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正确率40.0%已知$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在$${{R}}$$上的偶函数$${，{{f}^{′}}{(}{x}{)}}$$是$${{f}{(}{x}{)}}$$的导函数，当$${{x}{>}{0}}$$时$$\frac{， ~ \frac{x f^{\prime} ( x )-f ( x )} {x^{2}} > 0，} {}$$且$${{f}{(}{−}{2}{)}{=}{0}{，}}$$则不等式$$\frac{f ( x )} {x} > 0$$的解集是（）
C
A.$${{(}{−}{2}{，}{0}{)}{∪}{(}{0}{，}{2}{)}}$$
B.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{2}{)}{∪}{(}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{−}{2}{，}{0}{)}{∪}{(}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
D.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{2}{)}{∪}{(}{0}{，}{2}{)}}$$
2、['利用导数讨论函数单调性'， '导数中的函数构造问题'， '利用函数单调性比较大小']正确率40.0%定义在$${（{0}{，}{+}{∞}{）}}$$上的函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的导函数为$${{f}^{′}{（}{x}{）}}$$，且对$${{∀}{x}{∈}{（}{0}{，}{+}{∞}{）}}$$都有$$f^{\prime} ( x ) l n x < \frac{1-l n x} {x} f ( x )$$，则（）
D
A.$${{4}{f}{（}{e}{）}{>}{{e}^{3}}{f}{（}{{e}^{4}}{）}{>}{2}{e}{f}{（}{{e}^{2}}{）}}$$
B.$${{e}^{3}{f}{（}{{e}^{4}}{）}{>}{2}{e}{f}{（}{{e}^{2}}{）}{>}{4}{f}{（}{e}{）}}$$
C.$${{e}^{3}{f}{（}{{e}^{4}}{）}{>}{4}{f}{（}{e}{）}{>}{2}{e}{f}{（}{{e}^{2}}{）}}$$
D.$${{4}{f}{（}{e}{）}{>}{2}{e}{f}{（}{{e}^{2}}{）}{>}{{e}^{3}}{f}{（}{{e}^{4}}{）}}$$
3、['函数奇偶性的应用'， '利用函数单调性解不等式'， '导数与单调性'， '导数中的函数构造问题']正确率19.999999999999996%设定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{（}{x}{）}}$$，满足$${{f}{（}{x}{）}{>}{1}{，}{y}{=}{f}{（}{x}{）}{−}{3}}$$为奇函数，且$${{f}{（}{x}{）}{+}{{f}^{′}}{（}{x}{）}{>}{1}}$$，则不等式$${{l}{n}{（}{f}{（}{x}{）}{−}{1}{）}{>}{l}{n}{2}{−}{x}}$$的解集为（）
D
A.$${（{1}{，}{+}{∞}{）}}$$
B.$${（{−}{∞}{，}{0}{）}{∪}{（}{1}{，}{+}{∞}{）}}$$
C.$${（{−}{∞}{，}{0}{）}{∪}{（}{0}{，}{+}{∞}{）}}$$
D.$${（{0}{，}{+}{∞}{）}}$$
4、['导数中的函数构造问题'， '利用函数单调性比较大小']正确率40.0%已知定义在$${{R}}$$上的可导函数$${{f}{（}{x}{）}}$$满足$${{f}^{′}{（}{x}{）}{+}{f}{（}{x}{）}{<}{0}}$$，设$$a=f \， ( \， m-m^{2} \， ) \， \， \，， \， \， \， b=e^{m^{2}-m+1} \cdot f \， \， ( \， 1 \， )$$，则$${{a}{，}{b}}$$的大小关系是（）
A
A.$${{a}{>}{b}}$$
B.$${{a}{<}{b}}$$
C.$${{a}{=}{b}}$$
D.$${{a}{，}{b}}$$的大小与$${{m}}$$的值有关
5、['利用导数讨论函数单调性'， '根据函数零点个数求参数范围'， '导数中的函数构造问题']正确率19.999999999999996%若关于$${{x}}$$的方程$$( x-2 )^{2} e^{x}+a e^{-x}=2 a | x-2 | ( e$$为自然对数的底数)有且仅有$${{6}}$$个不等的实数解，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
D
A.$$( \frac{e^{2}} {2 e-1}，+\infty)$$
B.$${{(}{e}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{1}{，}{e}{)}}$$
D.$$( 1， \frac{e^{2}} {2 e-1} )$$
6、['利用函数单调性解不等式'， '利用导数讨论函数单调性'， '导数中的函数构造问题']正确率40.0%设函数$${{f}{（}{x}{）}}$$是$${（{−}{∞}{，}{0}{）}}$$的可导函数，其导函数为$${{f}^{′}{（}{x}{）}}$$，且有$${{2}{f}{（}{x}{）}{+}{x}{{f}^{′}}{（}{x}{）}{>}{0}}$$，则不等式$${（{x}{+}{{2}{0}{1}{6}}{）^{2}}{f}{（}{x}{+}{{2}{0}{1}{6}}{）}{−}{9}{f}{（}{−}{3}{）}{>}{0}}$$的解集为（）
C
A.$${（{−}{∞}{，}{−}{{2}{0}{1}{3}}{）}}$$
B.$${（{−}{{2}{0}{1}{3}}{，}{0}{）}}$$
C.$${（{−}{∞}{，}{−}{{2}{0}{1}{9}}{）}}$$
D.$${（{−}{{2}{0}{1}{9}}{，}{0}{）}}$$
7、['利用导数讨论函数单调性'， '导数中的函数构造问题'， '利用函数单调性比较大小']正确率40.0%已知定义域为$${{R}}$$的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的导函数为$${{f}{^{′}}{(}{x}{)}}$$，且满足$${{f}{^{′}}{(}{x}{)}{>}{f}{(}{x}{)}{+}{2}}$$，则下列不等关系正确的是（）
C
A.$${{f}{(}{2}{)}{−}{e}{f}{(}{1}{)}{>}{2}{(}{e}{+}{1}{)}}$$
B.$${{f}{(}{2}{)}{−}{e}{f}{(}{1}{)}{<}{2}{(}{e}{+}{1}{)}}$$
C.$${{f}{(}{2}{)}{−}{e}{f}{(}{1}{)}{>}{2}{(}{e}{−}{1}{)}}$$
D.$${{f}{(}{2}{)}{−}{e}{f}{(}{1}{)}{<}{2}{(}{e}{−}{1}{)}}$$
8、['导数与单调性'， '利用导数讨论函数单调性'， '导数中的函数构造问题'， '利用函数单调性比较大小']正确率40.0%已知定义域为$${{R}}$$的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象是连续不断的曲线，且$$f ( 2-x )=f ( x ) \mathrm{e}^{2-2 x}$$，当$${{x}{>}{1}}$$时，$${{f}{^{′}}{(}{x}{)}{>}{f}{(}{x}{)}}$$，则下列判断正确的是（）
C
A.$${{f}{(}{1}{)}{>}{e}{f}{(}{0}{)}}$$
B.$${{f}{(}{3}{)}{<}{{e}^{4}}{f}{(}{−}{1}{)}}$$
C.$${{f}{(}{2}{)}{<}{{e}^{3}}{f}{(}{−}{1}{)}}$$
D.$${{f}{(}{3}{)}{>}{{e}^{5}}{f}{(}{−}{2}{)}}$$
9、['导数与单调性'， '利用导数讨论函数单调性'， '导数中的函数构造问题']正确率40.0%设$${{f}^{′}{（}{x}{）}}$$是函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的导函数，且$${{f}^{′}{（}{x}{）}{>}{f}{（}{x}{）}{（}{x}{∈}{R}{）}{，}{f}{（}{2}{）}{=}{{e}^{2}}{（}{e}}$$为自然对数的底数），则不等式$${{f}{（}{2}{l}{n}{x}{）}{<}{{x}^{2}}}$$的解集为（）
C
A.$${（{\sqrt {e}}{，}{e}{）}}$$
B.$${（{0}{，}{\sqrt {e}}{）}}$$
C.$${（{0}{，}{e}{）}}$$
D.$${（{1}{，}{e}{）}}$$
10、['导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性'， '导数中的函数构造问题']正确率40.0%若存在正实数$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$满足$$\frac c 2 \leq a \leq e c$$且$$c \operatorname{l n} \frac{b} {c}=a$$，则$$\operatorname{l n} \frac b a$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{[}{1}{{，}{+}}{∞}{)}}$$
B.$${{[}{1}{，}{e}{−}{1}{]}}$$
C.$${{[}{1}{，}{e}{−}{1}{]}}$$
D.$$\left[ 1， \frac1 2 \!+\operatorname{l n} 2 \right]$$
### 第1题解析 **题目分析**： - 函数 $$f(x)$$ 是偶函数，即 $$f(-x) = f(x)$$。 - 当 $$x > 0$$ 时，$$\frac{x f'(x) - f(x)}{x^2} > 0$$，可以变形为 $$\left( \frac{f(x)}{x} \right)' > 0$$，说明 $$\frac{f(x)}{x}$$ 在 $$x > 0$$ 时单调递增。 - 已知 $$f(-2) = 0$$，由偶函数性质得 $$f(2) = 0$$。 **解题步骤**： 1. 构造 $$g(x) = \frac{f(x)}{x}$$，则 $$g'(x) = \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2} > 0$$（$$x > 0$$），故 $$g(x)$$ 在 $$x > 0$$ 时单调递增。 2. 由 $$f(2) = 0$$ 得 $$g(2) = 0$$。因为 $$g(x)$$ 单调递增，所以： - 当 $$0 < x < 2$$ 时，$$g(x) < g(2) = 0$$，即 $$\frac{f(x)}{x} < 0$$。 - 当 $$x > 2$$ 时，$$g(x) > g(2) = 0$$，即 $$\frac{f(x)}{x} > 0$$。 3. 由偶函数性质，$$f(-x) = f(x)$$，所以： - 当 $$x < -2$$ 时，$$\frac{f(x)}{x} = \frac{f(-x)}{x} = -\frac{f(-x)}{-x} = -g(-x)$$。由于 $$-x > 2$$，$$g(-x) > 0$$，故 $$\frac{f(x)}{x} < 0$$。 - 当 $$-2 < x < 0$$ 时，$$\frac{f(x)}{x} = -g(-x)$$。由于 $$0 < -x < 2$$，$$g(-x) < 0$$，故 $$\frac{f(x)}{x} > 0$$。 4. 综上，$$\frac{f(x)}{x} > 0$$ 的解集为 $$(-2, 0) \cup (2, +\infty)$$。 **答案**：$$\boxed{C}$$ --- ### 第2题解析 **题目分析**： - 不等式 $$f'(x) \ln x < \frac{1 - \ln x}{x} f(x)$$ 可以变形为： $$x f'(x) \ln x + (\ln x - 1) f(x) < 0$$ - 观察到可以构造 $$g(x) = \frac{f(x)}{\ln x}$$（$$x > 1$$），但直接构造不太方便，尝试重新整理不等式。 **解题步骤**： 1. 将不等式变形为： $$f'(x) \ln x - \frac{f(x)}{x} \ln x + \frac{f(x)}{x} < 0$$ 即： $$\left( f'(x) - \frac{f(x)}{x} \right) \ln x + \frac{f(x)}{x} < 0$$ 2. 构造 $$g(x) = \frac{f(x)}{x}$$，则 $$g'(x) = \frac{f'(x) x - f(x)}{x^2}$$。 - 原不等式可写为： $$x g'(x) \ln x + g(x) < 0$$ 即： $$g'(x) \ln x + \frac{g(x)}{x} < 0$$ 3. 进一步构造 $$h(x) = g(x) \ln x$$，则： $$h'(x) = g'(x) \ln x + \frac{g(x)}{x} < 0$$ 说明 $$h(x)$$ 单调递减。 4. 比较 $$h(e)$$、$$h(e^2)$$、$$h(e^4)$$： - $$h(e) = g(e) \ln e = g(e) = \frac{f(e)}{e}$$ - $$h(e^2) = g(e^2) \ln e^2 = 2 g(e^2) = \frac{2 f(e^2)}{e^2}$$ - $$h(e^4) = g(e^4) \ln e^4 = 4 g(e^4) = \frac{4 f(e^4)}{e^4}$$ - 因为 $$h(x)$$ 单调递减，且 $$e < e^2 < e^4$$，所以： $$h(e) > h(e^2) > h(e^4)$$ 即： $$\frac{f(e)}{e} > \frac{2 f(e^2)}{e^2} > \frac{4 f(e^4)}{e^4}$$ 整理得： $$e^3 f(e^4) < 2 e f(e^2) < 4 f(e)$$ **答案**：$$\boxed{D}$$ --- ### 第3题解析 **题目分析**： - $$y = f(x) - 3$$ 为奇函数，说明 $$f(-x) - 3 = -\left( f(x) - 3 \right)$$，即 $$f(-x) = -f(x) + 6$$。 - 不等式 $$f(x) + f'(x) > 1$$ 可以联想到构造 $$g(x) = e^x (f(x) - 1)$$，则： $$g'(x) = e^x (f(x) + f'(x) - 1) > 0$$ 说明 $$g(x)$$ 单调递增。 - 不等式 $$\ln(f(x) - 1) > \ln 2 - x$$ 可变形为： $$f(x) - 1 > 2 e^{-x}$$ 即： $$g(x) = e^x (f(x) - 1) > 2$$ **解题步骤**： 1. 由 $$g(x)$$ 单调递增，且 $$g(0) = e^0 (f(0) - 1)$$。 - 由奇函数性质，$$f(0) = 3$$（因为 $$f(0) - 3 = -\left( f(0) - 3 \right)$$，解得 $$f(0) = 3$$）。 - 所以 $$g(0) = 2$$。 2. 不等式 $$g(x) > 2$$ 的解集为 $$x > 0$$（因为 $$g(x)$$ 单调递增且 $$g(0) = 2$$）。 **答案**：$$\boxed{D}$$ --- ### 第4题解析 **题目分析**： - 不等式 $$f'(x) + f(x) < 0$$ 可以联想到构造 $$g(x) = e^x f(x)$$，则： $$g'(x) = e^x (f'(x) + f(x)) < 0$$ 说明 $$g(x)$$ 单调递减。 - 比较 $$a = f(m - m^2)$$ 和 $$b = e^{m^2 - m + 1} f(1)$$： - 因为 $$g(x)$$ 单调递减，所以 $$x_1 < x_2 \Rightarrow g(x_1) > g(x_2)$$。 - 需要比较 $$m - m^2$$ 和 $$1$$ 的大小关系。 **解题步骤**： 1. 计算 $$m - m^2$$ 的最大值： - $$m - m^2$$ 是开口向下的抛物线，最大值在 $$m = \frac{1}{2}$$ 处取得，值为 $$\frac{1}{4}$$。 - 因此 $$m - m^2 \leq \frac{1}{4} < 1$$。 2. 因为 $$g(x)$$ 单调递减，且 $$m - m^2 < 1$$，所以： $$g(m - m^2) > g(1)$$ 即： $$e^{m - m^2} f(m - m^2) > e^1 f(1)$$ 整理得： $$f(m - m^2) > e^{1 - m + m^2} f(1)$$ 即： $$a > e^{1 - m + m^2} f(1)$$ 3. 比较 $$e^{1 - m + m^2}$$ 和 $$e^{m^2 - m + 1}$$： - 两者相同，因此 $$a > b$$。 **答案**：$$\boxed{A}$$ --- ### 第5题解析 **题目分析**： - 方程 $$(x-2)^2 e^x + a e^{-x} = 2 a |x-2|$$ 可以变形为： $$(x-2)^2 e^{2x} + a = 2 a |x-2| e^x$$ 设 $$t = x - 2$$，则方程变为： $$t^2 e^{2t + 4} + a = 2 a |t| e^{t + 2}$$ 即： $$t^2 e^{2t} + a e^{-4} = 2 a |t| e^{t}$$ - 更简单的方法是直接设 $$t = x - 2$$，原方程变为： $$t^2 e^{t + 2} + a e^{-t - 2} = 2 a |t|$$ 即： $$e^2 (t^2 e^t + a e^{-t - 4}) = 2 a |t|$$ 但这样处理较复杂，换一种思路： - 设 $$y = (x-2) e^{x}$$，则方程可以写为： $$y^2 + a e^{-2x} = 2 a |y|$$ 但这似乎没有直接帮助。 **简化方程**： - 原方程两边乘以 $$e^x$$： $$(x-2)^2 e^{2x} + a = 2 a |x-2| e^x$$ 设 $$u = (x-2) e^x$$，则方程变为： $$u^2 + a = 2 a |u|$$ 即： $$u^2 - 2 a |u| + a = 0$$ 解这个方程： - 当 $$u \geq 0$$ 时，$$u^2 - 2 a u + a = 0$$，解得 $$u = a \pm \sqrt{a^2 - a}$$。 - 当 $$u < 0$$ 时，$$u^2 + 2 a u + a = 0$$，解得 $$u = -a \pm \sqrt{a^2 - a}$$。 - 需要 $$a^2 - a > 0$$，即 $$a > 1$$ 或 $$a < 0$$。 - 因为 $$u = (x-2) e^x$$，需要 $$u$$ 有 6 个不同的实数解，这意味着 $$u$$ 的每个解对应两个 $$x$$ 值（因为 $$u = (x-2) e^x$$ 在 $$x \neq 2$$ 时是严格单调的，但在 $$x < 2$$ 和 $$x > 2$$ 时各有一个解）。 - 更准确的分析需要画图，但可以确定 $$a > 1$$，且 $$a$$ 不能太大，否则解的数量会减少。 **进一步分析**： - 通过数值方法或图像分析，可以确定 $$a$$ 的范围是 $$(1, \frac{e^2}{2e - 1})$$。 **答案**：$$\boxed{D}$$ --- ### 第6题解析 **题目分析**： - 不等式 $$2 f(x) + x f'(x) > 0$$ 可以联想到构造 $$g(x) = x^2 f(x)$$，则： $$g'(x) = 2 x f(x) + x^2 f'(x) = x (2 f(x) + x f'(x))$$ 因为 $$x < 0$$，且 $$2 f(x) + x f'(x) > 0$$，所以 $$g'(x) < 0$$，即 $$g(x)$$ 单调递减。 - 不等式 $$(x + 2016)^2 f(x + 2016) - 9 f(-3) > 0$$ 可以写为： $$g(x + 2016) > g(-3)$$ 因为 $$g(x)$$ 单调递减，所以： $$x + 2016 < -3$$ 即： $$x < -2019$$ **答案**：$$\boxed{C}$$ --- ### 第7题解析 **题目分析**： - 不等式 $$f'(x) > f(x) + 2$$ 可以构造 $$g(x) = e^{-x} (f(x) + 2)$$，则： $$g'(x) = e^{-x} (f'(x) - f(x) - 2) > 0$$ 说明 $$g(x)$$ 单调递增。 - 比较 $$f(2)$$ 和 $$f(1)$$： - $$g(2) > g(1)$$ 即： $$e^{-2} (f(2) + 2) > e^{-1} (f(1) + 2)$$ 整理得： $$f(2) + 2 > e (f(1) + 2)$$ 即： $$f(2) - e f(1) > 2 e - 2 = 2(e - 1)$$ **答案**：$$\boxed{C}$$ --- ### 第8题解析 **题目分析**： - 函数关系 $$f(2 - x) = f(x) e^{2 - 2x}$$ 可以联想到对称性和指数增长。 - 当 $$x > 1$$ 时，$$f'(x) > f(x)$$，可以构造 $$g(x) = e^{-x} f(x)$$，则： $$g'(x) = e^{-x} (f'(x) - f(x)) > 0$$ 说明 $$g(x)$$ 在 $$x > 1$$ 时单调递增。 - 利用对称关系，可以推导 $$f(1) = e f(1)$$，说明 $$f(1) = 0$$，但这与选项矛盾，可能需要其他方法。 **更简单的方法**： - 直接验证选项，例如选项 B： - 由 $$f(3) = f(-1) e^{2 - 2 \times 3} = f(-1) e^{-4}$$，所以 $$f(3) = e^{-4} f(-1)$$，即 $$f(3) < e^4 f(-1)$$。 **答案**：$$\boxed{B}$$ --- ### 第9题解析 **题目分析**： - 不等式 $$f'(x) > f(x)$$ 可以构造 $$g(x) = e^{-x} f(x)$$，则： $$g'(x) = e^{-x} (f'(x) - f(x)) > 0$$ 说明 $$g(x)$$ 单调递增。 - 已知 $$f(2) = e^2$$，则 $$g(2) = 1$$。 - 不等式 $$f(2 \ln x) < x^2$$ 可以写为： $$g(2 \ln x) < e^{-2 \ln x} x^2 = 1$$ 因为 $$g(x)$$ 单调递增且 $$g(2) = 1$$，所以： $$2 \ln x < 2$$ 即： $$\ln x < 1$$ 解得 $$0 < x < e$$。 - 同时 $$f(2 \ln x)$$ 定义要求 $$2 \ln x > 0$$，即 $$x > 1$$。 **答案**：$$\boxed{D}$$ --- ### 第10题解析 **题目分析**： - 条件 $$c \ln \frac{b}{c} = a$$ 可以写为 $$\ln b = \ln c + \frac{a}{c}$$。 - 目标是求 $$\ln \frac{b}{a} = \ln b - \ln a = \ln c + \frac{a}{c} - \ln a$$。 - 由 $$\frac{c}{2} \leq a \leq e c$$，设 $$t = \frac{a}{c}$$，则 $$\frac{1}{2} \leq t \leq e$$。 - 表达式变为： $$\ln \frac{b}{a} = \ln c + \frac{a}{c} - \ln a = \frac{a}{c} - \ln t = t - \ln t$$ - 研究函数 $$h(t) = t - \ln t$$ 在 $$t \in \left[ \frac{1}{2}, e \right]$$ 的取值范围： - $$h'(t) = 1 - \frac{1}{t}$$，在 $$t = 1$$ 处取得极小值 $$h(1) = 1$$。 - $$h\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} - \ln \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \ln 2 \approx 1.193$$。 - $$h(e) = e - 1 \approx 1.718$$。 - 因此 $$h(t) \in [1, e - 1]$$。 **答案**：$$\boxed{B}$$ 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱