x^3 - 9x^2 + 24x$$，求导得$$h'(x) = 3x^2 - 18x + 24$$，极值点在$$x = 2$$和$$x = 4$$处。

要求$$h(x) + m = 0$$有3个不同的实数解，且$$h(2) + m > 0$$，$$h(4) + m < 0$$。

解得$$m \in (-20, -16)$$，故选B。

6. 解析：

函数$$g(x)$$为$$f(x)$$向右平移1个单位，即$$g(x) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{3}(x - 1) + \frac{4}{3}, & x \leq 1, \\ \ln x, & x > 1. \end{array}\right.$$

方程$$g(x) - m x = 0$$有两个零点。

当$$x \leq 1$$时，$$\frac{x + 3}{3} = m x$$，解得$$x = \frac{3}{3m - 1}$$（需$$m \neq \frac{1}{3}$$）。

当$$x > 1$$时，$$\ln x = m x$$，需有且仅有一个解。

通过分析切线条件，得到$$m \in \left[\frac{1}{e}, \frac{1}{2}\right)$$，故选A。

7. 解析：

函数$$f(x) = x - \ln(x + 1) - 1$$，求导得$$f'(x) = 1 - \frac{1}{x + 1}$$。

在$$x > 0$$时，$$f'(x) > 0$$；在$$-1 < x < 0$$时，$$f'(x) < 0$$。

$$f(0) = -1$$，$$f(1) = -\ln 2$$，$$f(2) = 1 - \ln 3$$。

因此，$$f(x)$$在$$(-1, 0)$$和$$(1, 2)$$各有一个零点，且$$1 < x_1 + x_2 < 3$$，故选D。

8. 解析：

设$$h(x) = f(x) - g(x) = x^2 + 2x + a - 8\ln(x + 1)$$。

要求$$h(x)$$在$$(0, 3)$$上有两个不同的零点。

求导得$$h'(x) = 2x + 2 - \frac{8}{x + 1}$$，极值点在$$x = 1$$处。

需满足$$h(0) = a > 0$$，$$h(1) = 3 + a - 8\ln 2 < 0$$，$$h(3) = 15 + a - 8\ln 4 > 0$$。

解得$$a \in (16\ln 2 - 15, 8\ln 2 - 3)$$，故选B。

9. 解析：

设$$f(x) = x^3 + b x^2 + c x + d$$，导数为$$g(x) = 3x^2 + 2b x + c$$。

方程$$g(f(x)) = 0$$的解对应于$$f(x) = x_1$$或$$f(x) = x_2$$。

由于$$f(x_1) = x_1$$，$$f(x_2) \neq x_2$$，且$$f(x)$$是三次函数，故$$f(x) = x_1$$有3个解，$$f(x) = x_2$$有2个解。

因此，共有5个不同的实数解，故选B。

10. 解析：

函数$$f(x)$$是奇函数，当$$x > 0$$时，$$f(x) = \frac{x^2 - 1}{e^x}$$。

求导得$$f'(x) = \frac{-x^2 + 2x + 1}{e^x}$$，极大值在$$x = 1 + \sqrt{2}$$处。

方程$$f(f(x)) - m = 0$$的解对应于$$f(x) = c$$，其中$$c$$是$$f(y) = m$$的解。

由于$$f(x)$$的值域为$$(-\infty, +\infty)$$，但$$f(f(x))$$的复合性质限制了根的个数。

最多有3个不同的实数解，故选A。

_{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}