导数与单调性-5.3 导数在研究函数中的应用知识点月考进阶自测题解析-云南省等高二数学选择必修,平均正确率44.00000000000001%

选项A：当$$a=0$$时，求曲线在$$(0,0)$$处的切线方程。

计算导数：$$f'(x) = e^x + e^{-x} + 3x^2 - a$$。

当$$a=0$$时，$$f'(0) = 1 + 1 + 0 - 0 = 2$$。

切线方程为$$y = f'(0)x + f(0) = 2x$$，与选项A的$$y=x$$不符，故A错误。

选项B：$$f(x)$$在$$[-1,1]$$上的最大值与最小值之和是否为0。

由于$$f(x)$$是奇函数（$$f(-x) = -f(x)$$），奇函数在对称区间上的最大值与最小值互为相反数，因此和为0，B正确。

选项C：$$f(x)$$在$$R$$上为增函数时，$$a$$的取值范围。

要求$$f'(x) = e^x + e^{-x} + 3x^2 - a \geq 0$$对所有$$x \in R$$成立。

最小值在$$x=0$$处取得：$$f'(0) = 2 - a \geq 0$$，即$$a \leq 2$$，C正确。

选项D：$$f(x)$$在$$R$$上至多有3个零点。

由于$$f(x)$$是奇函数，至少有一个零点$$x=0$$。

当$$a \leq 2$$时，$$f(x)$$单调递增，仅有一个零点。

当$$a > 2$$时，$$f(x)$$可能有多个极值点，但通过分析导数变化，最多有3个零点，D正确。

不等式可化简为$$f'(x) - f(x) \ln 2 > 0$$。

构造辅助函数$$g(x) = \frac{f(x)}{2^x}$$，则$$g'(x) = \frac{f'(x) - f(x) \ln 2}{2^x} > 0$$。

因此$$g(x)$$单调递增。

选项A：$$2f(-2) < f(-1)$$。

转化为$$g(-2) < g(-1)$$，因$$-2 < -1$$且$$g(x)$$递增，应为$$g(-2) < g(-1)$$，即$$2f(-2) < f(-1)$$，A正确。

选项B：$$2f(1) > f(2)$$。

转化为$$g(1) > g(2)$$，因$$1 < 2$$且$$g(x)$$递增，应为$$g(1) < g(2)$$，即$$2f(1) < f(2)$$，B错误。

选项C：$$4f(-2) > f(0)$$。

转化为$$g(-2) > g(0)$$，因$$-2 < 0$$且$$g(x)$$递增，应为$$g(-2) < g(0)$$，即$$4f(-2) < f(0)$$，C错误。

选项D：$$2f(0) > f(1)$$。

转化为$$g(0) > g(1)$$，因$$0 < 1$$且$$g(x)$$递增，应为$$g(0) < g(1)$$，即$$2f(0) < f(1)$$，D错误。

首先分析$$f(x)$$的分段情况：

1. 当$$x < 0$$时，$$f(x) = e^x$$，单调递增，值域为$$(0,1)$$。

2. 当$$x \geq 0$$时，$$f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 1$$，求导得$$f'(x) = 12x^2 - 12x$$，极值点在$$x=0$$和$$x=1$$。

- $$f(0) = 1$$，$$f(1) = -1$$，$$f(2) = 9$$，函数在$$[0,1]$$递减，在$$[1,+\infty)$$递增。

设$$t = f(x)$$，则$$g(x) = 0$$等价于$$t^2 - t + a = 0$$，即$$a = -t^2 + t$$。

分析$$a$$的取值范围：

1. 对于$$x < 0$$，$$t \in (0,1)$$，$$a = -t^2 + t \in (0, \frac{1}{4}]$$。

2. 对于$$x \geq 0$$，$$t \in [-1, +\infty)$$，$$a = -t^2 + t \in (-\infty, \frac{1}{4}]$$。

命题1：存在$$a$$使$$g(x)$$无零点。

当$$a > \frac{1}{4}$$时，方程无解，命题1正确。

命题2：存在$$a$$使$$g(x)$$有2个零点。

当$$a = \frac{1}{4}$$时，$$t = \frac{1}{2}$$，对应$$x < 0$$有一个解，$$x \geq 0$$可能有一个解，共2个零点，命题2正确。

命题3：存在$$a$$使$$g(x)$$有4个零点。

当$$0 < a < \frac{1}{4}$$时，$$t$$有两个解$$t_1$$和$$t_2$$，每个$$t$$可能对应多个$$x$$，通过分析可以找到4个零点的情况，命题3正确。

命题4：存在$$a$$使$$g(x)$$有6个零点。

当$$a$$接近0时，$$t \approx 0$$或$$t \approx 1$$，$$x < 0$$和$$x \geq 0$$的组合可能产生6个零点，命题4正确。

由$$f(x) = f(-x)$$可知$$f(x)$$为偶函数。

构造辅助函数$$g(x) = \frac{f(x)}{e^x}$$，则$$g'(x) = \frac{f'(x) - f(x)}{e^x} < 0$$，因此$$g(x)$$单调递减。

比较选项：

1. $$g(0) > g(1) > g(2)$$，即$$\frac{f(0)}{1} > \frac{f(1)}{e} > \frac{f(2)}{e^2}$$。

2. 整理得$$f(0) > e^{-1} f(1) > e^{-2} f(2)$$，即$$e^2 f(2) < e f(1) < f(0)$$。

不等式可改写为$$f'(x) \ln x + \frac{f(x)}{x} > 0$$。

构造辅助函数$$g(x) = f(x) \ln x$$，则$$g'(x) = f'(x) \ln x + \frac{f(x)}{x} > 0$$，因此$$g(x)$$单调递增。

由于$$a > 1 > b > 0$$：

1. 对于$$a > 1$$，$$\ln a > 0$$，$$g(a) > g(1) = 0$$，即$$f(a) \ln a > 0$$，故$$f(a) > 0$$。

2. 对于$$0 < b < 1$$，$$\ln b < 0$$，$$g(b) < g(1) = 0$$，即$$f(b) \ln b < 0$$，故$$f(b) > 0$$。

进一步分析$$x^{f(x)}$$：

1. 当$$x > 1$$时，$$x^{f(x)} > 1^{f(1)} = 1$$。

2. 当$$0 < x < 1$$时，$$x^{f(x)} < 1^{f(1)} = 1$$。

求导得$$y' = -2x - 3x^2$$，令$$y' = 0$$，解得$$x = 0$$或$$x = -\frac{2}{3}$$。

二阶导数$$y'' = -2 - 6x$$：

1. 在$$x = -\frac{2}{3}$$处，$$y'' = -2 + 4 = 2 > 0$$，为极小值点。

2. 在$$x = 0$$处，$$y'' = -2 < 0$$，为极大值点。

求导得$$f'(x) = 1 + \frac{m}{x^2} - \frac{2}{x}$$，令$$f'(x) = 0$$，得$$x^2 - 2x + m = 0$$。

有两个正根的条件是判别式$$\Delta = 4 - 4m > 0$$且$$m > 0$$，即$$0 < m < 1$$。

设$$x_1 + x_2 = 2$$，$$x_1 x_2 = m$$。

表达式$$m(x_1 x_2 + x_2^2) = m(m + x_2^2)$$，由$$x_2 = 2 - x_1$$，代入得$$m(m + (2 - x_1)^2)$$。

通过极值分析可得取值范围为$$(2, \frac{64}{27}]$$。

首先求$$f'(x) = -\frac{f'(1)}{3 \sqrt{x}} - 2x$$。

在$$x=1$$处，$$f'(1) = -\frac{f'(1)}{3} - 2$$，解得$$f'(1) = -\frac{3}{2}$$。

因此$$f(x) = \sqrt{x} - x^2$$，求导得$$f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} - 2x$$。

令$$f'(x) = 0$$，解得$$x = \frac{1}{4}$$。

不等式可改写为$$\frac{d}{dx} (f(x) \cos x) > 0$$，因此$$f(x) \cos x$$单调递增。

比较函数值：

1. $$f\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos \frac{\pi}{4} < f\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos \frac{\pi}{3}$$，即$$f\left(\frac{\pi}{4}\right) < \sqrt{2} f\left(\frac{\pi}{3}\right)$$，①正确。

2. $$f\left(\frac{\pi}{6}\right) \cos \frac{\pi}{6} < f\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos \frac{\pi}{3}$$，即$$f\left(\frac{\pi}{6}\right) < \sqrt{3} f\left(\frac{\pi}{3}\right)$$，③正确。

3. $$f\left(\frac{\pi}{6}\right) \cos \frac{\pi}{6} < f\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos \frac{\pi}{4}$$，即$$\sqrt{2} f\left(\frac{\pi}{6}\right) < \sqrt{3} f\left(\frac{\pi}{4}\right)$$，④正确。