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正确率40.0%《西游记》中孙悟空的“如意金箍棒”原本是东海海底的一枚“定海神针”，只有孙悟空能让其大小随意变化.若某时“定海神针”(本题看作圆柱)的底面半径为$${{1}{0}{{c}{m}{，}}}$$长度(即圆柱的高)为$${{d}{{c}{m}}{，}}$$此时孙悟空使“定海神针”的底面半径以每秒$${{1}{{c}{m}}}$$匀速缩短，同时长度以每秒 $${{4}{0}{{c}{m}}}$$匀速增长，并满足底面半径(单位：$${{c}{m}{)}}$$在$$[ 4， ~ 1 0 ]$$内，已知在这一变化过程中，当“定海神针”的底面半径为 $${{7}{{c}{m}}}$$时，体积最大，则“定海神针”最初的长度$${{d}}$$的值为（）
A
A.$${{2}{0}}$$
B.$${{4}{0}}$$
C.$${{6}{0}}$$
D.$${{8}{0}}$$
2、['利用导数解决实际应用问题']正确率60.0%某单位用$${{2}{1}{6}{0}}$$万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少$${{1}{0}}$$层、每层$${{2}{0}{0}{0}}$$平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为$$x ( x \geqslant1 0 )$$层，那么每平方米的平均建筑费用为$$5 6 0+4 8 x$$(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为（）
(注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用 $$购地总费用$$ )
C
A.$${{1}{3}}$$层
B.$${{1}{4}}$$层
C.$${{1}{5}}$$层
D.$${{1}{6}}$$层
3、['利用导数解决实际应用问题']正确率60.0%将一个边长为$${{a}}$$的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒.若该方盒的体积为$${{2}{，}}$$则$${{a}}$$的最小值为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
4、['利用导数解决实际应用问题']正确率60.0%现做一个容积为$${{2}{5}{6}}$$的方底无盖水箱，则所用材料最省时，它的高为（）
A
A.$${{4}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{4}{.}{5}}$$
D.$${{8}}$$
5、['导数与单调性'， '利用导数解决实际应用问题']正确率60.0%某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第$${{x}}$$小时，原油温度(单位：$${^{∘}{C}{)}}$$为$${{f}{(}{x}{)}}$$$$= \frac1 8 x^{3}-x^{2}+8$$$$( 0 \leqslant x \leqslant6 )，$$那么原油温度的变化最慢的时刻为$${{x}{=}}$$（）
B
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{8} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{0}}$$
6、['导数与最值'， '利用导数解决实际应用问题']正确率40.0%一个矩形的两个顶点在半径为$${{R}}$$的半圆的直径上，另外两个顶点在该半圆的弧上，当矩形的周长最大时，矩形的两边长分别为（）
B
A.$$\frac{R} {2}$$和$${\frac{3} {2}} R$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {5} R$$和$$\frac{4 \sqrt{5}} {5} R$$
C.$${\frac{4} {5}} R$$和$${\frac{7} {5}} R$$
D.以上都不对
7、['导数与单调性'， '导数与最值'， '利用导数解决实际应用问题']正确率40.0%svg异常
C
A.$$\sqrt{\frac{3 S} {\pi+4}}$$
B.$$\sqrt{\frac{S} {\pi+4}}$$
C.$$\sqrt{\frac{2 S} {\pi+4}}$$
D.$$2 \sqrt{\frac{S} {\pi+4}}$$
8、['利用导数解决实际应用问题'， '圆柱、圆锥、圆台的体积']正确率40.0%用半径为$${{R}}$$的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该内接矩形的两边长之比为$${{(}{)}}$$
A
A.$${\sqrt {2}}$$或$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$${\sqrt {3}}$$或$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$或$$\frac{1} {2}$$
9、['导数与单调性'， '导数与最值'， '导数与极值'， '利用导数解决实际应用问题']正确率40.0%已知横梁的强度和它的矩形横断面的长的平方与宽的乘积成正比，要将直径为$${{d}}$$的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的长和宽分别为（）
C
A.$$\sqrt{3} d， ~ \frac{\sqrt{3}} {3} d$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3} d， \ \frac{\sqrt{6}} {3} d$$
C.$${\frac{\sqrt{6}} {3}} d \mathbf{，} ~ ~ {\frac{\sqrt{3}} {3}} d$$
D.$$\sqrt{3} d， ~ \frac{\sqrt{6}} {3} d$$
10、['导数与单调性'， '利用导数解决实际应用问题']正确率0.0%设函数$$f^{\prime} ( x )$$是定义在$$( 0， \pi)$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的导函数，有$$f^{\prime} ( x ) \operatorname{c o s} x-f ( x ) \operatorname{s i n} x > 0$$，若$$a=\frac{1} {2} f ( \frac{\pi} {3} )$$，$${{b}{=}{0}}$$，$$c=-\frac{\sqrt{3}} {2} f ( \frac{5 \pi} {6} )$$，则$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$的大小关系是$${{(}{)}}$$
A
A.$$a < b < c$$
B.$$b < c < a$$
C.$$c < b < a$$
D.$$c < a < b$$
1. 解析：设“定海神针”的底面半径为 $$r(t) = 10 - t$$，长度为 $$h(t) = d + 40t$$。体积 $$V(t) = \pi r(t)^2 h(t) = \pi (10 - t)^2 (d + 40t)$$。当 $$r(t) = 7$$ 时，$$t = 3$$。此时体积最大，故 $$V'(3) = 0$$。求导得：
2. 解析：设楼房建为 $$x$$ 层，总建筑面积为 $$2000x$$ 平方米。平均购地费用为 $$\frac{2160 \times 10^4}{2000x} = \frac{10800}{x}$$ 元。平均综合费用为：
3. 解析：设截去的小正方形边长为 $$x$$，则方盒体积为 $$V = (a - 2x)^2 x = 2$$。求导得：
4. 解析：设水箱底边长为 $$x$$，高为 $$h$$，则容积为 $$x^2 h = 256$$。表面积（材料面积）为 $$S = x^2 + 4xh$$。将 $$h = \frac{256}{x^2}$$ 代入：
5. 解析：原油温度变化最慢的时刻即 $$f'(x)$$ 的极小值点。求导得：
6. 解析：设矩形在直径上的边长为 $$2x$$，则另一边长为 $$\sqrt{R^2 - x^2}$$。周长为：
8. 解析：设内接矩形的长为 $$2x$$，宽为 $$2y$$，则 $$x^2 + y^2 = R^2$$。圆柱体积为：
9. 解析：设横断面的长为 $$a$$，宽为 $$b$$，强度为 $$I = k a^2 b$$。约束条件为 $$a^2 + b^2 = d^2$$。将 $$b = \sqrt{d^2 - a^2}$$ 代入：
10. 解析：由题意，$$\frac{f'(x) \cos x - f(x) \sin x}{\cos^2 x} = \left(\frac{f(x)}{\cos x}\right)' > 0$$，故 $$\frac{f(x)}{\cos x}$$ 在 $$(0, \pi)$$ 上单调递增。比较：