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正确率40.0%函数$$f ( x )=x-\operatorname{l n} \! x$$与$$g ( x )=x \mathrm{e}^{x}-\mathrm{l n} x-x$$的最小值分别为$${{a}{，}{b}{，}}$$则（）
A
A.$${{a}{=}{b}}$$
B.$${{a}{>}{b}}$$
C.$${{a}{<}{b}}$$
D.$${{a}{，}{b}}$$的大小关系不能确定
2、['两点间的距离'， '导数与最值'， '函数的对称性']正确率40.0%函数$$f \mid\boldsymbol{x} \mid\boldsymbol{x}=e^{x}+x^{2}+x+1$$与$${{g}{（}{x}{）}}$$的图象关于直线$$2 x-y-3=0$$对称，$${{P}{，}{Q}}$$分别是函数$$f \left( \begin{matrix} {\chi} \\ \end{matrix} \right)， \textit{g} \left( \begin{matrix} {\chi} \\ \end{matrix} \right)$$图象上的动点，则$${{|}{P}{Q}{|}}$$的最小值为（）
D
A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$${\sqrt {5}}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
D.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
3、['导数与最值'， '函数中的恒成立问题']正确率40.0%设$$0 < a \leq1$$，函数$$f ( x )=x+\frac{a} {x}， g ( x )=x-\operatorname{l n} x$$，若对任意的$$x_{1}， x_{2} \in[ 1， e ]$$，都有$$f ( x_{1} ) \geqslant g ( x_{2} )$$成立，则$${{a}}$$的取值范围为（）
A
A.$$[ e-2， 1 ]$$
B.$$( 0， e-2 ]$$
C.$$( 0， 1 ]$$
D.$$[ 1-\frac{1} {e}， 1 ]$$
4、['导数与最值'， '圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积'， '圆柱、圆锥、圆台的体积']正确率40.0%现要做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积为$${{2}{7}{π}}$$且用料最省，则水桶底面圆的半径为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{3}}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{6}}$$
5、['函数奇偶性的应用'， '利用函数单调性解不等式'， '导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性']正确率40.0%已知定义在$${{R}}$$上的奇函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足：当$${{x}{⩾}{0}}$$及$${{m}{>}{0}}$$时，不等式$$f ( x+m ) < f ( x )$$恒成立.若对任意的$${{x}{∈}{R}}$$，不等式$$f ( 2 e^{x}-a x )-f ( e^{x}+b ) \leqslant0 ( a > 0， b \in R )$$恒成立，则$${{a}{b}}$$的最大值为
C
A.$$\frac{\sqrt e} {2}$$
B.$${{e}}$$
C.$$\frac{e} {2}$$
D.$${\sqrt {e}}$$
7、['简单复合函数的导数'， '导数与最值']正确率40.0%定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足：$$f^{\prime} ( x )-f ( x )=x \bullet e^{x}$$，且$$f ( 0 )=\frac{1} {2}$$，则$$\frac{f^{\prime} ( x )} {f ( x )}$$的最大值为（）
D
A.$${{3}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
8、['导数的四则运算法则'， '导数与最值'， '导数中不等式恒成立与存在性问题']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\frac{f^{\prime} ( 1 )} {\mathrm{e}} \mathrm{e}^{x}+\frac{f ( 0 )} {2} x^{2}-x$$，若存在实数$${{m}}$$使得不等式$$f \left( \mathit{m} \right) \leq2 n^{2}-n$$成立，求实数$${{n}}$$的取值范围为（）
A
A.$$(-\infty， ~-\frac{1} {2} ] \cup[ 1， ~+\infty)$$
B.$$(-\infty， ~-1 ] \cup[ \frac{1} {2}， ~+\infty)$$
C.$$(-\infty， ~ 0 ] \cup[ \frac{1} {2}， ~+\infty)$$
D.$$(-\infty， ~-\frac{1} {2} ] \cup[ 0， ~+\infty)$$
9、['导数与最值']正确率60.0%当$$0 \leqslant x \leqslant\frac{1} {5}$$时，函数$$y=x^{2} ~ ( 1-5 x )$$的最大值为（）
C
A.$$\frac{1} {2 5}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{4} {6 7 5}$$
D.无最大值
10、['导数与最值']正确率60.0%函数$$f ( x )=x^{3}-x^{2}-x+3$$在区间$$[-1， 2 ]$$上的最大值，最小值分别是（）
A
A.$${{5}{，}{2}}$$
B.$$\frac{8 6} {2 7}， ~ 2$$
C.$${{4}{，}{2}}$$
D.$$\frac{8 6} {2 7}， ~ 1$$
1. 解析：
对于函数 $$f(x) = x - \ln x$$，求导得 $$f'(x) = 1 - \frac{1}{x}$$。令导数为零，解得 $$x = 1$$。代入得最小值 $$a = f(1) = 1$$。
对于函数 $$g(x) = x e^x - \ln x - x$$，求导得 $$g'(x) = e^x + x e^x - \frac{1}{x} - 1$$。令导数为零，通过观察或数值方法可得 $$x \approx 0.5$$，进一步精确计算得最小值 $$b \approx 0.69$$。因此 $$a > b$$，选 B。
2. 解析：
函数 $$f(x) = e^x + x^2 + x + 1$$ 与 $$g(x)$$ 关于直线 $$2x - y - 3 = 0$$ 对称。设 $$P(x, f(x))$$，其对称点 $$Q$$ 为 $$Q\left(\frac{4 - y + 3}{5}, \frac{2x + y - 6}{5}\right)$$，其中 $$y = f(x)$$。
求 $$|PQ|$$ 的最小值等价于求 $$f(x)$$ 到直线的垂直距离的最小值。计算得最小距离为 $$\frac{2\sqrt{5}}{5}$$，选 C。
3. 解析：
函数 $$f(x) = x + \frac{a}{x}$$ 在 $$[1, e]$$ 的最小值为 $$f(1) = 1 + a$$。
函数 $$g(x) = x - \ln x$$ 在 $$[1, e]$$ 的最大值为 $$g(e) = e - 1$$。
由题意 $$1 + a \geq e - 1$$，解得 $$a \geq e - 2$$。结合 $$0 < a \leq 1$$，得 $$a \in [e-2, 1]$$，选 A。
4. 解析：
设水桶底面半径为 $$r$$，高为 $$h$$，则容积 $$V = \pi r^2 h = 27\pi$$，得 $$h = \frac{27}{r^2}$$。
表面积 $$S = \pi r^2 + 2\pi r h = \pi r^2 + \frac{54\pi}{r}$$。求导得 $$S' = 2\pi r - \frac{54\pi}{r^2}$$，令导数为零，解得 $$r = 3$$，选 A。
5. 解析：
由题意，$$f(x)$$ 为奇函数且单调递减。不等式 $$f(2e^x - a x) \leq f(e^x + b)$$ 等价于 $$2e^x - a x \geq e^x + b$$，即 $$e^x - a x \geq b$$。
求 $$b \leq e^x - a x$$ 的最小值，对 $$e^x - a x$$ 求导得 $$e^x - a = 0$$，解得 $$x = \ln a$$。代入得 $$b \leq a - a \ln a$$。
$$ab$$ 的最大值为 $$a(a - a \ln a)$$，在 $$a = \sqrt{e}$$ 时取得最大值 $$\frac{e}{2}$$，选 C。
7. 解析：
微分方程 $$f'(x) - f(x) = x e^x$$ 的通解为 $$f(x) = e^x (x^2 / 2 + C)$$，由 $$f(0) = 1/2$$ 得 $$C = 1/2$$。
$$f'(x) = e^x (x^2 / 2 + x + 1/2)$$，则 $$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 1}$$。求导得最大值在 $$x = 1$$ 时为 $$2$$，选 D。
8. 解析：
由 $$f(0) = \frac{f'(1)}{e}$$ 和 $$f'(x) = \frac{f'(1)}{e} e^x + f(0) x - 1$$，代入 $$x = 1$$ 解得 $$f'(1) = e$$，$$f(0) = 1$$。
函数为 $$f(x) = e^x + \frac{x^2}{2} - x$$，最小值为 $$f(0) = 1$$。不等式 $$1 \leq 2n^2 - n$$ 解得 $$n \in (-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [1, +\infty)$$，选 A。
9. 解析：
函数 $$y = x^2 (1 - 5x)$$ 在 $$[0, \frac{1}{5}]$$ 上的导数为 $$y' = 2x - 15x^2$$，令导数为零，解得 $$x = \frac{2}{15}$$。
代入得最大值 $$y\left(\frac{2}{15}\right) = \frac{4}{675}$$，选 C。
10. 解析：
函数 $$f(x) = x^3 - x^2 - x + 3$$ 的导数为 $$f'(x) = 3x^2 - 2x - 1$$，临界点为 $$x = 1$$ 和 $$x = -\frac{1}{3}$$。
计算 $$f(-1) = 2$$，$$f(2) = 5$$，$$f(1) = 2$$，$$f\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{86}{27}$$。因此最大值为 $$5$$，最小值为 $$2$$，选 A。