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正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\mathrm{e}^{x^{2}-2 \mathrm{l n} x}-2 a \mathrm{l n} x+a x^{2}$$有两个不同的零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是 （）
D
A.$$(-\sqrt{\mathrm{e}}， \ 0 )$$
B.$$(-\infty， ~-\sqrt{\mathrm{e}} )$$
C.$$(-\infty， \ 0 )$$
D.$$(-\infty， ~-\mathrm{e} )$$
2、['正切曲线的对称中心'， '函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '三角函数值在各象限的符号'， '正弦曲线的对称轴'， '导数中不等式恒成立与存在性问题'， '绝对值的概念与几何意义'， '利用导数解决函数零点问题'， '函数零点个数的判定']正确率40.0%有下列叙述，
$${①}$$函数$${{y}{=}{{t}{a}{n}}{x}}$$的对称中心是$$( k \pi， 0 )$$；
$${②}$$若函数$$f ( x )=2 \mathrm{s i n} ( \omega x+\varphi) ( \omega\! > \! 0， 0 < \varphi< \pi)$$对于任意$${{x}{∈}{R}}$$都有$$f ( \frac{\pi} {6} \!+\! x ) \!=\! f ( \frac{\pi} {6} \!-\! x )$$成立，则$$f ( \frac{\pi} {6} )=2$$；
$${③}$$函数$$f ( x ) \mathbf{=} x-\operatorname{s i n} x$$在$${{R}}$$上有且只有一个零点；
$${④}$$已知定义在$${{R}}$$上的函数$$f ( x )=| \frac{\operatorname{s i n} x-\operatorname{c o s} x} {2} |+\frac{\operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x} {2}$$，当且仅当$$2 k \pi-\frac{\pi} {2} < x < 2 k \pi+\pi( k \in{\bf Z} )$$时，$$f ( x ) > 0$$成立．
则其中正确的叙述有（）
B
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
3、['导数与最值'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '两条直线垂直'， '利用导数解决函数零点问题']正确率40.0%已知函数$$g \left( x \right)=a \left( x+1 \right) \operatorname{l n} ( x+1 )$$的图像在点$$\left( e^{2}-1， g \left( e^{2}-1 \right) \right)$$处的切线与直线$$x+6 y+1=0$$垂直$$( e=2. 7 1 8 2 8 \dots$$是自然对数的底数$${{)}}$$，函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$满足$$x f \left( x \right)+g \left( x-1 \right)-x^{3}=0$$，若关于$${{x}}$$的方程$$f^{2} ( x )-b f ( x )+c=0 ( b \in R )$$在区间$$[ \frac{1} {e}， e \brack$$上恰有$${{3}}$$个不同的实数解，则实数$${{b}}$$的取值范围是
D
A.$$( 1， \frac{1} {e^{2}}+2 ]$$
B.$$\left[ \frac{1} {e^{2}}+2， e^{2}-2 \right]$$
C.$$\left[ e^{2}-2， \frac{1} {e^{2}}+e^{2} \right]$$
D.$$( 2， \frac{1} {e^{2}}+e^{2} ]$$
4、['根据函数零点个数求参数范围'， '利用导数解决函数零点问题'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{matrix} {x^{2}+4 x+2， x \leqslant0} \\ {\frac{e \operatorname{l n} x} {x}， x > 0} \\ \end{matrix} \right.$$，若函数$$g \left( x \right)=f \left( x \right)-3 m$$有$${{4}}$$个不同的零点，则$${{m}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
C
A.$$\left( 0， \frac{2} {3} \right)$$
B.$$\left(-\frac{2} {3}， \frac{2} {3} \right)$$
C.$$\left( 0， \frac{1} {3} \right)$$
D.$$\left(-\frac{2} {3}， \frac{1} {3} \right)$$
5、['导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数解决函数零点问题'， '函数零点个数的判定']正确率40.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=2 x^{3}-6 x^{2}+7$$在$$( {\bf0}， ~ {\bf2} )$$内零点的个数为（）
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
6、['利用导数讨论函数单调性'， '根据函数零点个数求参数范围'， '利用导数解决函数零点问题']正确率0.0%若$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=e^{x}-a x^{2}+\left( \begin{matrix} {a} \\ {-e} \\ \end{matrix} \right) \cdot x$$有三个不同的零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$
B.$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\boldmath~ e ~} )$$
C.$$[ 1， ~ e )$$
D.$$( \textit{e}， \textit{}+\infty)$$
7、['导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数解决函数零点问题']正确率40.0%svg异常
D
A.$${{0}}$$个
B.$${{1}}$$个
C.$${{2}}$$个
D.$${{3}}$$
8、['导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数解决函数零点问题']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{l n} x-x^{3}+2 e x^{2}-( a+e^{2} ) x$$在定义域内有零点，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
B
A.$$(-\infty， \frac{1} {e} )$$
B.$$\left(-\infty， \frac{1} {e} \right]$$
C.$$\left( 0， \frac{1} {e} \right]$$
D.$$[ \frac{1} {e}，+\infty)$$
9、['导数与最值'， '利用导数解决函数零点问题']正确率40.0%设$${{D}}$$是函数$$y=f ( x )$$定义域内的一个区间，若存在$${{x}_{0}{∈}{D}}$$，使$$f ( x_{0} )=k x_{0} ( k \neq0 )$$，则称$${{x}_{0}}$$是$$y=f ( x )$$在区间$${{D}}$$上的一个$${{“}{k}}$$阶不动点$${{”}}$$，若函数$$f ( x )=a x^{2}+x-a+\frac5 2$$在区间$$[ 1， 4 ]$$上存在$${{“}{3}}$$阶不动点$${{”}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A
A.$$(-\infty， \frac{1} {2} ]$$
B.$$( 0， \frac{1} {2} )$$
C.$$[ \frac{1} {2}，+\infty)$$
D.$$(-\infty， 0 ]$$
10、['利用导数解决函数零点问题']正确率80.0%函数$$f ( x )=\operatorname{l n} x-x+1$$的零点个数是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
1. 题目解析：
函数 $$f(x) = e^{x^2 - 2 \ln x} - 2a \ln x + a x^2$$ 有两个不同的零点。
首先简化函数表达式：
$$e^{x^2 - 2 \ln x} = e^{x^2} \cdot e^{-2 \ln x} = \frac{e^{x^2}}{x^2}$$
因此，函数可以表示为：
$$f(x) = \frac{e^{x^2}}{x^2} - 2a \ln x + a x^2$$
设 $$t = \ln x$$，则 $$x = e^t$$，代入得：
$$f(e^t) = \frac{e^{e^{2t}}}{e^{2t}} - 2a t + a e^{2t} = e^{e^{2t} - 2t} - 2a t + a e^{2t}$$
要求 $$f(x)$$ 有两个不同的零点，即 $$f(e^t) = 0$$ 有两个不同的解。
设 $$g(t) = e^{e^{2t} - 2t} + a e^{2t} - 2a t$$，则需 $$g(t) = 0$$ 有两个不同的解。
分析函数行为：
当 $$a = 0$$ 时，$$g(t) = e^{e^{2t} - 2t} > 0$$，无零点。
当 $$a < 0$$ 时，$$g(t)$$ 在 $$t \to -\infty$$ 时趋近于 $$+\infty$$，在 $$t \to +\infty$$ 时趋近于 $$+\infty$$，且存在极小值点。
通过求导分析极值点，发现当 $$a < -\sqrt{e}$$ 时，$$g(t)$$ 有两个零点。
因此，实数 $$a$$ 的取值范围是 $$(-\infty, -\sqrt{e})$$，对应选项 B。
2. 题目解析：
① 函数 $$y = \tan x$$ 的对称中心是 $$(k\pi/2, 0)$$，而非 $$(k\pi, 0)$$，因此错误。
② 函数 $$f(x) = 2 \sin(\omega x + \phi)$$ 满足 $$f\left(\frac{\pi}{6} + x\right) = f\left(\frac{\pi}{6} - x\right)$$，说明 $$x = \frac{\pi}{6}$$ 是函数的对称轴，因此 $$\omega \cdot \frac{\pi}{6} + \phi = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，且 $$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \pm 2$$，题目中未说明符号，因此不一定成立。
③ 函数 $$f(x) = x - \sin x$$ 的导数为 $$f'(x) = 1 - \cos x \geq 0$$，且 $$f(0) = 0$$，函数单调递增，因此只有一个零点，正确。
④ 函数 $$f(x) = \left|\frac{\sin x - \cos x}{2}\right| + \frac{\sin x + \cos x}{2}$$，分析其定义域和符号，发现当 $$2k\pi - \frac{\pi}{2} < x < 2k\pi + \pi$$ 时，$$f(x) > 0$$ 成立，正确。
综上，正确的叙述有 2 个，对应选项 B。
3. 题目解析：
函数 $$g(x) = a(x+1) \ln(x+1)$$ 在点 $$(e^2 - 1, g(e^2 - 1))$$ 处的切线与直线 $$x + 6y + 1 = 0$$ 垂直，说明切线斜率为 6。
求导得：
$$g'(x) = a \ln(x+1) + a$$
在 $$x = e^2 - 1$$ 处：
$$g'(e^2 - 1) = a \ln(e^2) + a = 2a + a = 3a = 6$$
因此 $$a = 2$$。
根据 $$x f(x) + g(x-1) - x^3 = 0$$，得：
$$f(x) = \frac{x^3 - g(x-1)}{x} = x^2 - 2 \ln x$$
方程 $$f^2(x) - b f(x) + c = 0$$ 在 $$\left[\frac{1}{e}, e\right]$$ 上有 3 个不同的实数解，等价于 $$f(x)$$ 与某水平线 $$y = k$$ 有三个交点。
分析 $$f(x) = x^2 - 2 \ln x$$ 在区间上的极值：
$$f'(x) = 2x - \frac{2}{x}$$，极值点为 $$x = 1$$，$$f(1) = 1$$，$$f\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e^2} + 2$$，$$f(e) = e^2 - 2$$。
因此，$$b$$ 的取值范围是 $$(1, \frac{1}{e^2} + 2]$$，对应选项 A。
4. 题目解析：
函数 $$f(x)$$ 分为两部分：
1. 当 $$x \leq 0$$ 时，$$f(x) = x^2 + 4x + 2$$，其零点为 $$x = -2 \pm \sqrt{2}$$。
2. 当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = \frac{e \ln x}{x}$$，其零点为 $$x = 1$$。
函数 $$g(x) = f(x) - 3m$$ 有 4 个不同的零点，要求 $$f(x) = 3m$$ 有 4 个解。
分析 $$f(x)$$ 的图像：
- 对于 $$x \leq 0$$，$$f(x)$$ 在 $$x = -2$$ 处取得极小值 $$f(-2) = -2$$。
- 对于 $$x > 0$$，$$f(x)$$ 在 $$x = e$$ 处取得极大值 $$f(e) = \frac{e}{e} = 1$$。
因此，$$3m$$ 的取值范围是 $$(0, 1)$$，即 $$m \in \left(0, \frac{1}{3}\right)$$，对应选项 C。
5. 题目解析：
函数 $$f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 7$$ 在 $$(0, 2)$$ 内的零点个数。
求导得：
$$f'(x) = 6x^2 - 12x$$，极值点为 $$x = 0$$ 和 $$x = 2$$。
计算函数值：
$$f(0) = 7$$，$$f(2) = -1$$。
由于函数在 $$(0, 2)$$ 内单调递减且连续，且 $$f(0) > 0$$，$$f(2) < 0$$，因此有一个零点，对应选项 B。
6. 题目解析：
函数 $$f(x) = e^x - a x^2 + (a - e)x$$ 有三个不同的零点。
设 $$f(x) = 0$$，即 $$e^x - a x^2 + (a - e)x = 0$$。
分析函数行为：
当 $$x = 1$$ 时，$$f(1) = e - a + (a - e) = 0$$，因此 $$x = 1$$ 是一个零点。
要求另外两个零点，需 $$f(x)$$ 在 $$x \neq 1$$ 处有极值点且极值异号。
求导得：
$$f'(x) = e^x - 2a x + (a - e)$$。
在 $$x = 1$$ 处，$$f'(1) = e - 2a + (a - e) = -a$$。
若 $$a > e$$，函数可能满足条件。
通过进一步分析，实数 $$a$$ 的取值范围是 $$(e, +\infty)$$，对应选项 D。
8. 题目解析：
函数 $$f(x) = \ln x - x^3 + 2e x^2 - (a + e^2)x$$ 在定义域内有零点。
求导得：
$$f'(x) = \frac{1}{x} - 3x^2 + 4e x - (a + e^2)$$。
分析极值点，发现当 $$a \leq \frac{1}{e}$$ 时，函数有零点。
因此，实数 $$a$$ 的取值范围是 $$(-\infty, \frac{1}{e}]$$，对应选项 B。
9. 题目解析：
函数 $$f(x) = a x^2 + x - a + \frac{5}{2}$$ 在区间 $$[1, 4]$$ 上存在 "3 阶不动点"，即存在 $$x_0 \in [1, 4]$$ 使得 $$f(x_0) = 3x_0$$。
因此，方程 $$a x^2 + x - a + \frac{5}{2} = 3x$$ 在 $$[1, 4]$$ 上有解。
化简得：
$$a x^2 - 2x - a + \frac{5}{2} = 0$$。
解此方程，发现实数 $$a$$ 的取值范围是 $$(-\infty, \frac{1}{2}]$$，对应选项 A。
10. 题目解析：
函数 $$f(x) = \ln x - x + 1$$ 的零点个数。
求导得：
$$f'(x) = \frac{1}{x} - 1$$，极值点为 $$x = 1$$。
计算函数值：
$$f(1) = 0$$，且当 $$x \to 0^+$$ 时 $$f(x) \to -\infty$$，当 $$x \to +\infty$$ 时 $$f(x) \to -\infty$$。
因此，函数 $$f(x)$$ 在 $$x = 1$$ 处有唯一零点，对应选项 A。