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正确率60.0%已知矩形的两个顶点位于$${{x}}$$轴上，另两个顶点位于抛物线$$y=4-2 x^{2}$$在$${{x}}$$轴上方的曲线上，则当矩形的面积最大时，矩形相邻两边的长分别为（）
C
A.$$2， ~ \frac{8} {3}$$
B.$$\frac{8} {3}， ~ \frac{2} {3}$$
C.$$\frac{2 \sqrt6} {3}， \ \frac{8} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{2}} {3}， \; \frac{8} {3}$$
2、['利用导数解决实际应用问题']正确率60.0%某个体户计划同时销售$${{A}{，}{B}}$$两种小商品.当对$${{A}{，}{B}}$$小商品均投资$$x ( x \geqslant0 )$$千元时，可获得的收益分别为$${{f}{(}{x}{)}}$$千元与$${{g}{(}{x}{)}}$$千元，其中$$f ( x )=2 x， \， \， \， g ( x )=5 \mathrm{l n} ( 2 x+1 )，$$如果该个体户共投资$${{5}}$$千元，为使总收益最大，则对$${{A}}$$商品需投资（）
B
A.$${{4}}$$千元
B.$${{3}}$$千元
C.$${{2}}$$千元
D.$${{1}}$$千元
3、['导数与最值'， '利用导数解决实际应用问题']正确率60.0%做一个容积为$${{2}{5}{6}{{m}^{3}}}$$的底面为正方形的长方体无盖水箱(水箱厚度忽略不计)，当所用材料最少时，它的高为（）
C
A.$${{6}{m}}$$
B.$${{8}{m}}$$
C.$${{4}{m}}$$
D.$${{2}{m}}$$
5、['与球有关的切、接问题'， '利用导数解决实际应用问题'， '圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积']正确率40.0%在半径为$${{R}}$$的球内有一内接圆柱，设圆柱的底面圆半径为$${{r}}$$，则该圆柱的侧面积最大时，$$\frac{r} {R}$$为（）
B
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
6、['利用导数解决实际应用问题'， '棱柱、棱锥、棱台的体积'， '棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积']正确率60.0%设底面为等边三角形的直三棱柱的体积为$${{V}{，}}$$那么其表面积最小时底面边长为（）
C
A.$${^{3}\sqrt {V}}$$
B.$${^{3}\sqrt {{2}{V}}}$$
C.$${^{3}\sqrt {{4}{V}}}$$
D.$${{2}{^{3}\sqrt {V}}}$$
8、['简单复合函数的导数'， '利用导数解决实际应用问题'， '瞬时变化率']正确率60.0%如果质点$${{A}}$$按规律$${{s}{=}{2}{{t}^{2}}}$$运动，则质点$${{A}}$$在$${{t}{=}{1}}$$时的瞬时速度是$${{(}{☆}{)}}$$
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$${{4}}$$
9、['导数的四则运算法则'， '利用导数解决实际应用问题'， '利用导数讨论函数单调性']正确率40.0%已知定义在$$( 0， \frac{\pi} {2} )$$上的函数$$f ( x )， ~ f^{\prime} ( x )$$为其导函数，且$$f ( x ) < f^{\prime} ( x ) \cdot\operatorname{t a n} x$$恒成立，则$${{(}{)}}$$
B
A.$$\sqrt3 f ( \frac{\pi} {4} ) > \sqrt2 f ( \frac{\pi} {3} )$$
B.$$\sqrt{3} f ( \frac{\pi} {6} ) < f ( \frac{\pi} {3} )$$
C.$$\sqrt{2} f ( \frac{\pi} {6} ) > f ( \frac{\pi} {4} )$$
D.$$f ( 1 ) < 2 f ( \frac{\pi} {6} ) \cdot\operatorname{s i n} 1$$
10、['导数与最值'， '利用导数解决实际应用问题']正确率40.0%某产品的销售收入$${{y}_{1}{(}}$$万元$${{)}}$$是产量$${{x}{(}}$$千台$${{)}}$$的函数，且函数解析式为$$y_{1}=1 7 x^{2} ( x > 0 )$$，生产成本$${{y}_{2}{(}}$$万元$${{)}}$$是产量$${{x}{(}}$$千台$${{)}}$$的函数，且函数解析式为$$y_{2}=2 x^{3}-x^{2} ( x > 0 )$$，要使利润最大，则该产品应生产$${{(}{)}}$$
A
A.$${{6}}$$千台
B.$${{7}}$$千台
C.$${{8}}$$千台
D.$${{9}}$$千台
1. 设矩形在x轴上的顶点为$$(a, 0)$$和$$(-a, 0)$$，则抛物线上对应的顶点为$$(a, 4-2a^2)$$和$$(-a, 4-2a^2)$$。矩形的面积为$$S = 2a \times (4-2a^2) = 8a - 4a^3$$。求导得$$S' = 8 - 12a^2$$，令导数为零解得$$a = \frac{2\sqrt{6}}{3}$$。此时矩形的高为$$4 - 2a^2 = \frac{8}{3}$$。因此，相邻两边的长为$$\frac{2\sqrt{6}}{3}$$和$$\frac{8}{3}$$，选项C正确。
2. 设对A商品投资$$x$$千元，则对B商品投资$$5-x$$千元。总收益为$$f(x) + g(5-x) = 2x + 5\ln(2(5-x)+1) = 2x + 5\ln(11-2x)$$。求导得$$f'(x) = 2 - \frac{10}{11-2x}$$，令导数为零解得$$x = 3$$。验证二阶导数或边界值可知$$x=3$$时收益最大，选项B正确。
3. 设水箱底面边长为$$x$$，高为$$h$$，则体积为$$x^2 h = 256$$，表面积为$$S = x^2 + 4xh$$。将$$h = \frac{256}{x^2}$$代入表面积表达式得$$S = x^2 + \frac{1024}{x}$$。求导得$$S' = 2x - \frac{1024}{x^2}$$，令导数为零解得$$x = 8$$，此时$$h = 4$$。因此，高为4m，选项C正确。
5. 圆柱的高为$$2\sqrt{R^2 - r^2}$$，侧面积为$$S = 2\pi r \times 2\sqrt{R^2 - r^2} = 4\pi r \sqrt{R^2 - r^2}$$。对$$S$$关于$$r$$求导并令导数为零，解得$$r = \frac{R\sqrt{2}}{2}$$。因此，$$\frac{r}{R} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，选项B正确。
6. 设底面边长为$$a$$，高为$$h$$，则体积为$$V = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 h$$。表面积为$$S = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 + 3a h$$。将$$h = \frac{4V}{\sqrt{3}a^2}$$代入表面积表达式得$$S = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + \frac{12V}{\sqrt{3}a}$$。求导得$$S' = \sqrt{3}a - \frac{12V}{\sqrt{3}a^2}$$，令导数为零解得$$a = \sqrt[3]{4V}$$。因此，选项C正确。
8. 质点的瞬时速度为$$s'(t) = 4t$$，在$$t=1$$时的速度为$$4 \times 1 = 4$$，选项D正确。
9. 不等式$$f(x) < f'(x) \tan x$$可改写为$$\frac{f'(x)}{f(x)} > \cot x$$。积分得$$\ln f(x) > \ln \sin x + C$$，即$$f(x) > k \sin x$$。验证选项B：$$\sqrt{3} f\left(\frac{\pi}{6}\right) < f\left(\frac{\pi}{3}\right)$$等价于$$\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2}$$，成立，选项B正确。
10. 利润为$$y_1 - y_2 = 17x^2 - (2x^3 - x^2) = 18x^2 - 2x^3$$。求导得$$y' = 36x - 6x^2$$，令导数为零解得$$x=6$$。验证二阶导数或边界值可知$$x=6$$时利润最大，选项A正确。