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正确率60.0%已知$${{f}^{′}{(}{x}{)}}$$是函数$${{f}{(}{x}{)}{(}{x}{∈}{R}{)}}$$的导函数，且$${{∀}{x}{∈}{R}{，}{{f}^{′}}{(}{x}{)}{>}{1}{，}}$$若$${{f}{(}{3}{)}{=}{2}{，}}$$则不等式$${{f}{(}{x}{)}{>}{x}{−}{1}}$$的解集为（）
D
A.$${{(}{−}{∞}{，}{2}{)}}$$
B.$${{(}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{−}{∞}{，}{3}{)}}$$
D.$${{(}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$
3、['导数与单调性']正确率60.0%函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{2}{x}{−}{{l}{n}}{x}}$$的单调递减区间为（）
B
A.$$\left( \frac{1} {2}， 2 \right)$$
B.$$\left( 0， \frac{1} {2} \right)$$
C.$$\left( \frac1 2，+\infty\right)$$
D.$${{(}{−}{∞}{，}{2}{)}}$$
4、['导数与单调性'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '函数的对称性'， '利用基本不等式求最值'， '函数零点存在定理']正确率40.0%关于函数$$f ( x )=x+\frac{1} {1+\mathrm{e}^{x}}$$有下列四个结论：
①函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于点$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$中心对称；②函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在定义域内是增函数；
③曲线$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$在$${{(}{0}{，}{f}{(}{0}{)}{)}}$$处的切线为$${{3}{x}{−}{4}{y}{+}{2}{=}{0}}$$；④函数$${{f}{(}{x}{)}}$$无零点；
其中正确结论的个数为（）
C
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
5、['直线的点斜式方程'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '导数与单调性'， '导数与极值']正确率40.0%已知直线$${{l}}$$与曲线$${{y}{=}{{e}^{x}}}$$相切，切点为$${{P}}$$，直线$${{l}}$$与$${{x}}$$轴$${、{y}}$$轴分别交于点$${{A}{，}{B}{，}{O}}$$为坐标原点．若$${{△}{O}{A}{B}}$$的面积为$$\frac{3} {\mathrm{e}}$$，则点$${{P}}$$的个数是（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
6、['导数与单调性'， '函数的单调区间']正确率80.0%已知函数$$f ( x )=a x^{2}+\frac{2} {x}$$在$${{(}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$上不单调，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$${{(}{−}{∞}{，}{1}{)}}$$
B.$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$
C.$${{(}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
D.$$( 0， \frac{1} {2} )$$
7、['利用函数单调性解不等式'， '导数与单调性'， '导数中的函数构造问题']正确率40.0%若定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的导函数为$${{f}^{′}{(}{x}{)}}$$，且满足$${{f}^{′}{(}{x}{)}{>}{f}{(}{x}{)}{+}{9}{{e}^{x}}{，}{f}{(}{3}{)}{=}{{2}{7}}{{e}^{3}}}$$，则不等式$$\frac{f ( x )} {9} > x e^{x}$$的解集是（）
A
A.$${{(}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$
B.$${{(}{−}{∞}{，}{3}{)}}$$
C.$${{(}{−}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$
D.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{3}{)}}$$
8、['导数与单调性']正确率60.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{3}{{x}^{5}}{−}{5}{{x}^{3}}}$$，则$${{f}{（}{x}{）}}$$的单调递减区间为（）
D
A.$${（{−}{1}{，}{2}{）}}$$
B.$${（{−}{2}{，}{1}{）}}$$
C.$${（{−}{1}{，}{0}{）}{U}{（}{0}{，}{1}{）}}$$
D.$${（{−}{1}{，}{1}{）}}$$
9、['导数与单调性'， '导数与极值']正确率60.0%$${{f}{(}{x}{)}{=}{x}{{(}{x}{−}{c}{)}^{2}}}$$在$${{x}{=}{2}}$$处有极小值，则常数$${{c}}$$的值为（）
A
A.$${{2}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{2}}$$或$${{6}}$$
D.$${{1}}$$
10、['导数与单调性']正确率40.0%已知$${{a}{=}{{l}{n}}{^{3}}{\sqrt {3}}}$$，$$b=e^{-1}$$，$$c=\frac{3 \operatorname{l n} 2} {8}$$，则$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$的大小关系为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{b}{>}{c}{>}{a}}$$
B.$${{a}{>}{c}{>}{b}}$$
C.$${{a}{>}{b}{>}{c}}$$
D.$${{b}{>}{a}{>}{c}}$$
1. 题目解析：
已知 $$f'(x) > 1$$ 对所有 $$x \in \mathbb{R}$$ 成立，且 $$f(3) = 2$$。求不等式 $$f(x) > x - 1$$ 的解集。
步骤：
1. 构造辅助函数 $$g(x) = f(x) - x$$，则 $$g'(x) = f'(x) - 1 > 0$$，说明 $$g(x)$$ 严格单调递增。
2. 由 $$f(3) = 2$$，得 $$g(3) = f(3) - 3 = -1$$。
3. 不等式 $$f(x) > x - 1$$ 等价于 $$g(x) > -1$$。
4. 因为 $$g(x)$$ 单调递增，且 $$g(3) = -1$$，所以解集为 $$x > 3$$。
答案：D. $$(3, +\infty)$$
3. 题目解析：
求函数 $$f(x) = 2x - \ln x$$ 的单调递减区间。
步骤：
1. 求导数 $$f'(x) = 2 - \frac{1}{x}$$。
2. 令 $$f'(x) < 0$$，即 $$2 - \frac{1}{x} < 0$$，解得 $$0 < x < \frac{1}{2}$$。
3. 单调递减区间为 $$\left(0, \frac{1}{2}\right)$$。
答案：B. $$\left(0, \frac{1}{2}\right)$$
4. 题目解析：
分析函数 $$f(x) = x + \frac{1}{1 + e^x}$$ 的性质。
步骤：
1. 对称性：验证 $$f(-x) + f(x) = 2$$，说明函数关于点 $$(0, 1)$$ 中心对称。结论①正确。
2. 单调性：求导数 $$f'(x) = 1 - \frac{e^x}{(1 + e^x)^2} > 0$$，说明函数在定义域内单调递增。结论②正确。
3. 切线方程：计算 $$f(0) = \frac{3}{2}$$，导数 $$f'(0) = \frac{3}{4}$$，切线方程为 $$y - \frac{3}{2} = \frac{3}{4}x$$，即 $$3x - 4y + 6 = 0$$。结论③错误。
4. 零点分析：当 $$x \to -\infty$$，$$f(x) \to -\infty$$；当 $$x \to +\infty$$，$$f(x) \to +\infty$$，且函数连续单调递增，故有唯一零点。结论④错误。
答案：C. $$2$$
5. 题目解析：
求与曲线 $$y = e^x$$ 相切且使得 $$\triangle OAB$$ 面积为 $$\frac{3}{e}$$ 的切点个数。
步骤：
1. 设切点为 $$P(t, e^t)$$，切线方程为 $$y = e^t x + e^t (1 - t)$$。
2. 与坐标轴交点为 $$A(t - 1, 0)$$ 和 $$B(0, e^t (1 - t))$$。
3. 面积公式：$$\frac{1}{2} |t - 1| \cdot |e^t (1 - t)| = \frac{3}{e}$$。
4. 化简得 $$(t - 1)^2 e^t = \frac{6}{e}$$，即 $$(t - 1)^2 e^{t + 1} = 6$$。
5. 令 $$g(t) = (t - 1)^2 e^{t + 1}$$，分析其图像与 $$y = 6$$ 的交点个数，可得 $$2$$ 个解。
答案：B. $$2$$
6. 题目解析：
求函数 $$f(x) = a x^2 + \frac{2}{x}$$ 在 $$(1, +\infty)$$ 上不单调时 $$a$$ 的取值范围。
步骤：
1. 求导数 $$f'(x) = 2a x - \frac{2}{x^2}$$。
2. 函数不单调意味着 $$f'(x)$$ 在 $$(1, +\infty)$$ 上有变号点。
3. 令 $$f'(x) = 0$$，得 $$2a x = \frac{2}{x^2}$$，即 $$a = \frac{1}{x^3}$$。
4. 当 $$x > 1$$ 时，$$\frac{1}{x^3} \in (0, 1)$$，故 $$a \in (0, 1)$$。
答案：B. $$(0, 1)$$
7. 题目解析：
解不等式 $$\frac{f(x)}{9} > x e^x$$，已知 $$f'(x) > f(x) + 9 e^x$$ 且 $$f(3) = 27 e^3$$。
步骤：
1. 构造辅助函数 $$g(x) = \frac{f(x)}{e^x}$$，则 $$g'(x) = \frac{f'(x) - f(x)}{e^x} > 9$$。
2. 由 $$f(3) = 27 e^3$$，得 $$g(3) = 27$$。
3. 不等式 $$\frac{f(x)}{9} > x e^x$$ 等价于 $$g(x) > 9x$$。
4. 因为 $$g'(x) > 9$$，说明 $$g(x) - 9x$$ 单调递增，且 $$g(3) - 27 = 0$$，所以解集为 $$x > 3$$。
答案：A. $$(3, +\infty)$$
8. 题目解析：
求函数 $$f(x) = 3x^5 - 5x^3$$ 的单调递减区间。
步骤：
1. 求导数 $$f'(x) = 15x^4 - 15x^2 = 15x^2 (x^2 - 1)$$。
2. 令 $$f'(x) < 0$$，即 $$15x^2 (x^2 - 1) < 0$$，解得 $$x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$$。
3. 单调递减区间为 $$(-1, 0) \cup (0, 1)$$。
答案：C. $$(-1, 0) \cup (0, 1)$$
9. 题目解析：
函数 $$f(x) = x (x - c)^2$$ 在 $$x = 2$$ 处有极小值，求常数 $$c$$ 的值。
步骤：
1. 求导数 $$f'(x) = (x - c)^2 + 2x (x - c) = (x - c)(3x - c)$$。
2. 在 $$x = 2$$ 处有极值，故 $$f'(2) = 0$$，即 $$(2 - c)(6 - c) = 0$$，解得 $$c = 2$$ 或 $$c = 6$$。
3. 验证极小值：
- 若 $$c = 2$$，$$f'(x) = (x - 2)(3x - 2)$$，在 $$x = 2$$ 处由负变正，是极小值点。
- 若 $$c = 6$$，$$f'(x) = (x - 6)(3x - 6)$$，在 $$x = 2$$ 处由正变负，是极大值点。
4. 故 $$c = 2$$ 符合题意。
答案：A. $$2$$
10. 题目解析：
比较 $$a = \ln 3^{\sqrt{3}}$$，$$b = e^{-1}$$，$$c = \frac{3 \ln 2}{8}$$ 的大小。
步骤：
1. 化简 $$a = \sqrt{3} \ln 3 \approx 1.732 \times 1.0986 \approx 1.902$$。
2. 计算 $$b = e^{-1} \approx 0.3679$$。
3. 计算 $$c = \frac{3 \ln 2}{8} \approx \frac{3 \times 0.6931}{8} \approx 0.2599$$。
4. 比较得 $$a > b > c$$。
答案：C. $$a > b > c$$