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正确率60.0%已知矩形的两个顶点位于$${{x}}$$轴上，另两个顶点位于抛物线$$y=4-2 x^{2}$$在$${{x}}$$轴上方的曲线上，则当矩形的面积最大时，矩形相邻两边的长分别为（）
C
A.$$2， ~ \frac{8} {3}$$
B.$$\frac{8} {3}， \ \frac{2} {3}$$
C.$$\frac{2 \sqrt6} {3}， \ \frac{8} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{2}} {3}， \; \frac{8} {3}$$
2、['利用导数解决实际应用问题']正确率60.0%根据以往经验，某超市中的某一商品每月的销售量$${{y}}$$(单位：千克)与销售价格$${{x}}$$(单位：元/千克)满足关系式$$y=\frac{6 0} {x-2 0}+2 ( x-5 0 )^{2}，$$其中$$2 0 < \， x < \， 5 0$$.已知该商品的成本为$${{2}{0}}$$元/千克，则该超市每月销售该商品所获得的利润(单位：元)的最大值为（）
B
A.$${{8}{6}{0}{0}}$$
B.$${{8}{0}{6}{0}}$$
C.$${{6}{8}{7}{0}}$$
D.$${{4}{0}{6}{0}}$$
3、['导数与最值'， '利用导数解决实际应用问题']正确率60.0%做一个容积为$${{2}{5}{6}{{m}^{3}}}$$的底面为正方形的长方体无盖水箱(水箱厚度忽略不计)，当所用材料最少时，它的高为（）
C
A.$${{6}{m}}$$
B.$${{8}{m}}$$
C.$${{4}{m}}$$
D.$${{2}{m}}$$
4、['利用导数解决实际应用问题']正确率40.0%一艘船的燃料费$${{y}}$$(单位：元/时)与船速$${{x}}$$(单位：千米/时)的关系是$$y=\frac{1} {1 0 0} x^{3}+x$$. 若该船航行时其他费用为$${{5}{4}{0}}$$元/时，则在$${{1}{0}{0}}$$千米的航程中，要使得航行的总费用最少，船速应为（）
A
A.$${{3}{0}}$$千米/时
B.$${{3}{0}{^{3}\sqrt {2}}}$$千米/时
C.$${{3}{0}{^{3}\sqrt {4}}}$$千米/时
D.$${{6}{0}}$$千米/时
5、['导数与最值'， '利用导数解决实际应用问题']正确率40.0%某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量$${{y}{（}}$$升）关于行驶速度$${{x}{（}}$$千米$${{/}}$$时）的函数解析式为$$y=\frac1 {8 1 0 0 0} x^{3}-\frac1 {1 0} x+1 8 ( 0 < x \leqslant1 2 0 )$$．若要使该汽车行驶$${{2}{0}{0}}$$千米时的油耗最低，则汽车匀速行驶的速度应为（）
C
A.$${{6}{0}}$$千米$${{/}}$$时
B.$${{8}{0}}$$千米$${{/}}$$时
C.$${{9}{0}}$$千米$${{/}}$$时
D.$${{1}{0}{0}}$$千米$${{/}}$$时
6、['导数与最值'， '利用导数解决实际应用问题'， '圆柱、圆锥、圆台的体积']正确率40.0%已知圆柱的轴截面的周长为$${{1}{2}}$$，则该圆柱体积的最大值为（）
A
A.$${{8}{π}}$$
B.$${{4}{π}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{4}}$$
7、['利用导数解决实际应用问题'， '棱柱、棱锥、棱台的体积'， '棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积']正确率40.0%做一个容积为$${{2}{5}{6}{{m}^{3}}}$$的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为（）
C
A.$${{6}{m}}$$
B.$${{8}{m}}$$
C.$${{4}{m}}$$
D.$${{2}{m}}$$
8、['一次函数模型的应用'， '利用导数解决实际应用问题']正确率40.0%某商场从生产厂家以每件$${{2}{0}}$$元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为$${{P}}$$元，销售量为$${{Q}}$$，则销量$${{Q}{(}}$$单位：件$${{)}}$$与零售价$${{P}{(}}$$单位：元$${{)}}$$有如下关系：$$Q=8 3 0 0-1 7 0 P-P^{2}$$，则最大毛利润为$${{(}}$$毛利润$${{=}}$$销售收入$${{−}}$$进货支出$${{)}{(}{)}}$$
D
A.$${{3}{0}}$$元
B.$${{6}{0}}$$元
C.$$2 8 0 0 0$$元
D.$$2 3 0 0 0$$元
9、['变化率'， '基本初等函数的导数'， '利用导数解决实际应用问题'， '瞬时变化率']正确率60.0%一物体的运动方程是$$S=-\frac{1} {2} a t^{2} \wedge a$$为常数），则该物体在$${{t}{=}{{t}_{0}}}$$时刻的瞬时速度为（）
B
A.$${{a}{{t}_{0}}}$$
B.$${{−}{a}{{t}_{0}}}$$
C.$${\frac{1} {2}} a t_{0}$$
D.$${{2}{a}{{t}_{0}}}$$
10、['导数与单调性'， '导数与最值'， '导数与极值'， '利用导数解决实际应用问题']正确率40.0%已知横梁的强度和它的矩形横断面的长的平方与宽的乘积成正比，要将直径为$${{d}}$$的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的长和宽分别为（）
C
A.$$\sqrt{3} d， ~ \frac{\sqrt{3}} {3} d$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3} d， \ \frac{\sqrt{6}} {3} d$$
C.$${\frac{\sqrt{6}} {3}} d \mathbf{，} ~ ~ {\frac{\sqrt{3}} {3}} d$$
D.$$\sqrt{3} d， ~ \frac{\sqrt{6}} {3} d$$
1. 设矩形在 $$x$$ 轴上的顶点为 $$(a, 0)$$ 和 $$(-a, 0)$$，则抛物线上方的顶点为 $$(a, 4-2a^2)$$ 和 $$(-a, 4-2a^2)$$。矩形的长为 $$2a$$，宽为 $$4-2a^2$$，面积为 $$S = 2a \cdot (4-2a^2) = 8a - 4a^3$$。求导得 $$S' = 8 - 12a^2$$，令导数为零，解得 $$a = \frac{2\sqrt{6}}{3}$$。代入得长为 $$\frac{4\sqrt{6}}{3}$$，宽为 $$\frac{8}{3}$$。因此答案为 C。
2. 利润函数为 $$L = (x - 20) \cdot y = (x - 20)\left(\frac{60}{x-20} + 2(x-50)^2\right) = 60 + 2(x-20)(x-50)^2$$。求导得 $$L' = 2(x-50)^2 + 4(x-20)(x-50)$$，令导数为零，解得 $$x = 30$$。代入得最大利润为 $$8060$$ 元，答案为 B。
3. 设底面边长为 $$a$$，高为 $$h$$，则容积为 $$a^2 h = 256$$。材料面积为 $$A = a^2 + 4ah$$。将 $$h = \frac{256}{a^2}$$ 代入，得 $$A = a^2 + \frac{1024}{a}$$。求导得 $$A' = 2a - \frac{1024}{a^2}$$，令导数为零，解得 $$a = 8$$，则 $$h = 4$$。答案为 C。
4. 总费用为 $$T = \left(\frac{x^3}{100} + x + 540\right) \cdot \frac{100}{x} = x^2 + 100 + \frac{54000}{x}$$。求导得 $$T' = 2x - \frac{54000}{x^2}$$，令导数为零，解得 $$x = 30$$。答案为 A。
5. 油耗为 $$C = y \cdot \frac{200}{x} = \frac{200}{81000}x^2 - \frac{20}{x} + \frac{3600}{x}$$。求导得 $$C' = \frac{400}{81000}x - \frac{20}{x^2} - \frac{3600}{x^2}$$，令导数为零，解得 $$x = 90$$。答案为 C。
6. 设圆柱底面半径为 $$r$$，高为 $$h$$，则周长为 $$4r + 2h = 12$$，即 $$h = 6 - 2r$$。体积为 $$V = \pi r^2 h = \pi r^2 (6 - 2r)$$。求导得 $$V' = 12\pi r - 6\pi r^2$$，令导数为零，解得 $$r = 2$$，则 $$h = 2$$，体积为 $$8\pi$$。答案为 A。
7. 同第3题，答案为 C。
8. 毛利润为 $$L = (P - 20)Q = (P - 20)(8300 - 170P - P^2)$$。求导得 $$L' = -3P^2 - 300P + 11700$$，令导数为零，解得 $$P = 30$$。代入得最大毛利润为 $$23000$$ 元，答案为 D。
9. 瞬时速度为 $$S' = -a t$$，在 $$t = t_0$$ 时为 $$-a t_0$$。答案为 B。
10. 设长为 $$x$$，宽为 $$y$$，则 $$x^2 + y^2 = d^2$$。强度为 $$I = k x^2 y$$。将 $$y = \sqrt{d^2 - x^2}$$ 代入，求导得极值点 $$x = \frac{\sqrt{6}}{3}d$$，则 $$y = \frac{\sqrt{3}}{3}d$$。答案为 C。