利用导数讨论函数单调性-5.3 导数在研究函数中的应用知识点专题进阶选择题自测题解析-天津市等高二数学选择必修,平均正确率48.0%

1、['利用导数讨论函数单调性'， '分段函数模型的应用'， '分段函数的单调性'， '分段函数求值']

正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=\left\{\begin{matrix} {\cos x-x， \ x \leqslant0} \\ {\frac{1-x} {x+1}， \ x > 0} \\ \end{matrix} \right.$$，则下列结论正确的是（）

A.$${{f}{（}{x}{）}}$$有极值

B.$$y=f ~ ( x ) ~+1$$有零点

C.$${{f}{（}{x}{）}}$$在定义域上是减函数

D.$$f \left( \begin{matrix} {0} \\ \end{matrix} \right) \ =0$$

2、['利用导数讨论函数单调性'， '导数中的函数构造问题'， '利用函数单调性比较大小']

正确率40.0%$${{f}{(}{x}{)}}$$对任意$${{x}{∈}{R}}$$都有$$f^{\prime} ( x ) > f ( x )$$成立，则$${{(}{)}}$$

A.$$3 f \， ( \operatorname{l n} \! 5 ) > 5 \， f \， ( \operatorname{l n} \! 3 )$$

B.$$3 f \， ( \operatorname{l n} \! 5 )=5 \， f \， ( \operatorname{l n} \! 3 )$$

C.$$3 f \， ( \operatorname{l n} \! 5 ) < 5 \， f \， ( \operatorname{l n} \! 3 )$$

D.$${{3}{f}{{(}{{l}{n}}{5}{)}}}$$与$${{5}{f}{{(}{{l}{n}}{3}{)}}}$$的大小不确定

3、['函数图象的识别'， '利用导数讨论函数单调性']

正确率60.0%如图，点$${{P}}$$是半径为$${{1}}$$的半圆弧$$\overrightarrow{A B}$$上一点，若$$\overrightarrow{A P}$$长度为$${{x}}$$，则直线$${{A}{P}}$$与半圆弧$$\overrightarrow{A B}$$所围成的图形的面积$${{S}}$$关于$${{x}}$$的函数图象为$${{(}{)}}$$

4、['利用函数单调性解不等式'， '利用导数讨论函数单调性'， '函数单调性与奇偶性综合应用']

正确率40.0%已知定义域为$${{R}}$$奇函数$${{f}{(}{x}{)}}$$，其导函数为$$f^{\prime} ( x )$$，对任意正实数满足$$x f^{\prime} ( x ) >-2 f ( x )$$

5、['导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '根据函数零点个数求参数范围'， '利用导数解决函数零点问题'， '函数零点存在定理']

正确率40.0%若函数$$f \left( x \right)=\frac{3} {2} x^{2}-1 2 x+9 \operatorname{l n} x+b$$恰有两个不同的零点，则实数$${{b}}$$可能的值为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{2 1} {2}$$

B.$$\frac{4 5} {2}$$

C.$${\frac{4 5} {2}}-9 l n 3$$

D.$$\frac{2 1} {2}$$或$${\frac{4 5} {2}}-9 l n 3$$

6、['导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性'， '根据函数零点个数求参数范围']

正确率40.0%已知$${{a}{∈}{R}}$$，函数$$f \left( x \right)=\frac1 2 \operatorname{l n} x+3 a$$和$$g \left( x \right)=\sqrt{x}+2 a^{2}$$的图象有交点，则$${{a}}$$的取值范围是

A.$$\left[ \frac{1} {2}， 1 \right]$$

B.$$[ 1，+\infty)$$

C.$$[ \frac{1} {2}，+\infty)$$

D.$$[ 1， 2 ]$$

7、['函数图象的识别'， '利用导数讨论函数单调性']

正确率60.0%函数$$y=-\frac{\operatorname{c o s} x} {x}$$的图象可能是（）

8、['导数与最值'， '导数与单调性'， '利用导数讨论函数单调性']

正确率60.0%已知函数$$f \left( x \right)=x^{3}-3 x+m$$，在区间$$[ 0， 2 ]$$上任取三个数$$a， ~ b， ~ c$$，均存在以$$f \left( a \right)， \， \， f \left( b \right)， \， \， f \left( c \right)$$为边长的三角形，则$${{m}}$$的取值范围是（）

A.$$( 8，+\infty)$$

B.$$( 6，+\infty)$$

C.$$( 4，+\infty)$$

D.$$( 2，+\infty)$$

9、['利用导数讨论函数单调性']

正确率40.0%若$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在$${{R}}$$上的可导函数，且的图象如图所示，则$$y=f ( x )$$

A.$$(-\infty， 0 )$$

B.$$( 2，+\infty)$$

C.$$( 0， 1 )$$

D.$$( 0， 2 )$$

10、['利用导数讨论函数单调性'， '导数中不等式恒成立与存在性问题']

正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=\frac{1} {2} m x \left( x-2 \right)+x \operatorname{l n} x-x$$，若对任意的$$x_{1}， ~ x_{2} \in\left[ \frac{1} {e}， 2 \right]$$，都有$$\left\vert f \left( x_{1} \right)-f \left( x_{2} \right) \right\vert\leqslant\frac{4} {\mathrm{e}}+1$$，则正实数$${{m}}$$的取值范围是（）

A.$$( 0， \frac{8} {\mathrm{e}}+4 \operatorname{l n} \frac{\mathrm{e}} {2} \biggr]$$

B.$$\left[ \frac{8} {\mathrm{e}}+4 \operatorname{l n} \frac{\mathrm{e}} {2}，+\infty\right)$$

C.$$\left( 0， {\frac{1 2 \mathrm{e}} {\left( \mathrm{e}-1 \right)^{2}}} \right]$$

D.$$\left[ \frac{1 2 \mathrm{e}} {\left( \mathrm{e}-1 \right)^{2}}，+\infty) \right.$$

1. 解析：

对于函数 $$f(x)$$，分段分析：

当 $$x \leq 0$$ 时，$$f(x) = \cos x - x$$，导数为 $$f'(x) = -\sin x - 1 \leq 0$$，函数单调递减。

当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = \frac{1 - x}{x + 1}$$，导数为 $$f'(x) = \frac{-(x + 1) - (1 - x)}{(x + 1)^2} = \frac{-2}{(x + 1)^2} < 0$$，函数单调递减。

因此，$$f(x)$$ 在整个定义域上是减函数，选项 C 正确。

$$f(0) = \cos 0 - 0 = 1 \neq 0$$，选项 D 错误。

由于 $$f(x)$$ 单调递减且无拐点，无极值，选项 A 错误。

$$y = f(x) + 1$$ 在 $$x \leq 0$$ 时为 $$\cos x - x + 1 \geq 0$$，在 $$x > 0$$ 时为 $$\frac{1 - x}{x + 1} + 1 = \frac{2}{x + 1} > 0$$，无零点，选项 B 错误。

综上，正确答案为 C。

2. 解析：

由题意 $$f'(x) > f(x)$$，构造辅助函数 $$g(x) = \frac{f(x)}{e^x}$$，则 $$g'(x) = \frac{f'(x) - f(x)}{e^x} > 0$$，故 $$g(x)$$ 单调递增。

比较 $$g(\ln 5)$$ 和 $$g(\ln 3)$$：

$$\ln 5 > \ln 3$$，故 $$g(\ln 5) > g(\ln 3)$$，即 $$\frac{f(\ln 5)}{5} > \frac{f(\ln 3)}{3}$$。

整理得 $$3 f(\ln 5) > 5 f(\ln 3)$$，选项 A 正确。

3. 解析：

设半圆弧的圆心为 $$O$$，半径为 1，$$AP$$ 长度为 $$x$$，则 $$\theta = \angle AOP$$ 满足 $$x = 2 \sin \frac{\theta}{2}$$。

面积 $$S$$ 由扇形 $$AOP$$ 和三角形 $$AOP$$ 组成：

$$S = \frac{1}{2} \theta \cdot 1^2 - \frac{1}{2} \sin \theta = \frac{\theta - \sin \theta}{2}$$。

由 $$x = 2 \sin \frac{\theta}{2}$$，得 $$\theta = 2 \arcsin \frac{x}{2}$$。

分析函数性质：$$S$$ 随 $$x$$ 增大而增大，且增速先快后慢，对应图像为选项 D。

4. 解析：

题目不完整，无法解析。

5. 解析：

函数 $$f(x) = \frac{3}{2} x^2 - 12x + 9 \ln x + b$$ 定义域为 $$x > 0$$。

求导得 $$f'(x) = 3x - 12 + \frac{9}{x}$$，令 $$f'(x) = 0$$，解得 $$x = 1$$ 或 $$x = 3$$。

分析极值：

$$f(1) = \frac{3}{2} - 12 + 0 + b = b - \frac{21}{2}$$，

$$f(3) = \frac{27}{2} - 36 + 9 \ln 3 + b = b - \frac{45}{2} + 9 \ln 3$$。

要使 $$f(x)$$ 恰有两个零点，需一个极值为零：

若 $$f(1) = 0$$，则 $$b = \frac{21}{2}$$；

若 $$f(3) = 0$$，则 $$b = \frac{45}{2} - 9 \ln 3$$。

因此，选项 D 正确。

6. 解析：

函数 $$f(x) = \frac{1}{2} \ln x + 3a$$ 和 $$g(x) = \sqrt{x} + 2a^2$$ 需有交点，即存在 $$x > 0$$ 使 $$\frac{1}{2} \ln x + 3a = \sqrt{x} + 2a^2$$。

设 $$h(x) = \frac{1}{2} \ln x - \sqrt{x} + 3a - 2a^2$$，求其最大值：

$$h'(x) = \frac{1}{2x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$$，令 $$h'(x) = 0$$，得 $$x = 1$$。

$$h(1) = 0 - 1 + 3a - 2a^2 \geq 0$$，解得 $$a \in \left[\frac{1}{2}, 1\right]$$，选项 A 正确。

7. 解析：

函数 $$y = -\frac{\cos x}{x}$$ 定义域为 $$x \neq 0$$。

当 $$x > 0$$ 时，$$y$$ 在 $$(0, \frac{\pi}{2})$$ 为负，在 $$(\frac{\pi}{2}, \pi)$$ 为正，且 $$y \to -\infty$$ 当 $$x \to 0^+$$，$$y \to 0$$ 当 $$x \to +\infty$$。

当 $$x < 0$$ 时，$$y$$ 为奇函数，图像对称。结合选项，正确答案为 D。

8. 解析：

函数 $$f(x) = x^3 - 3x + m$$ 在 $$[0, 2]$$ 上的极值点为 $$x = 1$$，$$f(1) = m - 2$$，$$f(0) = m$$，$$f(2) = m + 2$$。

要满足三角形不等式，需 $$2 \min\{f(a), f(b), f(c)\} > \max\{f(a), f(b), f(c)\}$$。

即 $$2(m - 2) > m + 2$$，解得 $$m > 6$$，选项 B 正确。

9. 解析：

题目不完整，无法解析。

10. 解析：

函数 $$f(x) = \frac{1}{2} m x (x - 2) + x \ln x - x$$ 在 $$\left[\frac{1}{e}, 2\right]$$ 上的极值点为 $$x = 1$$，$$f(1) = -\frac{m}{2} - 1$$。

$$f\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{m}{2} \left(\frac{1}{e^2} - \frac{2}{e}\right) - \frac{2}{e}$$，$$f(2) = m \ln 2 - 2$$。

要求 $$\left| f(x_1) - f(x_2) \right| \leq \frac{4}{e} + 1$$，需 $$f(2) - f(1) \leq \frac{4}{e} + 1$$。

解得 $$m \leq \frac{8}{e} + 4 \ln \frac{e}{2}$$，选项 A 正确。

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