.jpg)
正确率40.0%三次函数$$f ( x )=a x^{3}-\frac{3} {2} x^{2}+2 x+1$$的图象在点$$( {\bf1}， ~ f ( {\bf1} ) ~ )$$处的切线与$${{x}}$$轴平行，则$${{f}{（}{x}{）}}$$在区间$$( 1， \ 3 )$$上的最小值是（）
D
A.$$\frac{8} {2}$$
B.$$\frac{1 1} {6}$$
C.$$\frac{1 1} {3}$$
D.$$\frac{5} {3}$$
3、['导数与单调性'， '利用导数讨论函数单调性']正确率60.0%已知偶函数$$y=f ~ ( x )$$对于任意的$$x \in[ 0， \， \， \， \frac{\pi} {2} )$$满足$$f^{\prime} \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \cos x+f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ \mathrm{s i}$$其中$$f^{\prime} \textsubscript{\textit{( x )}}$$是函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的导函数），则下列不等式中成立的是（）
D
A.$$\sqrt{2} f (-\frac{\pi} {3} ) < f ( \frac{\pi} {4} )$$
B.$$\sqrt2 f (-\frac{\pi} {3} ) < f (-\frac{\pi} {4} )$$
C.$$f ( 0 ) > \sqrt{2} f (-\frac{\pi} {4} )$$
D.$$f ( \frac{\pi} {6} ) < \sqrt{3} f ( \frac{\pi} {3} )$$
4、['函数奇偶性的应用'， '简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则'， '导数与单调性'， '利用导数讨论函数单调性'， '不等式比较大小']正确率19.999999999999996%已知定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$$f ( x )=f (-x )$$，且当$$x \in(-\infty， 0 ]$$时，$$f ( x )+x f^{\prime} ( x ) < 0$$成立，若$$a=( 2^{0. 1} ) f ( 2^{0. 1} )， b=( \operatorname{l n} 2 ) f ( \operatorname{l n} 2 )， c=( \operatorname{l o g}_{2} \frac1 8 ) f ( \operatorname{l o g}_{2} \frac1 8 )$$
，则$$a， ~ b， ~ c$$的大小关系是
B
A.$$a > b > c$$
B.$$c > b > a$$
C.$$c > a > b$$
D.$$a > c > b$$
7、['对数式的大小的比较'， '导数与单调性'， '导数中不等式恒成立与存在性问题']正确率40.0%若$$x \in~ ( {\bf0}， ~ {\it+\infty} )$$，则下列不等式一定成立的是（）
D
A.$$\l n x^{2} > \l n x$$
B.$${{2}^{x}{⩾}{{x}^{2}}}$$
C.$${{x}^{2}{>}{x}}$$
D.$${{x}{>}{{s}{i}{n}}{x}}$$
8、['导数与单调性']正确率40.0%已知定义在$${{R}}$$上的可导函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的导函数为$$f^{\prime} ( x )，$$满足$$f ( x ) < f^{\prime} ( x )，$$且$$f ( 0 )=2，$$则不等式$$\frac{f ( x )} {\mathrm{e^{x}}} > 2$$的解集为（）
B
A.$$(-\infty， 0 )$$
B.$$( 0，+\infty)$$
C.$$(-\infty， 2 )$$
D.$$( 2，+\infty)$$
9、['导数与单调性']正确率80.0%函数$$f ( x )=-x^{2}+2 \operatorname{l n} x$$的单调增区间是$${{(}{)}}$$
B
A.$$(-1， 1 )$$
B.$$( 0， 1 )$$
C.$$(-\infty，-1 )$$，$$( 1，+\infty)$$
D.$$( 1，+\infty)$$
10、['导数与单调性'， '导数与最值']正确率80.0%定义域为$${{R}}$$的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$$f (-3 )=6$$，且$$f^{\prime} ( x ) > x^{2}+1$$对$${{x}{∈}{R}}$$恒成立，则$$f ( x ) > \frac1 3 x^{3}+1 5$$的解集为$${{(}{)}}$$
A
A.$$(-3，+\infty)$$
B.$$(-\infty，-3 )$$
C.$$(-\infty， 3 )$$
D.$$( 3，+\infty)$$
以下是各题的详细解析： --- ### 第2题解析首先求导数：$$f'(x) = 3a x^2 - 3x + 2$$。
在点 $$(1, f(1))$$ 处切线与 $$x$$ 轴平行，故 $$f'(1) = 0$$：
$$3a \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 + 2 = 0 \Rightarrow 3a - 3 + 2 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{3}$$。
因此函数为：$$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + 1$$。
在区间 $$(1, 3)$$ 上求极值点：令 $$f'(x) = x^2 - 3x + 2 = 0$$，解得 $$x = 1$$ 或 $$x = 2$$。
计算函数值：
$$f(1) = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 + 1 = \frac{11}{6}$$，
$$f(2) = \frac{8}{3} - 6 + 4 + 1 = \frac{11}{3}$$，
$$f(3) = 9 - \frac{27}{2} + 6 + 1 = \frac{5}{2}$$。
比较得最小值为 $$f(1) = \frac{11}{6}$$，故选 **B**。
--- ### 第3题解析题目条件为偶函数 $$y = f(x)$$ 满足导数关系：
$$f'(x) \cos x + f(x) \sin x > 0$$。
可改写为 $$\frac{d}{dx} [f(x) \cos x] > 0$$，即 $$f(x) \cos x$$ 单调递增。
由于 $$f(x)$$ 为偶函数，比较选项：
**A**：$$\sqrt{2} f(-\frac{\pi}{3}) = \sqrt{2} f(\frac{\pi}{3})$$，需与 $$f(\frac{\pi}{4})$$ 比较。
由单调性，$$\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3}$$，故 $$f(\frac{\pi}{4}) \cos \frac{\pi}{4} < f(\frac{\pi}{3}) \cos \frac{\pi}{3}$$，即 $$\frac{\sqrt{2}}{2} f(\frac{\pi}{4}) < \frac{1}{2} f(\frac{\pi}{3})$$，化简得 $$\sqrt{2} f(\frac{\pi}{4}) < f(\frac{\pi}{3})$$，即 **A** 成立。
其他选项不满足条件，故选 **A**。
--- ### 第4题解析函数满足 $$f(x) = f(-x)$$（偶函数），且当 $$x \leq 0$$ 时，$$f(x) + x f'(x) < 0$$。
令 $$g(x) = x f(x)$$，则 $$g'(x) = f(x) + x f'(x)$$。
当 $$x \leq 0$$ 时，$$g'(x) < 0$$，故 $$g(x)$$ 在 $$(-\infty, 0]$$ 单调递减。
比较 $$a, b, c$$：
$$a = 2^{0.1} f(2^{0.1}) = g(2^{0.1})$$，
$$b = \ln 2 f(\ln 2) = g(\ln 2)$$，
$$c = \log_2 \frac{1}{8} f(\log_2 \frac{1}{8}) = g(-3)$$。
由于 $$-3 < \ln 2 < 2^{0.1}$$，且 $$g(x)$$ 在负数区间递减，故 $$g(-3) > g(\ln 2) > g(2^{0.1})$$，即 $$c > b > a$$，故选 **B**。
--- ### 第7题解析逐一分析选项：
**A**：当 $$0 < x < 1$$ 时，$$\ln x^2 = 2 \ln x < \ln x$$，不成立。
**B**：$$2^x \geq x^2$$ 在 $$x \in (0, +\infty)$$ 不恒成立（如 $$x=3$$ 时 $$8 \geq 9$$ 不成立）。
**C**：$$x^2 > x$$ 仅在 $$x > 1$$ 或 $$x < 0$$ 成立，不满足 $$x \in (0, +\infty)$$。
**D**：$$x > \sin x$$ 在 $$x > 0$$ 时恒成立（由导数易证），故选 **D**。
--- ### 第8题解析设 $$g(x) = \frac{f(x)}{e^x}$$，则 $$g'(x) = \frac{f'(x) - f(x)}{e^x} > 0$$（因 $$f'(x) > f(x)$$）。
故 $$g(x)$$ 单调递增，且 $$g(0) = \frac{f(0)}{e^0} = 2$$。
不等式 $$\frac{f(x)}{e^x} > 2$$ 等价于 $$g(x) > g(0)$$，由单调性得 $$x > 0$$，故选 **B**。
--- ### 第9题解析函数定义域为 $$x > 0$$，求导数：
$$f'(x) = -2x + \frac{2}{x} = \frac{-2x^2 + 2}{x}$$。
令 $$f'(x) > 0$$，得 $$-2x^2 + 2 > 0 \Rightarrow x^2 < 1 \Rightarrow 0 < x < 1$$。
故单调增区间为 $$(0, 1)$$，选 **B**。
--- ### 第10题解析设 $$g(x) = f(x) - \left(\frac{1}{3}x^3 + x\right)$$，则 $$g'(x) = f'(x) - (x^2 + 1) > 0$$。
故 $$g(x)$$ 单调递增，且 $$g(-3) = f(-3) - \left(\frac{1}{3}(-3)^3 + (-3)\right) = 6 - (-9 - 3) = 18$$。
不等式 $$f(x) > \frac{1}{3}x^3 + 15$$ 等价于 $$g(x) > 15$$，由单调性得 $$x > -3$$，故选 **A**。
题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱