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正确率40.0%有下列命题：
$${①{“}}$$若$${{x}{+}{y}{>}{0}}$$，则$${{x}{>}{0}}$$且$${{y}{>}{0}{”}}$$的否命题；
$${②{∃}{α}{，}{β}{∈}{R}{，}{{c}{o}{s}}{(}{α}{+}{β}{)}{=}{{c}{o}{s}}{α}{+}{{c}{o}{s}}{β}}$$；
$$\odot\forall x \in( 0， \frac{1} {3} )， \ ( \frac{1} {2} )^{x} < \operatorname{l o g}_{2} \frac{1} {x}$$；
$${④}$$设$${{a}_{1}{，}{{b}_{1}}{，}{{c}_{1}}{，}{{a}_{2}}{，}{{b}_{2}}{，}{{c}_{2}}}$$均为非零实数，不等式$${{a}_{1}{{x}^{2}}{+}{{b}_{1}}{x}{+}{{c}_{1}}{>}{0}}$$和$${{a}_{2}{{x}^{2}}{+}{{b}_{2}}{x}{+}{{c}_{2}}{>}{0}}$$的解集分别是集合$${{M}}$$和$${{N}}$$，那么$${\frac{a_{1}} {a_{2}}}={\frac{b_{1}} {b_{2}}}={\frac{c_{1}} {c_{2}}}，$$是$${{“}{M}{=}{N}{”}}$$的充分不必要条件．
其中是真命题个数的是
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
2、['函数中的存在性问题'， '导数中的函数构造问题']正确率19.999999999999996%存在两个正实数$${{x}{，}{y}{，}}$$使得等式$${{x}{+}{a}{(}{y}{−}{2}{e}{x}{)}{{l}{n}}{y}{=}{a}{(}{y}{−}{2}{e}{x}{)}{{l}{n}}{x}}$$成立，其中$${{e}}$$为自然对数的底数，则$${{a}}$$的取值范围为（）
D
A.$${{(}{−}{∞}{，}{0}{)}}$$
B.$$\left( 0， \enspace\frac{1} {\mathrm{e}} \right)$$
C.$$[ \frac{1} {\mathrm{e}}，+\infty)$$
D.$$(-\infty， 0 ) \cup\Bigg[ \frac{1} {\mathrm{e}}，+\infty\Bigg)$$
3、['函数奇偶性的应用'， '利用函数单调性解不等式'， '导数与单调性'， '导数中的函数构造问题']正确率40.0%已知$${{f}^{′}{(}{x}{)}}$$是偶函数$${{f}{(}{x}{)}{(}{x}{∈}{R}{)}}$$的导函数，$${{f}{(}{1}{)}{=}{1}}$$．若$${{x}{⩾}{0}}$$时，$${{3}{f}{(}{x}{)}{+}{x}{{f}^{′}}{(}{x}{)}{>}{0}}$$，则使得不等式$${{(}{x}{−}{{2}{0}{2}{2}}{{)}^{3}}{f}{(}{x}{−}{{2}{0}{2}{2}}{)}{>}{1}}$$成立的$${{x}}$$的取值范围是（）
C
A.$${{(}{{2}{0}{2}{1}}{，}{+}{∞}{)}}$$
B.$${{(}{−}{∞}{，}{{2}{0}{2}{1}}{)}}$$
C.$${{(}{{2}{0}{2}{3}}{，}{+}{∞}{)}}$$
D.$${{(}{−}{∞}{，}{{2}{0}{2}{3}}{)}}$$
4、['利用函数单调性解不等式'， '导数中的函数构造问题']正确率40.0%定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{（}{x}{）}{，}{{f}^{′}}{（}{x}{）}}$$是其导函数，且满足$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)+f^{\prime} \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) > 2， \ f \left( \begin{matrix} {1} \\ \end{matrix} \right)=2+\frac{4} {e}$$，则不等式$${{e}^{x}{f}{（}{x}{）}{>}{4}{+}{2}{{e}^{x}}}$$的解集为（）
B
A.$${{(}{{−}{∞}{，}}{1}{)}}$$
B.$${{(}{1}{{，}{+}{∞}}{)}}$$
C.$${{(}{{−}{∞}{，}}{2}{)}}$$
D.$${{(}{2}{{，}{+}{∞}}{)}}$$
5、['利用函数单调性解不等式'， '导数与单调性'， '导数中的函数构造问题']正确率40.0%已知定义域为$${{R}}$$的函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象经过点$${（{1}{，}{1}{）}}$$，且对$${{∀}{x}{∈}{R}{，}}$$都有$${{f}^{′}{（}{x}{）}{>}{−}{2}}$$，则不等式$$f ( l o g_{2} | 3^{x}-1 | ) < 3-l o g_{\sqrt{2}} | 3^{x}-1 |$$的解集为（）
A
A.$${（{−}{∞}{，}{0}{）}{∪}{（}{0}{，}{1}{）}}$$
B.$${（{0}{，}{+}{∞}{）}}$$
C.$${（{−}{1}{，}{0}{）}{∪}{（}{0}{，}{3}{）}}$$
D.$${（{−}{∞}{，}{1}{）}}$$
6、['函数求解析式'， '导数中的函数构造问题']正确率19.999999999999996%已知$${{f}^{′}{（}{x}{）}}$$是函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的导函数，且对任意的实数$${{x}}$$都有$${{f}^{′}{（}{x}{）}{=}{{e}^{x}}{（}{2}{x}{−}{2}{）}{+}{f}{（}{x}{）}{（}{e}}$$是自然对数的底数$${）{，}{f}{（}{0}{）}{=}{1}}$$，则（）
D
A.$${{f}{（}{x}{）}{=}{{e}^{x}}{（}{x}{+}{1}{）}}$$
B.$${{f}{（}{x}{）}{=}{{e}^{x}}{（}{x}{−}{1}{）}}$$
C.$${{f}{（}{x}{）}{=}{{e}^{x}}{（}{x}{+}{1}{）^{2}}}$$
D.$${{f}{（}{x}{）}{=}{{e}^{x}}{（}{x}{−}{1}{）^{2}}}$$
7、['利用函数单调性解不等式'， '利用导数讨论函数单调性'， '导数中的函数构造问题']正确率60.0%函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$是定义在区间$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$上可导函数，其导函数为$$f^{'} \left( x \right)$$，且满足$$x f^{'} \left( x \right)+2 f \left( x \right) > 0$$，则不等式$$\frac{( x+2 0 1 6 ) \， f \left( x+2 0 1 6 \right)} {5} < \frac{5 f \left( 5 \right)} {x+2 0 1 6}$$的解集为（）
C
A.$${{\{}{x}{|}{x}{>}{−}{{2}{0}{1}{1}}{\}}}$$
B.$${{\{}{x}{|}{x}{<}{−}{{2}{0}{1}{1}}{\}}}$$
C.$${{\{}{x}{|}{−}{{2}{0}{1}{6}}{<}{x}{<}{−}{{2}{0}{1}{1}}{\}}}$$
D.$${{\{}{x}{|}{−}{{2}{0}{1}{1}}{<}{x}{<}{0}{\}}}$$
8、['利用函数单调性解不等式'， '导数与单调性'， '导数中的函数构造问题']正确率40.0%已知函数$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}{{(}{{x}{∈}{R}}{)}}}$$的图象过点$${（{1}{，}{1}{）}{，}{{f}^{′}}{（}{x}{）}}$$为函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的导函数，$${{e}}$$为自然对数的底数．若$${{f}^{′}{{(}{x}{)}}{>}{1}}$$恒成立，则不等式$${{f}{{(}{x}{)}}{>}{x}}$$的解集为（）
C
A.$$( 0， \ \frac{1} {\mathrm{e}} )$$
B.$${（{0}{，}{1}{）}}$$
C.$${（{1}{，}{+}{∞}{）}}$$
D.$${（{e}{，}{+}{∞}{）}}$$
9、['函数单调性与奇偶性综合应用'， '导数中的函数构造问题']正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{(}{x}{∈}{R}{)}}$$是偶函数，$$f^{'} ( x )$$是$${{f}{(}{x}{)}{(}{x}{∈}{R}{)}}$$的导函数，$${{f}{(}{−}{2}{)}{=}{0}}$$，当$${{x}{>}{0}}$$时，$${{x}{f}{^{′}}{(}{x}{)}{−}{f}{(}{x}{)}{>}{0}}$$，则使得$${{f}{(}{x}{)}{>}{0}}$$成立的$${{x}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{2}{)}{∪}{(}{0}{，}{2}{)}}$$
B.$${{(}{−}{2}{，}{0}{)}{∪}{(}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{−}{2}{，}{0}{)}{∪}{(}{0}{，}{2}{)}}$$
D.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{2}{)}{∪}{(}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
10、['导数与单调性'， '导数中的函数构造问题'， '利用函数单调性比较大小']正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的定义域为$${{R}}$$，其导函数为$${{f}{^{′}}{(}{x}{)}}$$，且满足$${{f}{(}{x}{)}{>}{f}{^{′}}{(}{x}{)}}$$对$${{∀}{x}{∈}{R}}$$恒成立，$${{e}}$$为自然对数的底数，则（）
A
A.$$e^{2 0 1 7} f ( 2 0 1 8 ) < e^{2 0 1 8} f ( 2 0 1 7 )$$
B.$$e^{2 0 1 7} f ( 2 0 1 8 )=e^{2 0 1 8} f ( 2 0 1 7 )$$
C.$$e^{2 0 1 7} f ( 2 0 1 8 ) > e^{2 0 1 8} f ( 2 0 1 7 )$$
D.$$e^{2 0 1 7} f ( 2 0 1 8 )$$与$$e^{2 0 1 8} f ( 2 0 1 7 )$$的大小不能确定
1. 解析：
① 否命题为“若 $$x + y \leq 0$$，则 $$x \leq 0$$ 或 $$y \leq 0$$”，是真命题。
② 取 $$\alpha = \frac{\pi}{2}$$，$$\beta = -\frac{\pi}{2}$$，满足 $$\cos(\alpha + \beta) = \cos 0 = 1$$，而 $$\cos \alpha + \cos \beta = 0 + 0 = 0$$，不成立。但存在其他值使其成立，如 $$\alpha = 0$$，$$\beta = 0$$，故命题为真。
③ 对于 $$x \in (0, \frac{1}{3})$$，$$(\frac{1}{2})^x > 1$$，而 $$\log_2 \frac{1}{x} > \log_2 3 > 1$$，但具体比较发现 $$(\frac{1}{2})^{0.1} \approx 0.933$$，$$\log_2 \frac{1}{0.1} \approx 3.321$$，不等式不成立，故命题为假。
④ 若 $$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$$，则两不等式为比例关系，解集相同，但解集相同不一定要求比例相等（如 $$x^2 + x + 1 > 0$$ 和 $$2x^2 + 2x + 2 > 0$$ 解集均为全体实数），故是充分不必要条件，命题为真。
综上，真命题有 3 个，选 C。
2. 解析：
将等式变形为 $$\frac{x}{y - 2ex} + a \ln y = a \ln x$$。设 $$t = \frac{y}{x}$$，则 $$t > 2e$$，代入得 $$\frac{1}{t - 2e} + a \ln t = a \ln x$$。为使存在正实数 $$x, y$$，需 $$a \neq 0$$，且方程有解。分析函数性质可得 $$a \in (-\infty, 0) \cup [\frac{1}{e}, +\infty)$$，选 D。
3. 解析：
设 $$g(x) = x^3 f(x)$$，由 $$f'(x)$$ 为偶函数知 $$f(x)$$ 为奇函数。由 $$3f(x) + xf'(x) > 0$$ 得 $$g'(x) = x^2(3f(x) + xf'(x)) > 0$$，故 $$g(x)$$ 在 $$x \geq 0$$ 上单调增。不等式 $$(x - 2022)^3 f(x - 2022) > 1$$ 即 $$g(x - 2022) > g(1)$$，解得 $$x - 2022 > 1$$ 或 $$x - 2022 < -1$$，即 $$x > 2023$$ 或 $$x < 2021$$，但 $$x \geq 0$$ 限制下为 $$x > 2023$$，结合奇函数性质得 $$x \in (-\infty, 2021) \cup (2023, +\infty)$$，但选项最接近为 D。
4. 解析：
设 $$g(x) = e^x f(x) - 2e^x - 4$$，则 $$g'(x) = e^x(f(x) + f'(x) - 2) > 0$$，故 $$g(x)$$ 单调增。由 $$g(1) = e(2 + \frac{4}{e}) - 2e - 4 = 0$$，不等式 $$e^x f(x) > 4 + 2e^x$$ 即 $$g(x) > 0$$，解得 $$x > 1$$，选 B。
5. 解析：
设 $$g(x) = f(x) + 2x$$，则 $$g'(x) = f'(x) + 2 > 0$$，故 $$g(x)$$ 单调增。由 $$f(1) = 1$$ 得 $$g(1) = 3$$。不等式 $$f(\log_2 |3^x - 1|) < 3 - \log_{\sqrt{2}} |3^x - 1|$$ 可化为 $$g(\log_2 |3^x - 1|) < g(1)$$，解得 $$\log_2 |3^x - 1| < 1$$，即 $$|3^x - 1| < 2$$，得 $$x \in (-\infty, 1)$$，选 D。
6. 解析：
将微分方程 $$f'(x) = e^x(2x - 2) + f(x)$$ 化为标准形式 $$f'(x) - f(x) = e^x(2x - 2)$$。积分因子为 $$e^{-x}$$，解得 $$f(x) = e^x(x^2 - 2x + C)$$。由 $$f(0) = 1$$ 得 $$C = 1$$，故 $$f(x) = e^x(x - 1)^2$$，选 D。
7. 解析：
设 $$g(x) = x^2 f(x)$$，由 $$x f'(x) + 2f(x) > 0$$ 得 $$g'(x) = x(2f(x) + x f'(x)) > 0$$，故 $$g(x)$$ 单调增。不等式 $$\frac{(x + 2016) f(x + 2016)}{5} < \frac{5 f(5)}{x + 2016}$$ 可化为 $$g(x + 2016) < g(5)$$，解得 $$x + 2016 < 5$$ 且 $$x + 2016 > 0$$，即 $$-2016 < x < -2011$$，选 C。
8. 解析：
设 $$g(x) = f(x) - x$$，则 $$g'(x) = f'(x) - 1 > 0$$，故 $$g(x)$$ 单调增。由 $$f(1) = 1$$ 得 $$g(1) = 0$$。不等式 $$f(x) > x$$ 即 $$g(x) > 0$$，解得 $$x > 1$$，选 C。
9. 解析：
设 $$g(x) = \frac{f(x)}{x}$$，由 $$x f'(x) - f(x) > 0$$ 得 $$g'(x) = \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2} > 0$$，故 $$g(x)$$ 在 $$x > 0$$ 上单调增。由 $$f(x)$$ 为偶函数且 $$f(-2) = 0$$，得 $$f(2) = 0$$。不等式 $$f(x) > 0$$ 即 $$g(x) > g(2)$$ 或 $$g(x) < g(-2)$$，解得 $$x \in (-\infty, -2) \cup (0, 2)$$，选 A。
10. 解析：
设 $$g(x) = \frac{f(x)}{e^x}$$，由 $$f(x) > f'(x)$$ 得 $$g'(x) = \frac{f'(x) - f(x)}{e^x} < 0$$，故 $$g(x)$$ 单调减。因此 $$g(2018) < g(2017)$$，即 $$e^{2017} f(2018) < e^{2018} f(2017)$$，选 A。