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正确率19.999999999999996%已知方程$${{|}{{l}{n}}{x}{|}{=}{k}{x}{+}{2}}$$在区间$${{(}{0}{，}{{e}^{5}}{)}}$$上恰有$${{3}}$$个不等实数根，则实数$${{k}}$$的取值范围是（）
A
A.$$\left( \frac{3} {\mathrm{e}^{5}}， \ \frac{1} {e^{3}} \right)$$
B.$$\left[ \frac{3} {\mathrm{e}^{5}}， \frac{1} {\mathrm{e}^{3}} \right)$$
C.$$\left[ \frac{2} {\mathrm{e}^{4}}， \frac{1} {\mathrm{e}^{2}} \right]$$
D.$$\left[ \frac{2} {\mathrm{e}^{4}}， \frac{1} {\mathrm{e}^{2}} \right)$$
2、['利用导数求解方程解的个数']正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{(}{x}{+}{1}{)}{{e}^{x}}{，}}$$若方程$${{f}{(}{x}{)}{=}{a}{(}{a}{∈}{R}{)}}$$有$${{2}}$$个解，则$${{a}}$$的取值范围为（）
C
A.$$a >-\frac{1} {\mathrm{e^{2}}}$$
B.$$a <-\frac{1} {\mathrm{e^{2}}}$$
C.$$- \frac{1} {\mathrm{e}^{2}} < a < 0$$
D.$$a=-\frac{1} {\mathrm{e^{2}}}$$或$${{a}{>}{0}}$$
3、['函数图象的平移变换'， '利用导数求解方程解的个数'， '根据函数零点个数求参数范围'， '利用导数解决函数零点问题']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} \frac{1} {3} x+\frac{4} {3}， x \leqslant0，} \\ {} & {{} \operatorname{l n} ( x+1 )， x > 0，} \\ \end{aligned} \right.$$将函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象向右平移$${{1}}$$个单位得到函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象，若函数$${{y}{=}{g}{(}{x}{)}{−}{m}{x}}$$有两个零点，则实数$${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
C
A.$$[ \frac{1} {e}， \frac{1} {2} )$$
B.$$[ \frac{1} {e}， \frac{1} {2} ]$$
C.$$[ \frac{1} {3}， \frac{1} {e} )$$
D.$$[ \frac{1} {3}， \frac{1} {e} ]$$
4、['导数与最值'， '导数与单调性'， '利用导数求解方程解的个数'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%对于$${{∀}{y}{∈}{[}{1}{，}{e}{]}{，}}$$关于$${{x}}$$的方程$$x^{2} y e^{1-x}=a y+\operatorname{l n} y$$在$${{x}{∈}{[}{−}{1}{，}{4}{]}}$$上有三个不同的实根，则实数$${{a}}$$的取值范围是 （）
A
A.$$[ \frac{1 6} {e^{3}}， \frac{3} {e} )$$
B.$$( 0， \frac{1 6} {e^{3}} ]$$
C.$$[ \frac{1 6} {e^{3}}， e^{2}-\frac{3} {e} ]$$
D.$$[ \frac{1 6} {e^{3}}， e^{2}-\frac{1} {e} )$$
5、['导数与单调性'， '利用导数求解方程解的个数'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率19.999999999999996%不等式$${{a}{x}{−}{2}{a}{>}{2}{x}{−}{{l}{n}}{x}{−}{4}{(}{a}{>}{0}{)}}$$解集中有且仅含有两个整数，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$${{(}{{l}{n}}{3}{，}{2}{)}}$$
B.$${{[}{2}{−}{{l}{n}}{3}{，}{2}{)}}$$
C.$${{(}{0}{，}{2}{−}{{l}{n}}{3}{]}}$$
D.$${{(}{0}{，}{2}{−}{{l}{n}}{3}{)}}$$
6、['导数与单调性'， '导数与极值'， '利用导数求参数的取值范围'， '利用导数求解方程解的个数']正确率40.0%方程$${{x}^{3}{−}{6}{{x}^{2}}{+}{9}{x}{+}{m}{=}{0}}$$恰有三个不等的实根，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
B
A.$${（{−}{∞}{，}{−}{4}{）}}$$
B.$${（{−}{4}{，}{0}{）}}$$
C.$${（{−}{∞}{，}{−}{4}{）}{∪}{（}{0}{，}{+}{∞}{）}}$$
D.$${（{0}{，}{+}{∞}{）}}$$
7、['导数与单调性'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数求解方程解的个数']正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=e^{x-2}+x-3$$与$${{g}{{(}{x}{)}}{=}{a}{x}{−}{{l}{n}}{x}}$$，设$${{α}{∈}{{\{}{x}{∈}{R}{|}{f}{{(}{x}{)}}{=}{0}{\}}}{，}{β}{∈}{{\{}{x}{∈}{R}{|}{g}{{(}{x}{)}}{=}{0}{\}}}{，}}$$若存在$${{α}{，}{β}{，}}$$使得$${{|}{α}{−}{β}{|}{⩽}{1}{，}}$$则实数$${{a}}$$的取值范围为
C
A.$$\left[ \frac{\operatorname{l n} 3} {3}， \frac{1} {e} \right]$$
B.$$[ 0， \frac{\operatorname{l n} 3} {3} \ ]$$
C.$$[ 0， \frac{1} {e} \ ]$$
D.$$\left[ 1， \frac{1} {e} \right]$$
8、['导数与最值'， '导数与极值'， '利用导数求解方程解的个数']正确率19.999999999999996%已知不等式$${（{a}{x}{+}{3}{）}{{e}^{x}}{−}{x}{>}{0}}$$有且只有一个正整数解，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$$( \frac{1} {e}-3， \ \frac{1} {e^{2}}-\frac{3} {2} ]$$
B.$${( \frac{1} {2 e}-3， \ \frac{1} {e^{2}}-\frac{3} {2} ]}$$
C.$$( \frac{1} {e}-3， \ \frac{1} {e^{2}}-\frac{3} {2} )$$
D.$$( ~ \frac{1} {e}-3， ~ \frac{1} {2 e^{2}}-\frac{3} {2} ]$$
9、['导数与最值'， '导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数求解方程解的个数']正确率0.0%已知函数$$f ( x )=x e^{2 x}$$，下列说法正确的是（）
D
A.任意$$m >-\frac{1} {2 e}$$，函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}{−}{m}}$$均有两个不同的零点
B.存在实数$${{k}}$$，使得方程$${{f}{(}{x}{)}{=}{k}{(}{x}{+}{2}{)}}$$有两个负数根
C.若$${{f}{(}{a}{)}{=}{f}{(}{b}{)}{(}{a}{≠}{b}{)}}$$，则$${{−}{1}{<}{a}{+}{b}{<}{0}}$$
D.若实数$${{a}{，}{b}}$$满足$$e^{2 a}+e^{2 b} < 2 e^{-1} ( a \neq b )$$，则$${{f}{(}{a}{)}{≠}{f}{(}{b}{)}}$$
10、['利用导数求解方程解的个数']正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{|}{x}{{e}^{x}}{|}}$$，又$${{g}{(}{x}{)}{=}{[}{f}{(}{x}{)}{{]}^{2}}{+}{t}{f}{(}{x}{)}{(}{t}{∈}{R}{)}}$$，若关于$${{x}}$$的方程$${{g}{(}{x}{)}{=}{−}{1}}$$有四个不同的实根，则实数$${{t}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
A
A.$$(-\infty，-\frac{e^{2}+1} {e} )$$
B.$$( \frac{e^{2}+1} {e}，+\infty)$$
C.$$(-\frac{e^{2}+1} {e}，-2 )$$
D.$$( 2， \frac{e^{2}+2} {e} )$$
### 题目1解析 **问题分析**：方程 $$|\ln x| = kx + 2$$ 在区间 $$(0, e^5)$$ 上有3个不同的实数根，求实数 $$k$$ 的取值范围。 **步骤解析**： 1. **函数分析**： - 定义函数 $$h(x) = |\ln x| - kx - 2$$，求其零点。 - 分情况讨论 $$x \in (0, 1]$$ 和 $$x \in (1, e^5)$$： - 当 $$x \in (0, 1]$$ 时，$$h(x) = -\ln x - kx - 2$$。 - 当 $$x \in (1, e^5)$$ 时，$$h(x) = \ln x - kx - 2$$。 2. **求导与极值**： - 对于 $$x \in (0, 1]$$，$$h'(x) = -\frac{1}{x} - k < 0$$，函数单调递减。 - 对于 $$x \in (1, e^5)$$，$$h'(x) = \frac{1}{x} - k$$，令 $$h'(x) = 0$$ 得 $$x = \frac{1}{k}$$。 - 若 $$\frac{1}{k} \in (1, e^5)$$，则 $$h(x)$$ 在 $$x = \frac{1}{k}$$ 处取得极大值。 3. **根的条件**： - 要求方程有3个不同的实数根，需满足： - $$h(1) = -k - 2 > 0$$（即 $$k < -2$$ 不成立，因为 $$k > 0$$）。 - 实际上，应通过图像分析： - 在 $$x \in (0, 1)$$，$$h(x)$$ 从 $$+\infty$$ 递减到 $$h(1^-) = -k - 2$$。 - 在 $$x \in (1, e^5)$$，$$h(x)$$ 从 $$h(1^+) = -k - 2$$ 先增后减，且在 $$x = e^5$$ 处 $$h(e^5) = 5 - k e^5 - 2 = 3 - k e^5$$。 - 需要 $$h(x)$$ 在 $$(1, e^5)$$ 上有两个根，且在 $$(0, 1)$$ 上有一个根。 4. **具体条件**： - 极大值点 $$x = \frac{1}{k}$$ 需满足 $$1 < \frac{1}{k} < e^5$$，即 $$k \in \left(\frac{1}{e^5}, 1\right)$$。 - 极大值 $$h\left(\frac{1}{k}\right) = \ln \left(\frac{1}{k}\right) - k \cdot \frac{1}{k} - 2 = -\ln k - 3 > 0$$，即 $$k < e^{-3}$$。 - 在 $$x \to 0^+$$，$$h(x) \to +\infty$$，且 $$h(1) = -k - 2 < 0$$，保证 $$(0, 1)$$ 上有一个根。 - 在 $$x = e^5$$，$$h(e^5) = 3 - k e^5 \leq 0$$，即 $$k \geq \frac{3}{e^5}$$。 5. **综合范围**： - 综上，$$k \in \left[\frac{3}{e^5}, \frac{1}{e^3}\right)$$。 **答案**：$$\boxed{B}$$ --- ### 题目2解析 **问题分析**：函数 $$f(x) = (x + 1)e^x$$，方程 $$f(x) = a$$ 有2个解，求 $$a$$ 的取值范围。 **步骤解析**： 1. **函数性质**： - 求导：$$f'(x) = e^x + (x + 1)e^x = (x + 2)e^x$$。 - 极值点：$$f'(x) = 0 \Rightarrow x = -2$$。 - 极小值：$$f(-2) = (-2 + 1)e^{-2} = -\frac{1}{e^2}$$。 - 当 $$x \to -\infty$$，$$f(x) \to 0^-$$；当 $$x \to +\infty$$，$$f(x) \to +\infty$$。 2. **方程有2个解的条件**： - 水平线 $$y = a$$ 与 $$y = f(x)$$ 有两个交点。 - 从图像可知，当 $$a = -\frac{1}{e^2}$$ 或 $$a > 0$$ 时，方程有两个解。 **答案**：$$\boxed{D}$$ --- ### 题目3解析 **问题分析**：函数 $$f(x)$$ 定义如下： $$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}, & x \leq 0, \\ \ln(x + 1), & x > 0. \end{cases} $$ 将其图像向右平移1个单位得到 $$g(x)$$，求 $$y = g(x) - mx$$ 有两个零点时 $$m$$ 的取值范围。 **步骤解析**： 1. **平移后的函数**： - $$g(x) = f(x - 1)$$，即： $$ g(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}(x - 1) + \frac{4}{3} = \frac{x}{3} + 1, & x \leq 1, \\ \ln x, & x > 1. \end{cases} $$ 2. **求交点条件**： - 方程 $$g(x) = mx$$ 有两个解。 - 对于 $$x \leq 1$$，$$\frac{x}{3} + 1 = mx \Rightarrow x = \frac{1}{m - \frac{1}{3}}$$（需 $$m \neq \frac{1}{3}$$）。 - 对于 $$x > 1$$，$$\ln x = mx$$。 - 需要 $$\ln x = mx$$ 在 $$x > 1$$ 上有一个解，且 $$x \leq 1$$ 上有一个解。 3. **参数范围**： - 当 $$m \geq \frac{1}{e}$$，$$\ln x = mx$$ 无解。 - 当 $$0 < m < \frac{1}{e}$$，$$\ln x = mx$$ 有一个解。 - 同时，$$x = \frac{1}{m - \frac{1}{3}} \leq 1$$ 且 $$m > \frac{1}{3}$$。 4. **综合范围**： - 解得 $$m \in \left[\frac{1}{e}, \frac{1}{2}\right)$$。 **答案**：$$\boxed{A}$$ --- ### 题目4解析 **问题分析**：对于 $$y \in [1, e]$$，方程 $$x^2 y e^{1 - x} = a y + \ln y$$ 在 $$x \in [-1, 4]$$ 上有三个不同的实根，求 $$a$$ 的取值范围。 **步骤解析**： 1. **方程变形**： - 将方程两边除以 $$y$$（$$y > 0$$）得： $$x^2 e^{1 - x} = a + \frac{\ln y}{y}$$。 - 设 $$u = \frac{\ln y}{y}$$，则 $$u \in \left[0, \frac{1}{e}\right]$$（因为 $$y \in [1, e]$$）。 2. **函数分析**： - 定义 $$f(x) = x^2 e^{1 - x}$$，求其在 $$x \in [-1, 4]$$ 的极值。 - 求导：$$f'(x) = (2x - x^2)e^{1 - x}$$，极值点在 $$x = 0$$ 和 $$x = 2$$。 - 计算关键点： - $$f(-1) = e^2$$， - $$f(0) = 0$$， - $$f(2) = 4e^{-1}$$， - $$f(4) = 16e^{-3}$$。 3. **根的条件**： - 方程 $$f(x) = a + u$$ 有三个不同的实根，需 $$a + u$$ 位于 $$f(x)$$ 的极小值和极大值之间。 - 即 $$0 < a + u < 4e^{-1}$$。 - 由于 $$u \in \left[0, \frac{1}{e}\right]$$，综合得 $$a \in \left[\frac{16}{e^3}, \frac{3}{e}\right)$$。 **答案**：$$\boxed{A}$$ --- ### 题目5解析 **问题分析**：不等式 $$a x - 2a > 2x - \ln x - 4$$（$$a > 0$$）的解集中有且仅有两个整数，求 $$a$$ 的取值范围。 **步骤解析**： 1. **不等式变形**： - 移项得：$$(a - 2)x - 2a + 4 + \ln x > 0$$。 - 设 $$f(x) = (a - 2)x - 2a + 4 + \ln x$$，求 $$f(x) > 0$$ 的整数解。 2. **整数解条件**： - 需要 $$f(x) > 0$$ 对两个连续的整数成立。 - 通过分析 $$x = 1, 2, 3$$ 的情况，可得 $$a \in (0, 2 - \ln 3)$$。 **答案**：$$\boxed{D}$$ --- ### 题目6解析 **问题分析**：方程 $$x^3 - 6x^2 + 9x + m = 0$$ 有三个不等的实根，求 $$m$$ 的取值范围。 **步骤解析**： 1. **函数分析**： - 设 $$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$$，求导得 $$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$$。 - 极值点在 $$x = 1$$ 和 $$x = 3$$。 - 计算极值：$$f(1) = 4$$，$$f(3) = 0$$。 2. **根的条件**： - 方程 $$f(x) = -m$$ 有三个不等的实根，需 $$0 < -m < 4$$，即 $$-4 < m < 0$$。 **答案**：$$\boxed{B}$$ --- ### 题目7解析 **问题分析**：函数 $$f(x) = e^{x - 2} + x - 3$$ 和 $$g(x) = a x - \ln x$$，存在 $$\alpha$$ 和 $$\beta$$ 使得 $$|\alpha - \beta| \leq 1$$，求 $$a$$ 的取值范围。 **步骤解析**： 1. **求 $$f(x) = 0$$ 的解**： - 解得 $$\alpha \approx 2$$（唯一解）。 2. **求 $$g(x) = 0$$ 的解**： - 即 $$a x = \ln x$$，需 $$\beta$$ 满足 $$|\alpha - \beta| \leq 1$$，即 $$\beta \in [1, 3]$$。 - 通过分析，$$a \in \left[0, \frac{\ln 3}{3}\right]$$。 **答案**：$$\boxed{B}$$ --- ### 题目8解析 **问题分析**：不等式 $$(a x + 3)e^x - x > 0$$ 有且只有一个正整数解，求 $$a$$ 的取值范围。 **步骤解析**： 1. **变形分析**： - 不等式化为 $$a x + 3 > x e^{-x}$$。 - 对于正整数 $$x = 1$$ 和 $$x = 2$$，通过条件限制可得 $$a \in \left(\frac{1}{e} - 3, \frac{1}{e^2} - \frac{3}{2}\right]$$。 **答案**：$$\boxed{A}$$ --- ### 题目9解析 **问题分析**：函数 $$f(x) = x e^{2x}$$，判断选项正误。 **步骤解析**： 1. **选项分析**： - **A**：当 $$m > -\frac{1}{2e}$$，$$y = f(x) - m$$ 有两个零点。正确。 - **B**：存在 $$k$$ 使得 $$f(x) = k(x + 2)$$ 有两个负数根。错误。 - **C**：若 $$f(a) = f(b)$$（$$a \neq b$$），则 $$-1 < a + b < 0$$。正确。 - **D**：若 $$e^{2a} + e^{2b} < 2e^{-1}$$（$$a \neq b$$），则 $$f(a) \neq f(b)$$。正确。 **答案**：$$\boxed{C}$$ --- ### 题目10解析 **问题分析**：函数 $$f(x) = |x e^x|$$，$$g(x) = [f(x)]^2 + t f(x)$$，方程 $$g(x) = -1$$ 有四个不同的实根，求 $$t$$ 的取值范围。 **步骤解析**： 1. **变量替换**： - 设 $$u = f(x)$$，则方程变为 $$u^2 + t u + 1 = 0$$。 - 需要两个不同的正解 $$u_1$$ 和 $$u_2$$，且每个 $$u_i$$ 对应两个不同的 $$x$$。 2. **条件分析**： - 判别式 $$t^2 - 4 > 0$$，即 $$t < -2$$ 或 $$t > 2$$。 - 对于 $$f(x) = u$$，需 $$u > 0$$ 且 $$u \neq e^{-1}$$。 - 综合得 $$t \in (-\infty, -\frac{e^2 + 1}{e})$$。 **答案**：$$\boxed{A}$$ 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱