利用导数求参数的取值范围-导数在研究函数中的应用知识点月考进阶选择题自测题解析-河北省等高二数学选择必修,平均正确率42.00000000000001%

1、['导数与极值'， '利用导数求参数的取值范围']

正确率40.0%函数$$f ( x )=\frac{\mathrm{e}^{x}} {x}-a ( x-\mathrm{l n} x )$$在$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$内有极值，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$${{(}{−}{∞}{，}{e}{)}}$$

B.$${{(}{0}{，}{e}{)}}$$

C.$${{(}{e}{，}{+}{∞}{)}}$$

D.$${{[}{e}{，}{+}{∞}{)}}$$

2、['导数与最值'， '利用导数求参数的取值范围']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\frac{1} {3} x^{3}+\frac{1} {2} x^{2}-2 x+1，$$若函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{(}{2}{a}{，}{2}{a}{+}{3}{)}}$$上存在最小值，则$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$\left(-1， \ \frac{1} {2} \right)$$

B.$$[-1， ~ \frac{1} {2} ]$$

C.$${{(}{−}{1}{，}{3}{)}}$$

D.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{2}{)}}$$

3、['导数的概念'， '基本初等函数的导数'， '导数与单调性'， '导数与最值'， '利用导数求参数的取值范围'， '利用导数讨论函数单调性']

正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{2}{{x}^{3}}{−}{a}{{x}^{2}}{+}{3}{b}{x}{+}{{2}{0}{1}{0}}}$$的导函数$${{f}{^{′}}{(}{x}{)}}$$的图象关于直线$${{x}{=}{1}}$$对称．若$${{∃}{{x}_{0}}{∈}{[}{3}{，}{5}{]}}$$使得$${{f}{(}{{x}_{0}}{)}{⩾}{{2}{0}{2}{0}}}$$成立，则实数$${{b}}$$的取值范围为（）

A.$$(-\infty， \frac{1 0} {9} ]$$

B.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{6}{)}}$$

C.$${{[}{−}{6}{，}{+}{∞}{)}}$$

D.$$[ \frac{1 0} {9}，+\infty)$$

4、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '利用导数求参数的取值范围'， '利用导数证明不等式'， '导数中不等式恒成立与存在性问题']

正确率19.999999999999996%已知$${{f}{（}{x}{）}}$$是定义在$${{R}}$$上的奇函数，记$${{f}{（}{x}{）}}$$的导函数为$${{f}^{′}{（}{x}{）}}$$，当$${{x}{⩾}{0}}$$时，满足$${{f}^{′}{（}{x}{）}{−}{f}{（}{x}{）}{>}{0}}$$．若$${{∃}{x}{∈}{[}{−}{2}{，}{+}{∞}{）}}$$使不等式$${{f}{[}{{e}^{x}}{（}{{x}^{3}}{−}{3}{x}{+}{3}{）}{]}{⩽}{f}{（}{a}{{e}^{x}}{+}{x}{）}}$$成立，则实数$${{a}}$$的最小值为（）

A.$$\frac{2} {\mathrm{e}}-1$$

B.$$2-\frac{2} {\mathrm{e}}$$

C.$${{1}{+}{2}{{e}^{2}}}$$

D.$$1-\frac{1} {\mathrm{e}}$$

5、['导数与单调性'， '利用导数求参数的取值范围']

正确率60.0%函数$${{y}{=}{{x}^{3}}{−}{a}{x}{(}{a}{>}{0}{)}}$$在区间$${{[}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$上是增函数，则$${{a}}$$应满足（）

A.$${{a}{>}{3}}$$

B.$${{a}{⩾}{3}}$$

C.$${{0}{<}{a}{⩽}{3}}$$

D.$${{a}{>}{0}}$$

6、['导数与单调性'， '导数与极值'， '利用导数求参数的取值范围'， '利用导数解决函数零点问题']

正确率40.0%若函数$$f ( x )=a ( x-2 ) e^{x} \!+\! l n x+\frac{1} {x}$$在$${{(}{0}{，}{2}{)}}$$上存在两个极值点，则$${{a}}$$的取值范围为（）

A.$$(-\infty，-\frac{1} {4 e^{2}} )$$

B.$$(-\frac{1} {e}， \frac{1} {4 e^{2}} ) \cup( 1，+\infty)$$

C.$$(-\infty，-\frac{1} {e} )$$

D.$$(-\infty，^{-} \frac{1} {e} ) \cup(-\frac{1} {e}，^{-} \frac{1} {4 e^{2}} )$$

7、['导数与极值'， '利用导数求参数的取值范围']

正确率40.0%已知函数$$f \ ( \textbf{x} ) \ =\frac{e^{x}} {x}-k \ ( \ \frac{1} {x}+\operatorname{l n} \textbf{x} )$$有两个极值点，则实数$${{k}}$$的取值范围是（）

A.$${（{−}{∞}{，}{0}{]}}$$

B.$${（{1}{，}{e}{）}{∪}{（}{e}{，}{+}{∞}{）}}$$

C.$${（{0}{，}{e}{）}{∪}{（}{e}{，}{+}{∞}{）}}$$

D.$${（{e}{，}{+}{∞}{）}}$$

8、['利用函数单调性解不等式'， '导数与最值'， '利用导数求参数的取值范围'， '导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '导数中的函数构造问题']

正确率40.0%当$${{x}{∈}{（}{0}{，}{+}{∞}{）}}$$时，$${（{a}{x}{−}{l}{n}{x}{）}{（}{a}{x}{−}{{e}^{x}}{）}{⩽}{0}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$${（{−}{∞}{，}{1}{]}}$$

B.$$[ \frac{1} {e}， \; e ]$$

C.$${{[}{1}{，}{e}{]}}$$

D.$${{[}{e}{，}{+}{∞}{）}}$$

9、['导数与最值'， '导数与单调性'， '利用导数求参数的取值范围']

正确率40.0%函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{x}^{3}}{−}{3}{a}{x}{−}{a}}$$在$${（{0}{，}{1}{）}}$$内有最小值，则$${{a}}$$的取值范围为（）

A.$${{0}{⩽}{a}{<}{2}}$$

B.$${{0}{<}{a}{<}{1}}$$

C.$$0 < a < \frac{1} {3}$$

D.$${{−}{1}{<}{a}{<}{1}}$$

10、['利用导数求参数的取值范围'， '利用导数解决函数零点问题']

正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{x}^{2}}{+}{m}}$$与函数$$g ( x )=-\operatorname{l n} \frac{1} {x}-3 x ( x \in[ \frac{1} {2}， 2 ] )$$的图象上有且只有一对关于$${{x}}$$轴对称的点，则实数$${{m}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$[ 2-l n 2， \frac{5} {4} \!+\! l n 2 ] \cup\{2 \}$$

B.$$[ 2-l n 2， \frac{5} {4}+l n 2 ) \cup\{2 \}$$

C.$$[ \frac{5} {4}+l n 2， 2+l n 2 ) \cup\{2 \}$$

D.$$[ \frac{5} {4}+l n 2， 2+l n 2 )$$

1. 函数$$f(x)=\frac{e^x}{x}-a(x-\ln x)$$在$$(0,1)$$内有极值，需满足其导数$$f'(x)$$在$$(0,1)$$内有零点。计算导数： $$f'(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}-a\left(1-\frac{1}{x}\right)=\frac{e^x(x-1)-a x(x-1)}{x^2}=\frac{(x-1)(e^x-a x)}{x^2}$$ 令$$f'(x)=0$$，得$$x=1$$（不在区间内）或$$e^x=a x$$。因此，方程$$e^x=a x$$在$$(0,1)$$内有解。设$$g(x)=\frac{e^x}{x}$$，则$$a$$需在$$g(x)$$的值域内。$$g'(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}<0$$在$$(0,1)$$内单调递减，故$$a\in(e,+\infty)$$。答案为$$C$$。

2. 函数$$f(x)=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-2x+1$$的导数为$$f'(x)=x^2+x-2=(x+2)(x-1)$$，临界点为$$x=-2$$和$$x=1$$。在$$x=1$$处取得极小值。为使$$f(x)$$在$$(2a,2a+3)$$上存在最小值，需满足$$1\in(2a,2a+3)$$，即$$2a<1<2a+3$$，解得$$-1

3. 导函数$$f'(x)=6x^2-2a x+3b$$的图象关于$$x=1$$对称，故$$a=6$$。函数为$$f(x)=2x^3-6x^2+3b x+2010$$。存在$$x_0\in[3,5]$$使$$f(x_0)\geq2020$$，即$$2x_0^3-6x_0^2+3b x_0+2010\geq2020$$，化简得$$b\geq\frac{10-2x_0^3+6x_0^2}{3x_0}$$。求右边的最小值，当$$x_0=3$$时，$$b\geq\frac{10}{9}$$。答案为$$D$$。

4. 由题意，$$f(x)$$为奇函数且$$f'(x)-f(x)>0$$（$$x\geq0$$），构造$$g(x)=\frac{f(x)}{e^x}$$，则$$g'(x)=\frac{f'(x)-f(x)}{e^x}>0$$，故$$g(x)$$在$$[0,+\infty)$$单调递增。由奇函数性质，$$g(x)$$在$$(-\infty,0]$$也单调递增。不等式$$f(e^x(x^3-3x+3))\leq f(a e^x+x)$$转化为$$x^3-3x+3\leq a+\frac{x}{e^x}$$。设$$h(x)=x^3-3x+3-\frac{x}{e^x}$$，求$$h(x)$$的最大值，得$$a\geq2-\frac{2}{e}$$。答案为$$B$$。

5. 函数$$y=x^3-a x$$的导数为$$y'=3x^2-a$$。在$$[1,+\infty)$$上增函数需$$y'\geq0$$，即$$3x^2\geq a$$。当$$x=1$$时，$$a\leq3$$。又$$a>0$$，故$$0

6. 函数$$f(x)=a(x-2)e^x+\ln x+\frac{1}{x}$$在$$(0,2)$$上存在两个极值点，需$$f'(x)=a(x-1)e^x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$$在$$(0,2)$$内有两个零点。分析$$f'(x)$$的单调性和极值，可得$$a$$的取值范围为$$(-\infty,-\frac{1}{e})\cup(-\frac{1}{e},-\frac{1}{4e^2})$$。答案为$$D$$。

7. 函数$$f(x)=\frac{e^x}{x}-k\left(\frac{1}{x}+\ln x\right)$$的导数为$$f'(x)=\frac{e^x(x-1)+k(x-1)}{x^2}=\frac{(x-1)(e^x+k)}{x^2}$$。令$$f'(x)=0$$，需$$e^x=-k$$在$$(0,+\infty)$$内有解，故$$k<0$$或$$k>e$$。但$$k=0$$时无极值点，排除$$k=0$$。答案为$$C$$。

8. 不等式$$(a x-\ln x)(a x-e^x)\leq0$$在$$(0,+\infty)$$内成立，需分析$$a x$$与$$\ln x$$和$$e^x$$的大小关系。当$$a\leq1$$时，$$a x\leq e^x$$且$$a x\geq\ln x$$在$$x\in(0,+\infty)$$内成立。答案为$$A$$。

9. 函数$$f(x)=x^3-3a x-a$$在$$(0,1)$$内有最小值，需导数$$f'(x)=3x^2-3a$$在$$(0,1)$$内有零点，即$$0

10. 函数$$f(x)=x^2+m$$与$$g(x)=-\ln x-3x$$的图象关于$$x$$轴对称的点满足$$x^2+m=\ln x+3x$$。设$$h(x)=x^2-3x-\ln x$$，则$$m=-h(x)$$在$$x\in[\frac{1}{2},2]$$内有唯一解。分析$$h(x)$$的极值，得$$m\in[\frac{5}{4}+\ln2,2+\ln2)\cup\{2\}$$。答案为$$C$$。

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