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正确率40.0%
D
A.$${{0}}$$
B.$${{π}{a}}$$
C.$${\frac{4} {3}} \pi a$$
D.$${{4}{π}{a}}$$
2、['利用导数解决实际应用问题']正确率60.0%将一个边长为$${{a}}$$的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒.若该方盒的体积为$${{2}{，}}$$则$${{a}}$$的最小值为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
3、['利用导数解决实际应用问题']正确率60.0%现有一个橡皮泥制作的底面半径为$${{4}{，}}$$高为$${{3}}$$的圆锥.若将它重新制作成一个底面半径为$${{r}{，}}$$高为$${{h}}$$的圆柱(橡皮泥没有浪费)，则该圆柱表面积的最小值为（）
B
A.$${{2}{0}{π}}$$
B.$${{2}{4}{π}}$$
C.$${{2}{8}{π}}$$
D.$${{3}{2}{π}}$$
4、['导数与最值'， '利用导数解决实际应用问题']正确率40.0%为了应对某比赛，大会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为$${{2}{m}{，}}$$其容积为$${{2}{5}{0}{0}{{m}^{3}}{，}}$$池底每平方米的维修费用为$${{1}{5}{0}}$$元，设较短池壁长度为$${{x}{m}{，}}$$且据估计较短的池壁维修费用(单位：元)与池壁长度成正比，且比例系数为$$\frac{4} {2 5} k ( k > 0 )，$$较长的池壁维修费用(单位：元)满足代数式$$\frac{2 5 0 0 k} {x^{2}}，$$则当泳池的维修总费用最低时$${，{x}}$$的值为（）
A
A.$${{2}{5}}$$
B.$${{3}{0}}$$
C.$${{3}{5}}$$
D.$${{4}{0}}$$
5、['与球有关的切、接问题'， '利用导数解决实际应用问题']正确率19.999999999999996%已知长方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，$${{A}{B}{=}{5}{，}{A}{D}{=}{3}{，}{A}{{A}_{1}}{=}{4}}$$，过点$${{A}}$$且与直线$${{C}{D}}$$平行的平面$${{α}}$$将长方体分成两部分，现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面$${{α}}$$变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值是（）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{2 1} {1 0}$$
D.$${{7}{−}{2}{\sqrt {6}}}$$
6、['导数的四则运算法则'， '利用导数解决实际应用问题'， '利用导数讨论函数单调性']正确率40.0%已知定义在$$( 0， \frac{\pi} {2} )$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}{，}{{f}^{′}}{(}{x}{)}}$$为其导函数，且$${{f}{(}{x}{)}{<}{{f}^{′}}{(}{x}{)}{⋅}{{t}{a}{n}}{x}}$$恒成立，则$${{(}{)}}$$
B
A.$$\sqrt3 f ( \frac{\pi} {4} ) > \sqrt2 f ( \frac{\pi} {3} )$$
B.$$\sqrt{3} f ( \frac{\pi} {6} ) < f ( \frac{\pi} {3} )$$
C.$$\sqrt{2} f ( \frac{\pi} {6} ) > f ( \frac{\pi} {4} )$$
D.$$f ( 1 ) < 2 f ( \frac{\pi} {6} ) \cdot\operatorname{s i n} 1$$
7、['导数与最值'， '利用导数解决实际应用问题']正确率40.0%某产品的销售收入$${{y}_{1}{(}}$$万元$${{)}}$$是产量$${{x}{(}}$$千台$${{)}}$$的函数，且函数解析式为$${{y}_{1}{=}{{1}{7}}{{x}^{2}}{(}{x}{>}{0}{)}}$$，生产成本$${{y}_{2}{(}}$$万元$${{)}}$$是产量$${{x}{(}}$$千台$${{)}}$$的函数，且函数解析式为$${{y}_{2}{=}{2}{{x}^{3}}{−}{{x}^{2}}{(}{x}{>}{0}{)}}$$，要使利润最大，则该产品应生产$${{(}{)}}$$
A
A.$${{6}}$$千台
B.$${{7}}$$千台
C.$${{8}}$$千台
D.$${{9}}$$千台
8、['导数与最值'， '利用导数解决实际应用问题']正确率40.0%已知某生产厂家的年利润$${{y}{(}}$$单位：万元$${{)}}$$与年产量$${{x}{(}}$$单位：万件$${{)}}$$的函数关系式为$$y=-\frac{1} {3} x^{3}+8 1 x-2 3 4$$，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}{3}}$$万件
B.$${{1}{1}}$$万件
C.$${{9}}$$万件
D.$${{7}}$$万件
9、['导数与单调性'， '利用导数解决实际应用问题']正确率40.0%若关于$${{x}}$$的不等式$${{a}{x}{−}{2}{a}{>}{2}{x}{−}{{l}{n}}{x}{−}{4}}$$有且只有两个整数解，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{(}{2}{−}{{l}{n}}{3}{，}{2}{−}{{l}{n}}{2}{]}}$$
B.$${{(}{−}{∞}{，}{2}{−}{{l}{n}}{2}{)}}$$
C.$${{(}{−}{∞}{，}{2}{−}{{l}{n}}{3}{]}}$$
D.$${{(}{−}{∞}{，}{2}{−}{{l}{n}}{3}{)}}$$
10、['利用导数解决实际应用问题']正确率60.0%已知某生产厂家的年利润 $${{y}}$$(单位：万元)与年产量 $${{x}}$$(单位：万件)的函数关系式为$$y=-\frac{1} {3} x^{3}+8 1 x-2 3 4 \， ( x > 0 )$$，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（）
C
A.$${{1}{3}}$$万件
B.$${{1}{1}}$$万件
C.$${{9}}$$万件
D.$${{7}}$$万件
以下是各题的详细解析：
1. 解析：
题目未给出具体问题描述，仅提供选项。根据选项形式推测可能与积分或几何计算相关，但无法确定具体解法。需补充题目条件。
2. 解析：
设截去小正方形的边长为 $$x$$，则方盒的底面边长为 $$a-2x$$，高为 $$x$$。体积为：
$$V = (a-2x)^2 \cdot x = 2$$
对 $$a$$ 求最小值，需建立约束关系。通过求导或观察，当 $$a=3$$ 时满足条件（例如 $$x=0.5$$ 时 $$(3-1)^2 \cdot 0.5 = 2$$），故最小值为 $$3$$，选 C。
3. 解析：
圆锥体积为 $$\frac{1}{3} \pi \cdot 4^2 \cdot 3 = 16\pi$$。圆柱体积相同：$$\pi r^2 h = 16\pi$$，即 $$r^2 h = 16$$。
圆柱表面积为 $$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$$。代入 $$h = \frac{16}{r^2}$$，得：
$$S = 2\pi r^2 + \frac{32\pi}{r}$$
对 $$S$$ 求导并令导数为零，得 $$r = 2$$，此时 $$h = 4$$，最小表面积为 $$24\pi$$，选 B。
4. 解析：
泳池底面积为 $$\frac{2500}{2} = 1250 \text{ m}^2$$，设长边为 $$y$$，则 $$xy = 1250$$。
总维修费用为：
$$F = 150 \cdot 1250 + \frac{4}{25} k x + \frac{2500 k}{x^2} \cdot y$$
代入 $$y = \frac{1250}{x}$$，简化后对 $$x$$ 求导，解得 $$x = 25$$ 时费用最低，选 A。
5. 解析：
平面 $$\alpha$$ 与 $$CD$$ 平行，将长方体分为两部分。两球半径之和的最大值等价于两部分内切球半径的最大和。
通过几何分析，当平面 $$\alpha$$ 与底面成特定角度时，半径之和为 $$2$$（选项 B）。
6. 解析：
由不等式 $$f(x) < f'(x) \tan x$$，变形为 $$\frac{f'(x)}{\cos x} - \frac{f(x)}{\cos^2 x} > 0$$。
构造 $$g(x) = \frac{f(x)}{\cos x}$$，则 $$g'(x) > 0$$，即 $$g(x)$$ 单调递增。
比较选项：
B 项 $$\sqrt{3} f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 g\left(\frac{\pi}{6}\right) < 2 g\left(\frac{\pi}{3}\right) = f\left(\frac{\pi}{3}\right)$$，成立，选 B。
7. 解析：
利润函数为 $$L = y_1 - y_2 = 17x^2 - (2x^3 - x^2) = -2x^3 + 18x^2$$。
求导得 $$L' = -6x^2 + 36x$$，令 $$L' = 0$$，解得 $$x = 6$$（千台），选 A。
8. 解析：
对 $$y = -\frac{1}{3}x^3 + 81x - 234$$ 求导，得 $$y' = -x^2 + 81$$。
令 $$y' = 0$$，解得 $$x = 9$$（万件），验证为最大值点，选 C。
9. 解析：
不等式 $$a(x-2) > 2x - \ln x - 4$$ 需有且仅有两个整数解。
分析函数交点及边界，解得 $$a \in (-\infty, 2 - \ln 3]$$，选 C。
10. 解析：
与第 8 题相同，最大年利润对应的年产量为 $$9$$ 万件，选 C。