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正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {x^{2}-1， x < 1} \\ {\frac{\operatorname{l n} x} {x}， x \geq1} \\ \end{array} \right.$$，关于$${{x}}$$的方程$$2 [ f ( x ) ]^{2}+( 1-2 m ) f ( x )-m=0$$，有$${{5}}$$个不同的实数解，则$${{m}}$$的取值范围是（）
B
A.$$\{-1， \frac{1} {e} \}$$
B.$$\left( 0， \frac{1} {e} \right)$$
C.$$( 0，+\infty)$$
D.$$\left( 0， \frac{1} {e} \right]$$
2、['利用导数求解方程解的个数']正确率19.999999999999996%已知方程$$| \mathrm{l n} x |=k x+2$$在区间$$( 0， \ \mathrm{e}^{5} )$$上恰有$${{3}}$$个不等实数根，则实数$${{k}}$$的取值范围是（）
A
A.$$\left( \frac{3} {\mathrm{e}^{5}}， \ \frac{1} {e^{3}} \right)$$
B.$$\left[ \frac{3} {\mathrm{e}^{5}}， \frac{1} {\mathrm{e}^{3}} \right)$$
C.$$\left[ \frac{2} {\mathrm{e}^{4}}， \frac{1} {\mathrm{e}^{2}} \right]$$
D.$$\left[ \frac{2} {\mathrm{e}^{4}}， \frac{1} {\mathrm{e}^{2}} \right)$$
3、['利用导数求解方程解的个数']正确率40.0%若关于$${{x}}$$的方程$$2 x^{3}-3 x^{2}-1 2 x+k=0$$有$${{3}}$$个不等实根，则满足条件的整数$${{k}}$$的个数是（）
B
A.$${{2}{4}}$$
B.$${{2}{6}}$$
C.$${{2}{9}}$$
D.$${{3}{1}}$$
4、['函数奇偶性的应用'， '导数与单调性'， '利用导数求解方程解的个数'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\frac{1} {6} x^{3}+\frac{1} {2} b x^{2}+c x$$的导函数$$f^{\prime} ( x )$$是偶函数，若方程$$f^{\prime} ( x )-\operatorname{l n} x=0$$在区间$$[ \frac{1} {e}， \mathrm{e} \brack$$(其中$${{e}}$$为自然对数的底$${{)}}$$上有两个不相等的实数根，则实数$${{c}}$$的取值范围是（）
B
A.$$\left[-1-\frac{1} {2 \mathrm{e}^{2}}，-\frac{1} {2} \right]$$
B.$$\left[-1-\frac{1} {2 \mathrm{e}^{2}}，-\frac{1} {2} \right)$$
C.$$\left[ 1-\frac{1} {2} \mathrm{e}^{2}，-\frac{1} {2} \right)$$
D.$$\left[ 1-\frac{1} {2} \mathrm{e}^{2}，-\frac{1} {2} \right]$$
5、['导数与单调性'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数求解方程解的个数'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系'， '常见函数的零点']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=x^{2}+2 ( 1-a ) x+\left( 1-a \right)^{2}， g ( x )=x^{-1}$$，若$${{f}{(}{x}{)}}$$和$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象有三条公切线，则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
D
A.$$1+\frac{3} {\sqrt{4}} < a < 4$$
B.$$a < 1+\frac{3} {\sqrt{4}}$$
C.$$0 < a < 1+\frac{3} {\sqrt{4}}$$
D.$$a > 1+\frac{3} {\sqrt{4}}$$
6、['函数奇偶性的应用'， '利用导数求解方程解的个数'， '函数零点个数的判定']正确率40.0%已知$${{f}{（}{x}{）}}$$是定义在$${{R}}$$上的奇函数，$${{x}{>}{0}}$$时$$f ( x )=e^{\frac{x} {3}}-3 l n x$$，则函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的零点个数为（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
7、['利用导数求解方程解的个数'， '函数零点存在定理']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=x-\operatorname{l n} ( x+1 )-1$$，则此函数$${{(}{)}}$$
D
A.没有零点
B.有唯一零点
C.有两个零点$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$，并且$$- 1 < x_{1} < 0， 1 < x_{2} < 2$$
D.有两个零点$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$，并且$$1 < x_{1}+x_{2} < 3$$
8、['导数与单调性'， '利用导数求解方程解的个数'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率19.999999999999996%不等式$$a x-2 a > 2 x-\operatorname{l n} \， x-4 ( a > 0 )$$解集中有且仅含有两个整数，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$$( \operatorname{l n} \， 3， 2 )$$
B.$$[ 2-\operatorname{l n} \， 3， 2 )$$
C.$$( 0， 2-\operatorname{l n} \， 3 ]$$
D.$$( 0， 2-\operatorname{l n} \， 3 )$$
9、['利用导数求解方程解的个数']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=| x e^{x} |$$，又$$g ( x )=[ f ( x ) ]^{2}+t f ( x ) ( t \in R )$$，若关于$${{x}}$$的方程$$g ( x )=-1$$有四个不同的实根，则实数$${{t}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
A
A.$$(-\infty，-\frac{e^{2}+1} {e} )$$
B.$$( \frac{e^{2}+1} {e}，+\infty)$$
C.$$(-\frac{e^{2}+1} {e}，-2 )$$
D.$$( 2， \frac{e^{2}+2} {e} )$$
10、['利用导数讨论函数单调性'， '利用导数求解方程解的个数']正确率40.0%方程$$x^{2}+2 x+1=\frac{1} {x} \langle$$）
D
A.无实根
B.有异号两根
C.仅有一负根
D.仅有一正根
以下是各题的详细解析： --- ### 第1题设 $$t = f(x)$$，方程转化为 $$2t^2 + (1-2m)t - m = 0$$，解得 $$t = \frac{1}{2}$$ 或 $$t = -m$$。
分析函数 $$f(x)$$ 的图像：
要求方程有5个不同的实数解，需满足：
因此，$$0 < -m < \frac{1}{e}$$，即 $$m \in \left(0, \frac{1}{e}\right)$$。
正确答案：B
--- ### 第2题方程 $$|\ln x| = kx + 2$$ 在 $$(0, e^5)$$ 上有3个不等实数根。
分析函数交点：
需满足：
通过求导和极限分析，得到 $$k$$ 的取值范围为 $$\left[\frac{3}{e^5}, \frac{1}{e^3}\right)$$。
正确答案：B
--- ### 第3题方程 $$2x^3 - 3x^2 - 12x + k = 0$$ 有3个不等实根，需满足导数 $$6x^2 - 6x - 12 = 0$$ 的极值点 $$x = -1$$ 和 $$x = 2$$ 处函数值异号。
计算极值点函数值：
需满足 $$(7 + k)(-20 + k) < 0$$，即 $$k \in (-7, 20)$$。
整数 $$k$$ 的个数为 $$26$$ 个。
正确答案：B
--- ### 第4题函数 $$f(x) = \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}bx^2 + cx$$ 的导数为 $$f'(x) = \frac{1}{2}x^2 + bx + c$$，为偶函数，故 $$b = 0$$。
方程 $$f'(x) - \ln x = 0$$ 即 $$\frac{1}{2}x^2 + c - \ln x = 0$$ 在 $$\left[\frac{1}{e}, e\right]$$ 上有两个不等实数根。
通过求导和极值分析，得到 $$c \in \left[-1 - \frac{1}{2e^2}, -\frac{1}{2}\right)$$。
正确答案：B
--- ### 第5题函数 $$f(x) = x^2 + 2(1-a)x + (1-a)^2$$ 和 $$g(x) = x^{-1}$$ 有三条公切线，需满足两函数的切线斜率相等且截距相等有三个解。
通过求导和方程求解，得到 $$a > 1 + \frac{3}{\sqrt{4}}$$。
正确答案：D
--- ### 第6题函数 $$f(x)$$ 为奇函数，$$x > 0$$ 时 $$f(x) = e^{x/3} - 3\ln x$$。
分析零点：
总共有3个零点。
正确答案：B
--- ### 第7题函数 $$f(x) = x - \ln(x+1) - 1$$，求导得 $$f'(x) = 1 - \frac{1}{x+1}$$，在 $$x = 0$$ 处取得极小值 $$f(0) = -1$$。
分析零点：
函数在 $$(-1, 0)$$ 和 $$(0, +\infty)$$ 各有一个零点，且 $$1 < x_1 + x_2 < 3$$。
正确答案：D
--- ### 第8题不等式 $$ax - 2a > 2x - \ln x - 4$$ 整理为 $$(a-2)x - 2a + 4 + \ln x > 0$$。
设 $$h(x) = (a-2)x - 2a + 4 + \ln x$$，需在整数点 $$x = 1, 2, 3$$ 处满足 $$h(1) > 0$$，$$h(2) > 0$$，且 $$h(3) \leq 0$$。
解得 $$a \in (0, 2 - \ln 3)$$。
正确答案：D
--- ### 第9题函数 $$g(x) = [f(x)]^2 + t f(x) + 1 = 0$$ 有四个不同的实根，需满足 $$f(x)$$ 的取值范围使得二次方程有两个正解。
通过分析 $$f(x) = |x e^x|$$ 的图像和极值，得到 $$t \in \left(-\frac{e^2 + 1}{e}, -2\right)$$。
正确答案：C
--- ### 第10题方程 $$x^2 + 2x + 1 = \frac{1}{x}$$ 整理为 $$x^3 + 2x^2 + x - 1 = 0$$。
设 $$f(x) = x^3 + 2x^2 + x - 1$$，求导得 $$f'(x) = 3x^2 + 4x + 1$$，极值点在 $$x = -1$$ 和 $$x = -\frac{1}{3}$$。
分析函数值：
正确答案：D
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