导数与极值-导数在研究函数中的应用知识点月考进阶选择题自测题解析-北京市等高二数学选择必修,平均正确率40.0%

2、['二项分布与n重伯努利试验'， '导数与极值'， '利用导数解决实际应用问题']

正确率40.0%甲乙两人进行乒乓球友谊赛，每局甲胜出的概率是$${{p}{(}{0}{<}{p}{<}{1}{)}{，}}$$采用三局两胜制，甲获胜的概率是$${{q}{，}}$$则当$${{q}{−}{p}}$$取得极大值时$${，{p}}$$的值为（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$\frac{1} {2}-\frac{\sqrt{3}} {6}$$

C.$$\frac{1} {2}+\frac{\sqrt{3}} {6}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

3、['导数与极值']

正确率40.0%已知$${{f}^{′}{（}{{x}_{0}}{）}{=}{a}}$$，则$$\Delta x \overset{l i m} {\to} 0 \frac{f ( x_{0}+\Delta x )-f ( x_{0}-3 \ \Delta x )} {2 \ \Delta x}$$的值为（）

A.$${{−}{2}{a}}$$

B.$${{2}{a}}$$

C.$${{a}}$$

D.$${{−}{a}}$$

4、['导数与极值'， '利用导数求参数的取值范围']

正确率19.999999999999996%若函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{a}{(}{x}{−}{2}{)}{{e}^{x}}{+}{{l}{n}}{x}{−}{x}}$$存在唯一的极值点，且此极值小于$${{0}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）

A.$$(-\frac{1} {e^{2}}， \frac{1} {e^{2}} )$$

B.$$(-\frac{1} {e}， \frac{1} {e} )$$

C.$$(-\frac{1} {e^{2}}， 0 ]$$

D.$$(-\frac{1} {e}， 0 ]$$

7、['简单复合函数的导数'， '导数与极值']

正确率60.0%函数$${{f}{(}{x}{)}{＝}{{x}^{3}}{+}{a}{{x}^{2}}{+}{3}{x}{－}{9}}$$，已知$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{x}{＝}{－}{3}}$$处取得极值，则$${{a}{＝}{（}}$$）

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{5}}$$

8、['导数与极值']

正确率0.0%设函数$$f ( x )=e^{x}-a ( \frac{1} {2} x^{2}-x ) ( a \in R )$$有两个极值点$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$${{(}{e}{，}{+}{∞}{)}}$$

B.$${{(}{{e}^{2}}{，}{+}{∞}{)}}$$

C.$${{(}{\sqrt {e}}{，}{+}{∞}{)}}$$

D.$${{(}{1}{，}{e}{)}}$$

9、['导数与最值'， '导数与单调性'， '导数与极值']

正确率60.0%对于函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{x}^{3}}{−}{3}{{x}^{2}}}$$，给出下列命题：$${{(}{1}{)}{f}{(}{x}{)}}$$是增函数，无最值;$${{(}{2}{)}{f}{(}{x}{)}}$$是减函数，无最值;$${{(}{3}{)}{f}{(}{x}{)}}$$的递区间为$${{(}{−}{∞}{，}{0}{)}{和}{{(}{2}{，}{{+}{∞}}{)}}{，}}$$递减区间为$${{(}{0}{，}{2}{)}{;}{(}{4}{)}{f}{(}{0}{)}{=}{0}}$$是最大值，$${{f}{(}{2}{)}{{=}{−}}{4}}$$是最小值.其中正确的有$${{(}{)}}$$

A.$${{1}}$$个

B.$${{2}}$$个

C.$${{3}}$$个

D.$${{4}}$$个

10、['导数与单调性'， '导数与极值']

正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{l}{n}}{x}}$$，若关于$${{x}}$$的方程$${{f}{(}{x}{)}{=}{k}{x}}$$恰有两个不相等的实数根，则实数$${{k}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$( 0， \frac{1} {e} )$$

B.$$( 0， \frac{1} {e} ]$$

C.$$( \frac{1} {2}， \frac{\sqrt{e}} {e} )$$

D.$$( {\frac{1} {2}}， {\frac{\sqrt{e}} {e}} ]$$

2. 解析：甲获胜的情况有两种：2-0 或 2-1。概率分别为 $$p^2$$ 和 $$2p^2(1-p)$$，因此总概率为 $$q = p^2 + 2p^2(1-p) = 3p^2 - 2p^3$$。求 $$q - p = 3p^2 - 2p^3 - p$$ 的极大值，对 $$p$$ 求导并令导数为零：

$$ \frac{d}{dp}(3p^2 - 2p^3 - p) = 6p - 6p^2 - 1 = 0 $$

解得 $$p = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{6}$$。检验二阶导数可知极大值点为 $$p = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}$$。故选 B。

3. 解析：利用导数的定义和极限性质，将表达式拆分：

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0 - 3\Delta x)}{2\Delta x} = \frac{1}{2} \left( \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} + 3 \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 - 3\Delta x) - f(x_0)}{-3\Delta x} \right) $$

由导数定义可知，结果为 $$\frac{1}{2}(a + 3a) = 2a$$。故选 B。

4. 解析：函数 $$f(x) = a(x-2)e^x + \ln x - x$$ 的极值点需满足 $$f'(x) = 0$$ 且唯一。求导得：

$$ f'(x) = a(x-1)e^x + \frac{1}{x} - 1 $$

要求 $$f'(x) = 0$$ 有唯一解，且极值 $$f(x_0) < 0$$。通过分析可得 $$a \in \left(-\frac{1}{e^2}, 0\right]$$。故选 C。

7. 解析：函数 $$f(x) = x^3 + a x^2 + 3x - 9$$ 在 $$x = -3$$ 处取得极值，说明 $$f'(-3) = 0$$。求导得：

$$ f'(x) = 3x^2 + 2a x + 3 $$

代入 $$x = -3$$ 得 $$27 - 6a + 3 = 0$$，解得 $$a = 5$$。故选 D。

8. 解析：函数 $$f(x) = e^x - a\left(\frac{1}{2}x^2 - x\right)$$ 有两个极值点，需 $$f'(x) = e^x - a(x - 1) = 0$$ 有两个解。分析可知 $$a > e^2$$ 时满足条件。故选 B。

9. 解析：函数 $$f(x) = x^3 - 3x^2$$ 的导数为 $$f'(x) = 3x^2 - 6x$$，临界点为 $$x = 0$$ 和 $$x = 2$$。分析单调性和极值：

- 在 $$(-\infty, 0)$$ 和 $$(2, +\infty)$$ 上递增，在 $$(0, 2)$$ 上递减。 - $$f(0) = 0$$ 是极大值，$$f(2) = -4$$ 是极小值。

因此命题 (3) 和 (4) 正确，共 2 个。故选 B。

10. 解析：方程 $$\ln x = kx$$ 有两个不等实数根，转化为求 $$k = \frac{\ln x}{x}$$ 的取值范围。求函数 $$g(x) = \frac{\ln x}{x}$$ 的最大值：

$$ g'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} = 0 \Rightarrow x = e $$

最大值为 $$g(e) = \frac{1}{e}$$，且当 $$x \to 0^+$$ 或 $$x \to +\infty$$ 时 $$g(x) \to 0$$。因此 $$k \in \left(0, \frac{1}{e}\right)$$。故选 A。

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