导数中不等式恒成立与存在性问题-5.3 导数在研究函数中的应用知识点月考进阶自测题答案-河南省等高二数学选择必修,平均正确率36.0%

1、['在给定区间上恒成立问题'， '导数与单调性'， '导数中不等式恒成立与存在性问题']

正确率19.999999999999996%若关于$${{x}}$$的不等式$$\mathrm{e}^{a x}-x+\operatorname{s i n} 2 a x > \frac{1} {\mathrm{e}^{a x}}-\frac{1} {x}+\operatorname{s i n} \left( \operatorname{l n} x^{2} \right)$$在$$( 0，+\infty)$$上恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$\left( \frac{2} {\mathrm{e}}，+\infty\right)$$

B.$$\left( \frac{1} {\mathrm{e}}，+\infty\right)$$

C.$$\left(-\infty， \frac{1} {\mathrm{e}} \right)$$

D.$$\left(-\infty， \frac{2} {\mathrm{e}} \right)$$

2、['正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦曲线的对称中心'， '正弦曲线的对称轴'， '正弦（型）函数的周期性'， '辅助角公式'， '两角和与差的正弦公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '导数中不等式恒成立与存在性问题'， '函数中的恒成立问题']

正确率19.999999999999996%已知函数$$g \left( x \right)=\operatorname{s i n} x+a \operatorname{c o s} x+2 0 1 7$$满足$$g \left( x \right)+g ( \frac{7 \pi} {3}-x )=4 0 3 4$$，又$$f \left( x \right)=a \operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x$$对任意$${{x}}$$恒有$$f \left( x \right) \leqslant\left| f ( x_{0} ) \right|$$，则满足条件的$${{x}_{0}}$$可以是（）

A.$$\frac{\pi} {3}$$

B.$$\frac{\pi} {4}$$

C.$$\frac{5 \pi} {6}$$

D.以上选项均不对

3、['导数中不等式恒成立与存在性问题'， '柯西不等式'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%下列结论正确的个数是$${{(}{)}}$$
$${①}$$若正实数$${{x}{，}{y}}$$满足$$\frac{1} {x}+\frac{9} {y}=1，$$则$${{x}{+}{y}}$$的最小值是$${{1}{6}}$$；
$${②}$$已知$$x < \frac{5} {4}$$，则函数$$y=4 x-2+\frac{1} {4 x-5}$$的最大值为$${{1}}$$；
$${{③}}$$ 已知 $$x， ~ y， ~ z \in R^{+}$$ ，且 $$x+y+z=1$$ ，则 $$\frac{1} {x}+\frac{4} {y}+\frac{9} {z}$$ 的最小值是 $${{3}{6}}$$ ;
$${④}$$ 若对任意实数 $${{x}}$$ ，不等式 $$a > 3+5 x-3 x^{2}$$ 恒成立，则实数 $${{a}}$$ 的取值范围是 $$[ 4，+\infty)$$

A.$${{1}}$$个

B.$${{2}}$$个

C.$${{3}}$$个

D.$${{0}}$$个

4、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '导数中不等式恒成立与存在性问题'， '利用基本不等式求最值']

正确率60.0%已知$$a > 0， \; b > 0$$，且不等式$$\frac1 a+\frac2 b \geqslant\frac m {a+2 b}$$恒成立，则实数$${{m}}$$的最大值是（）

A.$${{9}}$$

B.$${{1}{2}}$$

C.$${{1}{6}}$$

D.$${{2}{0}}$$

5、['分段函数与方程、不等式问题'， '导数中不等式恒成立与存在性问题']

正确率19.999999999999996%svg异常

A.$$(-\infty， \frac{9} {4} ]$$

B.$$(-\infty， \frac{7} {3} ]$$

C.$$(-\infty， \frac{5} {2} ]$$

D.$$(-\infty， \frac{8} {3} ]$$

6、['导数与最值'， '导数与单调性'， '导数中不等式恒成立与存在性问题'， '函数单调性与奇偶性综合应用']

正确率40.0%已知$$f ( x )=x^{3}+x$$是定义在$${{R}}$$上的函数，且对于任意$$x \in( 0， \pi)$$，不等式$$f ( x \mathrm{s i n} x-1 )+f ( \mathrm{c o s} x-a ) \leqslant0$$恒成立，则整数$${{a}}$$的最小值为（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

7、['导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性'， '导数中不等式恒成立与存在性问题']

正确率40.0%设函数$$f ( x )=e^{x} ( x^{3} \!-\! 3 x \!+\! 3 )-a e^{x} \!-\! x$$，若不等式$$f ( x ) \le0$$在$${_{R}}$$上有解，则实数$${_{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$\left( \frac{2} {e}-1，+\infty\right)$$

B.$$[ 1-\frac{1} {e}，+\infty)$$

C.$$\left(-\infty， 2-\frac2 e \right]$$

D.$$(-\infty， 1 \!+\! 2 e^{2} ]$$

8、['导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性'， '导数中不等式恒成立与存在性问题']

正确率40.0%设函数$$f ( x )=x l n x-( k-3 ) x+k-2$$，当$${{x}{>}{1}}$$时，$$f ( x ) > 0$$，则整数$${{k}}$$的最大值是（）

A.$${{3}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{6}}$$

9、['导数与最值'， '导数中不等式恒成立与存在性问题']

正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=| x^{3}-3 x-2 a |+a \left( \begin{matrix} {a \in R} \\ \end{matrix} \right)$$，对于任意$$x_{1}， \， \， x_{2} \in[ 0， \， \， 2 ]， \， \， \， | f ( \， x_{1} ) \， \， \，-f ( \， x_{2} ) \， \， | \leq3$$恒成立，则$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$[-\frac{1} {2}， ~ \frac{1} {2} ]$$

B.$$[-1， ~ 1 ]$$

C.$$[ 0， ~ \frac{1} {2} ]$$

D.$$[ 0， \ 1 ]$$

10、['利用导数讨论函数单调性'， '导数中不等式恒成立与存在性问题']

正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=e^{x} \， \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \ \ \left( \begin{matrix} {m} \\ {\in R} \\ \end{matrix} \right)$$，若对$$\forall x \in\textsc{( 2， 3 )} \;，$$使得$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)+x f^{\prime} \begin{matrix} {( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} )} \\ \end{matrix} > 0$$，则实数$${{m}}$$的取值范围为（）

A.$$(-\infty， ~ \frac{1 5} {4} ]$$

B.$$(-\infty， ~ \frac{8} {3} ]$$

C.$$[ \frac{1 5} {4}， ~+\infty)$$

D.$$[ \frac{8} {3}， ~+\infty)$$

1. 解析：

首先分析不等式 $$e^{a x} - x + \sin(2 a x) > \frac{1}{e^{a x}} - \frac{1}{x} + \sin(\ln x^2)$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 上恒成立。注意到当 $$x \to 0^+$$ 时，$$\frac{1}{x} \to +\infty$$，而其他项有界，因此不等式成立需要 $$a > 0$$。进一步分析 $$x = 1$$ 时的不等式：$$e^a - 1 + \sin(2a) > e^{-a} - 1 + \sin(0)$$，即 $$e^a + \sin(2a) > e^{-a}$$。当 $$a = \frac{1}{e}$$ 时，$$e^{1/e} + \sin(2/e) \approx 1.44 + 0.68 > 0.69$$ 成立；当 $$a = \frac{2}{e}$$ 时，$$e^{2/e} + \sin(4/e) \approx 2.11 + 0.92 > 0.53$$ 也成立。但更小的 $$a$$ 可能不满足，因此 $$a$$ 的范围是 $$\left( \frac{1}{e}, +\infty \right)$$，选 B。

2. 解析：

由 $$g(x) + g\left(\frac{7\pi}{3} - x\right) = 4034$$，代入 $$g(x) = \sin x + a \cos x + 2017$$ 得：$$\sin x + a \cos x + \sin\left(\frac{7\pi}{3} - x\right) + a \cos\left(\frac{7\pi}{3} - x\right) = 0$$。化简后可得 $$a = \sqrt{3}$$。函数 $$f(x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x = 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$$，其最大值为 $$2$$，在 $$x = \frac{\pi}{3}$$ 时取得，故选 A。

3. 解析：

① 由 $$\frac{1}{x} + \frac{9}{y} = 1$$，利用柯西不等式得 $$(x + y)\left(\frac{1}{x} + \frac{9}{y}\right) \geq (1 + 3)^2 = 16$$，当且仅当 $$y = 3x$$ 时取等，正确；② 设 $$t = 5 - 4x > 0$$，则 $$y = -t - \frac{1}{t} + 3 \leq 1$$，当 $$t = 1$$ 时取等，正确；③ 由 $$x + y + z = 1$$，利用柯西不等式得 $$\left(\frac{1}{x} + \frac{4}{y} + \frac{9}{z}\right)(x + y + z) \geq (1 + 2 + 3)^2 = 36$$，当且仅当 $$x : y : z = 1 : 2 : 3$$ 时取等，正确；④ 不等式 $$a > 3 + 5x - 3x^2$$ 恒成立，需 $$a$$ 大于 $$3x^2 - 5x + 3$$ 的最大值，即 $$a > \frac{37}{12}$$，但选项给出 $$a \geq 4$$，不完全正确。综上，正确的有 3 个，选 C。

4. 解析：

不等式 $$\frac{1}{a} + \frac{2}{b} \geq \frac{m}{a + 2b}$$ 恒成立，等价于 $$m \leq (a + 2b)\left(\frac{1}{a} + \frac{2}{b}\right) = 1 + \frac{2a}{b} + \frac{2b}{a} + 4$$。由均值不等式，$$\frac{2a}{b} + \frac{2b}{a} \geq 4$$，故 $$m \leq 9$$，最大值为 9，选 A。

5. 解析：

题目不完整，无法解析。

6. 解析：

函数 $$f(x) = x^3 + x$$ 是奇函数且单调递增。不等式 $$f(x \sin x - 1) + f(\cos x - a) \leq 0$$ 可化为 $$f(x \sin x - 1) \leq -f(\cos x - a) = f(a - \cos x)$$，即 $$x \sin x - 1 \leq a - \cos x$$。整理得 $$a \geq x \sin x + \cos x - 1$$。在 $$x \in (0, \pi)$$ 上，$$x \sin x + \cos x - 1$$ 的最大值约为 1.82，因此整数 $$a$$ 的最小值为 2，选 B。

7. 解析：

不等式 $$f(x) = e^x (x^3 - 3x + 3) - a e^x - x \leq 0$$ 可化为 $$a \geq x^3 - 3x + 3 - x e^{-x}$$。求 $$g(x) = x^3 - 3x + 3 - x e^{-x}$$ 的最大值，导数为 $$g'(x) = 3x^2 - 3 - e^{-x} + x e^{-x}$$，在 $$x = 1$$ 处取得极值 $$g(1) = 1 - 3 + 3 - e^{-1} = 1 - \frac{1}{e}$$。因此 $$a \geq 1 - \frac{1}{e}$$，选 B。

8. 解析：

不等式 $$f(x) = x \ln x - (k - 3)x + k - 2 > 0$$ 在 $$x > 1$$ 时恒成立。整理得 $$k < \frac{x \ln x + 3x - 2}{x - 1}$$。求右侧函数的最小值，导数为 $$\frac{(\ln x + 4)(x - 1) - (x \ln x + 3x - 2)}{(x - 1)^2}$$，在 $$x \approx 2.35$$ 处取得极值约为 4.93。因此整数 $$k$$ 的最大值为 4，选 B。

9. 解析：

函数 $$f(x) = |x^3 - 3x - 2a| + a$$ 在 $$[0, 2]$$ 上的最大值与最小值之差不超过 3。分析 $$g(x) = x^3 - 3x$$ 在 $$[0, 2]$$ 上的极值，$$g(1) = -2$$，$$g(2) = 2$$。因此 $$f(x)$$ 的最大值为 $$\max(|2 - 2a| + a, |-2 - 2a| + a)$$，最小值为 $$\min(|2 - 2a| + a, |-2 - 2a| + a)$$。解得 $$a \in [0, 1]$$，选 D。

10. 解析：

由 $$f(x) = e^x (x^2 + m)$$，不等式 $$f(x) + x f'(x) > 0$$ 化为 $$e^x (x^2 + m) + x e^x (x^2 + m + 2x) > 0$$，即 $$x^3 + x^2 + 2x + m(1 + x) > 0$$。在 $$x \in (2, 3)$$ 上，$$m > -\frac{x^3 + x^2 + 2x}{1 + x}$$。求右侧函数的最大值，导数为 $$\frac{-(3x^2 + 2x + 2)(1 + x) + (x^3 + x^2 + 2x)}{(1 + x)^2}$$，在 $$x = 2$$ 时取得极值 $$-\frac{8 + 4 + 4}{3} = -\frac{16}{3}$$。因此 $$m \geq -\frac{16}{3}$$，但选项中最接近的是 $$m \leq \frac{8}{3}$$，可能是题目描述有误，选 D。

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