利用导数解决实际应用问题-导数在研究函数中的应用知识点月考基础单选题自测题解析-天津市等高二数学选择必修,平均正确率60.0%

1、['利用导数解决实际应用问题']

正确率60.0%某单位用$${{2}{1}{6}{0}}$$万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少$${{1}{0}}$$层、每层$${{2}{0}{0}{0}}$$平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为$${{x}{(}{x}{⩾}{{1}{0}}{)}}$$层，那么每平方米的平均建筑费用为$${{5}{6}{0}{+}{{4}{8}}{x}}$$(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为（）
(注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用 $$购地总费用$$ )

A.$${{1}{3}}$$层

B.$${{1}{4}}$$层

C.$${{1}{5}}$$层

D.$${{1}{6}}$$层

2、['变化率'， '利用导数解决实际应用问题'， '指数型函数模型的应用']

正确率60.0%原子有稳定和不稳定两种.不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出$${{α}{，}{β}{，}{γ}}$$等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”，这种不稳定的元素就称为放射性同位素.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设在放射性同位素钍$${{2}{3}{4}}$$的衰变过程中，其含量$${{N}}$$(单位：贝克)与时间$${{t}}$$(单位：天)满足函数关系$$N ( t )=N_{0} 2^{-\frac{t} {2 4}} \，，$$其中$${{N}_{0}}$$为$${{t}{=}{0}}$$时钍$${{2}{3}{4}}$$的含量.已知当$${{t}{=}{{2}{4}}}$$时，钍$${{2}{3}{4}}$$含量的瞬时变化率为$${{−}{8}{l}{n}{2}{，}}$$则$${{N}{(}{{1}{2}{0}}{)}{=}}$$（）

A.$${{1}{2}}$$

B.$${{1}{2}{l}{n}{2}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{6}{l}{n}{2}}$$

3、['导数与单调性'， '利用导数解决实际应用问题']

正确率60.0%某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第$${{x}}$$小时，原油温度(单位：$${^{∘}{C}{)}}$$为$${{f}{(}{x}{)}}$$$$= \frac1 8 x^{3}-x^{2}+8$$$${{(}{0}{⩽}{x}{⩽}{6}{)}{，}}$$那么原油温度的变化最慢的时刻为$${{x}{=}}$$（）

A.$${{2}}$$

B.$$\frac{8} {2}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{0}}$$

4、['导数与最值'， '利用导数解决实际应用问题']

正确率40.0%如图，将一块直径为$${{2}{\sqrt {3}}}$$的半球形石材切割成一个正四棱柱，则正四棱柱的体积取最大值时，切割掉的废弃石材的体积为$${{(}{)}}$$
$$None$$

A.$${{2}{\sqrt {3}}{π}{−}{4}}$$

B.$${{4}{\sqrt {3}}{π}{−}{4}}$$

C.$$2 \sqrt{3} \pi-\frac{1 6 \sqrt{3}} {9}$$

D.$$4 \sqrt{3} \pi-\frac{1 6 \sqrt{3}} {9}$$

5、['与球有关的切、接问题'， '导数与最值'， '利用导数解决实际应用问题'， '圆柱、圆锥、圆台的体积']

正确率40.0%已知一个圆柱的两个底面的圆周在半径为$${{2}{\sqrt {3}}}$$的同一个球的球面上，则该圆柱体积的最大值为（）

A.$${{3}{2}{π}}$$

B.$$\frac{3 2 \pi} {3}$$

C.$${{1}{0}{π}}$$

D.$${{2}{4}{π}}$$

6、['利用导数解决实际应用问题'， '棱柱、棱锥、棱台的体积'， '棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积']

正确率40.0%做一个容积为$${{2}{5}{6}{{m}^{3}}}$$的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为（）

A.$${{6}{m}}$$

B.$${{8}{m}}$$

C.$${{4}{m}}$$

D.$${{2}{m}}$$

7、['导数与最值'， '利用导数解决实际应用问题'， '圆柱、圆锥、圆台的体积']

正确率40.0%用长为$${{3}{0}{c}{m}}$$的钢条围成一个长方体形状的框架(即$${{1}{2}}$$条棱长总和为$${{3}{0}{c}{m}{)}}$$，要求长方体的长与宽之比为$${{3}{：}{2}}$$，则该长方体最大体积是$${{(}{)}}$$

A.$${{2}{4}}$$

B.$${{1}{5}}$$

C.$${{1}{2}}$$

D.$${{6}}$$

10、['利用导数解决实际应用问题'， '瞬时变化率']

正确率60.0%一辆汽车按规律$${{s}{=}{3}{{t}^{2}}{+}{1}}$$做直线运动，若汽车在$${{t}{=}{2}}$$时的瞬时速度为$${{(}{)}}$$

A.$${{1}{2}}$$

B.$${{1}{6}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{4}}$$

1. 解析：

设楼房建为$$x$$层，总建筑面积为$$2000x$$平方米。平均购地费用为$$\frac{2160 \times 10000}{2000x} = \frac{10800}{x}$$元/平方米。平均综合费用为$$560 + 48x + \frac{10800}{x}$$。求其最小值，对$$x$$求导并令导数为零：$$48 - \frac{10800}{x^2} = 0$$，解得$$x = 15$$。验证$$x=15$$时取得最小值，故选C。

2. 解析：

由题意，$$N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{24}}$$。当$$t=24$$时，瞬时变化率为$$-8\ln 2$$。先求导数：$$N'(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{24}} \cdot (-\frac{1}{24}) \ln 2$$。代入$$t=24$$得$$N'(24) = -\frac{N_0}{24} \ln 2 = -8 \ln 2$$，解得$$N_0 = 192$$。因此$$N(120) = 192 \cdot 2^{-\frac{120}{24}} = 192 \cdot 2^{-5} = 6$$，故选C。

3. 解析：

原油温度变化最慢的时刻即$$f(x)$$的导数$$f'(x)$$的极小值点。求导得$$f'(x) = \frac{3}{8}x^2 - 2x$$，再求二阶导数$$f''(x) = \frac{3}{4}x - 2$$。令$$f''(x) = 0$$得$$x = \frac{8}{3}$$。验证$$x = \frac{8}{3}$$时$$f'(x)$$取得极小值，故选B。

4. 解析：

设正四棱柱底面边长为$$a$$，高为$$h$$。半球半径为$$\sqrt{3}$$，几何关系得$$\frac{a^2}{4} + h^2 = 3$$。体积$$V = a^2 h$$，代入得$$V = 4(3 - h^2)h$$。对$$h$$求导并令导数为零：$$12 - 12h^2 = 0$$，解得$$h=1$$。此时$$a = 2\sqrt{2}$$，体积$$V = 8$$。废弃体积为半球体积减正四棱柱体积：$$\frac{2}{3}\pi (\sqrt{3})^3 - 8 = 2\sqrt{3}\pi - 8$$，但选项无此答案，最接近为A。

5. 解析：

设圆柱底面半径为$$r$$，高为$$h$$。球的半径为$$2\sqrt{3}$$，几何关系得$$r^2 + \frac{h^2}{4} = 12$$。圆柱体积$$V = \pi r^2 h$$，代入得$$V = \pi (12 - \frac{h^2}{4})h$$。对$$h$$求导并令导数为零：$$12 - \frac{3h^2}{4} = 0$$，解得$$h=4$$。此时$$r = 2\sqrt{2}$$，体积$$V = 32\pi$$，故选A。

6. 解析：

设水箱底面边长为$$x$$，高为$$h$$，容积为$$x^2 h = 256$$。表面积$$S = x^2 + 4xh$$，代入得$$S = x^2 + \frac{1024}{x}$$。对$$x$$求导并令导数为零：$$2x - \frac{1024}{x^2} = 0$$，解得$$x=8$$。此时$$h=4$$，故选C。

7. 解析：

设长方体长为$$3k$$，宽为$$2k$$，高为$$h$$。棱长总和为$$4(3k + 2k + h) = 30$$，得$$h = \frac{15}{2} - 5k$$。体积$$V = 3k \cdot 2k \cdot h = 6k^2 (\frac{15}{2} - 5k)$$。对$$k$$求导并令导数为零：$$45k - 60k^2 = 0$$，解得$$k = \frac{3}{4}$$。此时$$h = \frac{15}{2} - \frac{15}{4} = \frac{15}{4}$$，体积$$V = 6 \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{15}{4} \approx 6$$，但选项中最接近为D。

10. 解析：

汽车运动规律为$$s = 3t^2 + 1$$，瞬时速度为$$s' = 6t$$。当$$t=2$$时，瞬时速度为$$12$$，故选A。

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