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正确率60.0%函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{(}{\sqrt {e}}{{)}^{x}}}$$的图象与函数$${{g}{(}{x}{)}{=}{2}{−}{{l}{n}}{x}}$$的图象交点横坐标所在的区间可能为（）
B
A.$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$
B.$${{(}{1}{，}{2}{)}}$$
C.$${{(}{2}{，}{3}{)}}$$
D.$${{(}{3}{，}{4}{)}}$$
2、['导数与单调性'， '利用导数解决函数零点问题']正确率60.0%已知函数$${{y}{=}{{x}^{3}}{−}{3}{x}{+}{c}}$$的图象与$${{x}}$$轴恰有两个公共点，则$${{c}{=}}$$（）
A
A.$${{−}{2}}$$或$${{2}}$$
B.$${{−}{9}}$$或$${{3}}$$
C.$${{−}{1}}$$或$${{1}}$$
D.$${{−}{3}}$$或$${{1}}$$
3、['一元二次方程根与系数的关系'， '一元二次方程根的范围问题'， '利用导数解决函数零点问题']正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=a \mathrm{e}^{x}-x+\frac{3 \mathrm{e}^{2 x}} {\mathrm{e}^{x}-x}$$有三个不同的零点$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{，}{{x}_{3}}}$$，且$${{x}_{1}{<}{{x}_{2}}{<}{{x}_{3}}}$$，则$$( 1-\frac{x_{1}} {\mathrm{e}^{x_{1}}} )^{2} ( 1-\frac{x_{2}} {\mathrm{e}^{x_{2}}} ) ( 1-\frac{x_{3}} {\mathrm{e}^{x_{3}}} )$$的值为（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{9}}$$
4、['简单复合函数的导数'， '导数与单调性'， '导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数解决函数零点问题'， '根据函数零点个数求参数范围'， '命题的真假性判断'， '函数零点个数的判定'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {} & {e^{x}， x < 0} \\ {} & {4 x^{3}-6 x^{2}+1， x \geq0} \\ \end{array} \right.$$，其中$${{e}}$$为自然对数的底数，则对于函数$${{g}{(}{x}{)}{=}{{f}^{2}}{(}{x}{)}{−}{f}{(}{x}{)}{+}{a}}$$有下列四个命题：
命题$${{1}}$$存在实数$${{a}}$$使得函数$${{g}{(}{x}{)}}$$没有零点
命题$${{2}}$$存在实数$${{a}}$$使得函数$${{g}{(}{x}{)}}$$有$${{2}}$$个零点
命题$${{3}}$$存在实数$${{a}}$$使得函数$${{g}{(}{x}{)}}$$有$${{4}}$$个零点
命题$${{4}}$$存在实数$${{a}}$$使得函数$${{g}{(}{x}{)}}$$有$${{6}}$$个零点
其中，正确的命题的个数是
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
5、['利用导数解决函数零点问题'， '函数零点的值或范围问题'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {\operatorname{l n} x， \; \; x > 0} \\ {2 x+1， \; \; x \leqslant0} \\ \end{array} \right.$$，若方程$${{f}{（}{x}{）}{＝}{a}{x}}$$有三个不同的实数根$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{，}{{x}_{3}}}$$，且$${{x}_{1}{<}{{x}_{2}}{<}{{x}_{3}}}$$，则$${{x}_{1}{－}{{x}_{2}}}$$的取值范围是
B
A.$$( \frac{1} {e}-e， \ \frac{e} {1-2 e} )$$
B.$$( \frac{2 e^{2}} {1-2 e}， ~-\frac{3} {2} )$$
C.$$( ~ \frac{1} {2}-e， ~ \frac{1-e} {2 e-1} )$$
D.$$( \frac{1} {2}-e， \ \frac{1} {e}-1 )$$
6、['利用导数解决函数零点问题'， '分段函数的图象'， '函数零点的值或范围问题']正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {e^{x}，} & {x < 0} \\ {4 x^{3}-6 x^{2}+1，} & {x \geqslant0} \\ \end{array} \right.$$，其中$${{e}}$$为自然对数的底数，则函数$${{g}{(}{x}{)}{=}{3}{[}{f}{(}{x}{)}{{]}^{2}}{−}{{1}{0}}{f}{(}{x}{)}{+}{3}}$$的零点个数为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
7、['导数与单调性'， '导数与最值'， '导数与极值'， '导数的几何意义'， '利用导数解决函数零点问题']正确率0.0%已知函数$$f ( x )=x e^{x} \mathrm{-m x}+\frac{m} {2} ( e$$为自然对数的底数$${{)}}$$在$${{(}{0}{{，}{+}{∞}}{)}}$$上有两个零点，则$${{m}}$$的范围是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{(}{0}{，}{e}{)}}$$
B.$${{(}{0}{，}{2}{e}{)}}$$
C.$${{(}{e}{{，}{+}{∞}}{)}}$$
D.$${{(}{2}{e}{{，}{+}{∞}}{)}}$$
8、['导数与极值'， '利用导数解决函数零点问题']正确率60.0%直线$${{y}{=}{a}}$$与函数$${{y}{=}{{x}^{3}}{−}{3}{x}}$$的图象有相异三个交点，则$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$${（{−}{2}{，}{2}{）}}$$
B.$${（{−}{2}{，}{0}{）}}$$
C.$${（{0}{，}{2}{）}}$$
D.$${（{2}{，}{+}{∞}{）}}$$
9、['利用导数解决函数零点问题']正确率60.0%函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{x}{−}{{s}{i}{n}}{x}}$$的零点个数有（）个
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
10、['利用导数求参数的取值范围'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数解决函数零点问题']正确率19.999999999999996%已知函数$$f \left( x \right)=a-\frac{1} {2} x^{2} \left( \frac{1} {e} \leqslant x \leqslant e \right) ( e$$为自然对数的底数)与$${{g}{{(}{x}{)}}{=}{{l}{n}}{x}}$$的图象上存在关于$${{x}}$$轴对称的点，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
B
A.$$\left[ \frac{1} {2}， \frac{1} {2 e^{2}}+1 \right]$$
B.$$\left[ \frac{1} {2}， \frac{e^{2}} {2}-1 \right]$$
C.$$\left[ \frac{1} {2 e^{2}}+1， \frac{1} {2} e^{2}-1 \right]$$
D.$$\left[ \frac{1} {2} e^{2}-1，+\infty\right]$$
1. 设$$f(x) = (\sqrt{e})^x = e^{x/2}$$，$$g(x) = 2 - \ln x$$。求交点即解方程$$e^{x/2} = 2 - \ln x$$。代入区间端点：
函数连续，由介值定理知交点在$$(1,2)$$内，故选B。
2. 函数$$y = x^3 - 3x + c$$与x轴有两个交点，即方程$$x^3 - 3x + c = 0$$有两个不同实根。求导得$$y' = 3x^2 - 3$$，临界点为$$x = \pm1$$。极值点函数值为$$y(1) = c - 2$$，$$y(-1) = c + 2$$。若函数与x轴相切，则极值点为零点：
故选A。
3. 设$$t = e^x - x$$，则原式可化为$$f(x) = a e^x - x + \frac{3e^{2x}}{t} = 0$$。注意到$$t = e^x - x > 0$$，且$$t' = e^x - 1$$，当$$x=0$$时$$t$$取最小值$$1$$。当$$x \to -\infty$$，$$t \to +\infty$$；当$$x \to +\infty$$，$$t \to +\infty$$。设$$t_1 = e^{x_1} - x_1$$，$$t_2 = e^{x_2} - x_2$$，$$t_3 = e^{x_3} - x_3$$，则$$(1 - \frac{x_1}{e^{x_1}})^2 (1 - \frac{x_2}{e^{x_2}})(1 - \frac{x_3}{e^{x_3}}) = \frac{t_1^2 t_2 t_3}{e^{2x_1 + x_2 + x_3}}$$。通过分析零点条件可得值为1，故选A。
4. 分析$$g(x) = f^2(x) - f(x) + a$$的零点个数，等价于解$$f(x) = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4a}}{2}$$。根据$$f(x)$$的分段性质：
通过调整$$a$$，可以使得$$g(x)$$有0、2、4、6个零点，故四个命题均正确，选D。
5. 方程$$\ln x = a x$$（$$x > 0$$）和$$2x + 1 = a x$$（$$x \leq 0$$）有三个不同实根。对于$$x \leq 0$$，$$x = \frac{-1}{a - 2}$$需满足$$x \leq 0$$，即$$a > 2$$。对于$$x > 0$$，$$\ln x = a x$$需有两个解，通过求导分析可得$$a \in (0, \frac{1}{e})$$。综合得$$a \in (0, \frac{1}{e})$$，进一步计算$$x_1 - x_2$$的范围为$$(\frac{1}{2} - e, \frac{1}{e} - 1)$$，故选D。
6. 设$$y = f(x)$$，则$$g(x) = 3y^2 - 10y + 3 = 0$$的解为$$y = \frac{1}{3}$$或$$y = 3$$。分析$$f(x) = \frac{1}{3}$$和$$f(x) = 3$$的解：
总计5个零点，选C。
7. 函数$$f(x) = x e^x - m x + \frac{m}{2}$$在$$(0, +\infty)$$有两个零点。设$$h(x) = e^x - m + \frac{m}{2x}$$，求导分析极值点条件可得$$m \in (0, 2e)$$，故选B。
8. 函数$$y = x^3 - 3x$$的导数为$$y' = 3x^2 - 3$$，极值点为$$x = \pm1$$，极值为$$y(1) = -2$$，$$y(-1) = 2$$。直线$$y = a$$与曲线有三个交点需满足$$-2 < a < 2$$，故选A。
9. 函数$$f(x) = x - \sin x$$的导数为$$f'(x) = 1 - \cos x \geq 0$$，且$$f(0) = 0$$。当$$x \to +\infty$$，$$f(x) \to +\infty$$；当$$x \to -\infty$$，$$f(x) \to -\infty$$。由单调性和连续性知仅有一个零点，选A。
10. 题意即$$a - \frac{1}{2}x^2 = -\ln x$$在$$\left[\frac{1}{e}, e\right]$$有解。设$$h(x) = \frac{1}{2}x^2 - \ln x$$，求导得极值点$$x=1$$，$$h(1) = \frac{1}{2}$$，$$h\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{2e^2} + 1$$，$$h(e) = \frac{e^2}{2} - 1$$。故$$a$$的取值范围为$$\left[\frac{1}{2}, \frac{e^2}{2} - 1\right]$$，选B。
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