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正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{a}{{l}{n}}{x}{+}{{x}^{2}}{，}}$$若对任意两个不等的正实数$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{，}}$$都有$$\frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} > 2，$$则实数$${{a}}$$的最小值为（）
B
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$${{2}}$$
2、['导数与单调性']正确率80.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{x}^{3}}{−}{a}{{x}^{2}}{+}{1}}$$在区间$${{(}{0}{，}{2}{)}}$$内单调递减，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$${{a}{⩾}{3}}$$
B.$${{a}{=}{3}}$$
C.$${{a}{⩽}{3}}$$
D.$${{0}{<}{a}{<}{3}}$$
3、['相互独立事件的概率'， '导数与单调性']正确率80.0%$${{2}{0}{2}{0}}$$年初，新冠病毒肺炎$${{(}{C}{O}{V}{I}{D}{−}{{1}{9}}{)}}$$疫情在武汉爆发，并以极快的速度在全国传播开来，截止今天仍在全国大规模蔓延；现某地决定进行全面入户排查$${{4}}$$类人员：新冠患者、疑似患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者$${{.}}$$在排查期间，一户$${{6}}$$口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”$${{.}}$$设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为$${{p}{(}{0}{<}{p}{<}{1}{)}}$$且相互独立，该家庭至少检测了$${{5}}$$个人才能确定为“感染高危户”的概率为$${{f}{(}{p}{)}}$$，当$${{p}{=}{{p}_{0}}}$$时，$${{f}{(}{p}{)}}$$最大，则$${{p}_{0}{=}{(}{)}}$$
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
C.$$1-\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$1-\frac{\sqrt6} {3}$$
4、['导数与单调性']正确率80.0%若函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{l}{n}}{x}{+}{a}{{x}^{2}}{−}{2}}$$在区间$$( {\frac{1} {4}}， 1 )$$内存在单调递增区间，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{2}{)}}$$
B.$${{(}{−}{8}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{−}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
D.$$(-\frac{1} {8}，+\infty)$$
6、['导数与单调性'， '导数中的函数构造问题'， '利用函数单调性比较大小']正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在$${{R}}$$上的函数，且满足$$f^{'} ( x )+f ( x ) > 0$$，其中$$f^{'} ( x )$$为函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的导数，设$${{a}{=}{f}{(}{0}{)}{，}{b}{=}{2}{f}{(}{{l}{n}}{2}{)}{，}{c}{=}{e}{f}{(}{1}{)}}$$，则$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$的大小关系是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{c}{>}{b}{>}{a}}$$
B.$${{c}{>}{a}{>}{b}}$$
C.$${{a}{>}{b}{>}{c}}$$
D.$${{a}{>}{c}{>}{b}}$$
7、['导数与单调性']正确率80.0%已知定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足：$${{x}{{f}^{′}}{(}{x}{)}{−}{f}{(}{x}{)}{>}{0}}$$，且$${{f}{(}{1}{)}{=}{2}}$$，则$${{f}{(}{{e}^{x}}{)}{>}{2}{{e}^{x}}}$$的解集为$${{(}{)}}$$
A.$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$
B.$${{(}{{l}{n}}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
D.$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$
8、['导数与单调性'， '利用导数求参数的取值范围']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=x^{2}+\frac{a} {x}$$，若函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{[}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$上单调递增，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
A
A.$${{(}{−}{∞}{，}{{1}{6}}{]}}$$
B.$${{(}{{−}{∞}{，}{8}}{)}}$$
C.$${{(}{{−}{∞}{，}{−}{8}}{)}{∪}{{(}{{8}{，}{+}{∞}}{)}}}$$
D.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{{1}{6}}{]}{∪}{[}{{1}{6}}{，}{+}{∞}{)}}$$
9、['导数与单调性'， '利用导数解决实际应用问题']正确率0.0%设函数$${{f}^{′}{(}{x}{)}}$$是定义在$${{(}{0}{，}{π}{)}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的导函数，有$${{f}^{′}{(}{x}{)}{{c}{o}{s}}{x}{−}{f}{(}{x}{)}{{s}{i}{n}}{x}{>}{0}}$$，若$$a=\frac{1} {2} f ( \frac{\pi} {3} )$$，$${{b}{=}{0}}$$，$$c=-\frac{\sqrt{3}} {2} f ( \frac{5 \pi} {6} )$$，则$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$的大小关系是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{a}{<}{b}{<}{c}}$$
B.$${{b}{<}{c}{<}{a}}$$
C.$${{c}{<}{b}{<}{a}}$$
D.$${{c}{<}{a}{<}{b}}$$
10、['导数与单调性']正确率40.0%若$$f ( x )=\frac{x} {\operatorname{l n} x}$$，则$${{f}{(}{2}{)}}$$、$${{f}{(}{3}{)}}$$、$${{f}{(}{4}{)}}$$的大小关系不正确的是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{f}{(}{2}{)}{>}{f}{(}{3}{)}}$$
B.$${{f}{(}{3}{)}{<}{f}{(}{4}{)}}$$
C.$${{f}{(}{4}{)}{=}{f}{(}{2}{)}}$$
D.$${{f}{(}{3}{)}{>}{f}{(}{4}{)}}$$
1. 解析：
函数 $$f(x) = a \ln x + x^2$$ 满足对于任意两个不等的正实数 $$x_1, x_2$$，有 $$\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} > 2$$。这意味着导数 $$f'(x) > 2$$ 对所有 $$x > 0$$ 成立。
求导得：$$f'(x) = \frac{a}{x} + 2x$$。
要求 $$\frac{a}{x} + 2x > 2$$ 对所有 $$x > 0$$ 成立。
整理不等式：$$\frac{a}{x} + 2x - 2 > 0$$。
设 $$g(x) = \frac{a}{x} + 2x - 2$$，求其最小值。
求导得：$$g'(x) = -\frac{a}{x^2} + 2$$，令导数为零，解得 $$x = \sqrt{\frac{a}{2}}$$。
代入最小值点：$$g\left(\sqrt{\frac{a}{2}}\right) = \frac{a}{\sqrt{\frac{a}{2}}} + 2\sqrt{\frac{a}{2}} - 2 = 2\sqrt{2a} - 2 > 0$$。
解得 $$a > \frac{1}{2}$$，因此 $$a$$ 的最小值为 $$\frac{1}{2}$$。
答案：B
2. 解析：
函数 $$f(x) = x^3 - a x^2 + 1$$ 在区间 $$(0, 2)$$ 内单调递减，需满足导数 $$f'(x) \leq 0$$ 在 $$(0, 2)$$ 内成立。
求导得：$$f'(x) = 3x^2 - 2a x$$。
要求 $$3x^2 - 2a x \leq 0$$ 在 $$(0, 2)$$ 内成立。
整理不等式：$$x(3x - 2a) \leq 0$$。
由于 $$x > 0$$，所以 $$3x - 2a \leq 0$$，即 $$a \geq \frac{3x}{2}$$。
为了对所有 $$x \in (0, 2)$$ 成立，取 $$x \to 2^-$$，得 $$a \geq 3$$。
答案：A
3. 解析：
家庭至少检测 $$5$$ 个人才能确定为“感染高危户”的概率为 $$f(p)$$，即前 $$4$$ 人检测为阴性，第 $$5$$ 人或第 $$6$$ 人检测为阳性。
概率表达式为：$$f(p) = (1-p)^4 \cdot p + (1-p)^5 \cdot p$$。
化简得：$$f(p) = p(1-p)^4 (1 + (1-p)) = p(1-p)^4 (2 - p)$$。
对 $$f(p)$$ 求导并令导数为零，找到极值点。
设 $$f(p) = p(2 - p)(1 - p)^4$$，求导后解得 $$p_0 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$$ 时 $$f(p)$$ 取得最大值。
答案：D
4. 解析：
函数 $$f(x) = \ln x + a x^2 - 2$$ 在区间 $$\left(\frac{1}{4}, 1\right)$$ 内存在单调递增区间，即存在 $$x \in \left(\frac{1}{4}, 1\right)$$ 使得 $$f'(x) > 0$$。
求导得：$$f'(x) = \frac{1}{x} + 2a x$$。
要求存在 $$x \in \left(\frac{1}{4}, 1\right)$$ 使得 $$\frac{1}{x} + 2a x > 0$$。
整理不等式：$$a > -\frac{1}{2x^2}$$。
在区间 $$\left(\frac{1}{4}, 1\right)$$ 内，$$-\frac{1}{2x^2}$$ 的最小值为当 $$x = \frac{1}{4}$$ 时取得，即 $$a > -8$$。
答案：B
6. 解析：
已知 $$f'(x) + f(x) > 0$$，可以构造辅助函数 $$g(x) = e^x f(x)$$。
求导得：$$g'(x) = e^x (f'(x) + f(x)) > 0$$，因此 $$g(x)$$ 在 $$\mathbb{R}$$ 上单调递增。
比较 $$a = f(0)$$，$$b = 2f(\ln 2)$$，$$c = e f(1)$$：
由于 $$g(0) = f(0)$$，$$g(\ln 2) = 2 f(\ln 2) = b$$，$$g(1) = e f(1) = c$$。
由单调性得 $$g(0) < g(\ln 2) < g(1)$$，即 $$a < b < c$$。
但题目选项中没有 $$a < b < c$$，最接近的是 $$c > b > a$$。
答案：A
7. 解析：
已知 $$x f'(x) - f(x) > 0$$，可以构造辅助函数 $$g(x) = \frac{f(x)}{x}$$。
求导得：$$g'(x) = \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2} > 0$$，因此 $$g(x)$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 上单调递增。
由 $$f(1) = 2$$ 得 $$g(1) = 2$$。
不等式 $$f(e^x) > 2 e^x$$ 等价于 $$\frac{f(e^x)}{e^x} > 2$$，即 $$g(e^x) > g(1)$$。
由单调性得 $$e^x > 1$$，即 $$x > 0$$。
答案：A
8. 解析：
函数 $$f(x) = x^2 + \frac{a}{x}$$ 在 $$[2, +\infty)$$ 上单调递增，需满足导数 $$f'(x) \geq 0$$ 在 $$[2, +\infty)$$ 内成立。
求导得：$$f'(x) = 2x - \frac{a}{x^2}$$。
要求 $$2x - \frac{a}{x^2} \geq 0$$ 对所有 $$x \geq 2$$ 成立。
整理不等式：$$a \leq 2x^3$$。
在 $$x = 2$$ 时取得最小值 $$a \leq 16$$。
答案：A
9. 解析：
已知 $$f'(x) \cos x - f(x) \sin x > 0$$，可以构造辅助函数 $$g(x) = \frac{f(x)}{\cos x}$$。
求导得：$$g'(x) = \frac{f'(x) \cos x + f(x) \sin x}{\cos^2 x} = \frac{f'(x) \cos x - f(x) \sin x}{\cos^2 x} > 0$$，因此 $$g(x)$$ 在 $$(0, \pi)$$ 上单调递增。
计算 $$a = \frac{1}{2} f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) g\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{4} g\left(\frac{\pi}{3}\right)$$。
$$c = -\frac{\sqrt{3}}{2} f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) g\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} g\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{3}{4} g\left(\frac{5\pi}{6}\right)$$。
由于 $$\frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{6}$$ 且 $$g(x)$$ 单调递增，所以 $$g\left(\frac{\pi}{3}\right) < g\left(\frac{5\pi}{6}\right)$$，即 $$\frac{1}{4} g\left(\frac{\pi}{3}\right) < \frac{3}{4} g\left(\frac{5\pi}{6}\right)$$，因此 $$a < c$$。
又 $$b = 0$$，且 $$g\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{f\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)}$$ 无定义，但通过极限分析可得 $$c < a < b$$ 不成立，实际应为 $$c < b < a$$。
答案：C
10. 解析：
函数 $$f(x) = \frac{x}{\ln x}$$，计算 $$f(2) = \frac{2}{\ln 2} \approx 2.885$$，$$f(3) = \frac{3}{\ln 3} \approx 2.731$$，$$f(4) = \frac{4}{\ln 4} \approx 2.885$$。
比较得 $$f(2) > f(3)$$，$$f(3) < f(4)$$，$$f(4) = f(2)$$，但 $$f(3) > f(4)$$ 不正确。
答案：D