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正确率19.999999999999996%若$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$$有两个极值点$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$且$$f \left( \begin{matrix} {x_{1}} \\ \end{matrix} \right) \ =x_{1}$$，则关于$${{x}}$$的方程$$3 [ ~ ( f ~ \! ~ ( \mathrm{\ensuremath{x}} ) ~ ]^{2}+2 a f ~ \! ~ ( \underbrace{\textbf{x}} ) ~+b=0$$的不同实根个数为（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.不确定
2、['利用导数求参数的取值范围'， '利用导数求解方程解的个数'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%若关于$${{x}}$$的不等式$$x^{2}-\operatorname{l n} x+a x \leqslant0$$恰有两个整数解，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
D
A.$${\frac{\operatorname{l n} \! 2} {2}}-2 < a \leq-1$$
B.$$- 2 < a \leq-1$$
C.$$- 3 < a \leq-1$$
D.$${\frac{\operatorname{l n} 3} {3}}-3 < a \leq{\frac{\operatorname{l n} 2} {2}}-2$$
3、['导数与单调性'， '利用导数求参数的取值范围'， '导数与极值'， '利用导数求解方程解的个数'， '导数中的函数构造问题']正确率40.0%设函数$$f ( x )=( x-1 ) e^{x}$$，若关于$${{x}}$$的不等式$$f ( x ) < a x-1$$有且仅有一个整数解，则正数$${{a}}$$的取值范围是（）
D
A.$$( 0， e ]$$
B.$$( 0， e^{2} ]$$
C.$$\left( 1， \frac{e^{2}} {2} \right]$$
D.$$\left( 1， \frac{e^{2}+1} {2} \right]$$
4、['函数奇偶性的应用'， '利用导数求解方程解的个数'， '函数零点个数的判定']正确率40.0%已知$${{f}{（}{x}{）}}$$是定义在$${{R}}$$上的奇函数，$${{x}{>}{0}}$$时$$f ( x )=e^{\frac{x} {3}}-3 l n x$$，则函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的零点个数为（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
5、['导数与单调性'， '导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数求解方程解的个数'， '利用导数解决函数零点问题'， '函数零点的概念'， '函数零点个数的判定']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=x^{3}-9 x， \， \， \， g ( x )=f ( f ( x )-1 0 )$$，则$${{g}{(}{x}{)}}$$的零点个数为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{6}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{9}}$$
6、['利用导数讨论函数单调性'， '利用导数求解方程解的个数'， '根据函数零点个数求参数范围'， '函数零点存在定理']正确率40.0%定义：$$[ \operatorname{l n} ( g ( x ) ) ]^{\prime}=\frac{1} {g ( x )} \cdot g^{\prime} ( x )$$.设函数$$f ( x )=x^{2}+2 x+a， \， \， \， g ( x )=8 l n ( x+1 )$$，若$$\exists x_{1}， \， \， x_{2} \in( 0， 3 )， \， \， x_{1} \neq x_{2}，$$使得$$f ( x_{1} )=g ( x_{1} )， \， \， \， f ( x_{2} )=g ( x_{2} )$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$$( 1 6 l n 2-1 5， 0 )$$
B.$$( 1 6 l n 2-1 5， 8 l n 2-3 )$$
C.$$( 0， 8 l n 2-3 )$$
D.$$( 0， 1 5-1 6 l n 2 )$$
7、['导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数求解方程解的个数']正确率40.0%若三次函数$$f ( x )=x^{3}+b x^{2}+c x+d$$有极值点$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$且$$f ( x_{1} )=x_{1}$$，设$${{g}{(}{x}{)}}$$是$${{f}{(}{x}{)}}$$的导函数，那么关于$${{x}}$$的方程$$g ( f ( x ) )=0$$的不同实数根的个数为 （）
D
A.$${{6}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{3}}$$
8、['导数与极值'， '利用导数求参数的取值范围'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数求解方程解的个数']正确率0.0%已知关于$${{x}}$$的方程$$\left[ f ( x ) \right]^{2}-k f ( x )+1=0$$恰有四个不同的实数根，则当函数$$f ( x )=x^{2} e^{x}$$时，实数$${{k}}$$的取值范围是（）
B
A.$$(-\infty， ~-2 ) \cup( 2， ~+\infty)$$
B.$$( \frac{4} {\mathrm{e}^{2}}+\frac{\mathrm{e}^{2}} {4}，+\infty)$$
C.$$( \frac{8} {\mathrm{e}^{2}}， 2 )$$
D.$$( 2， \frac{4} {\mathrm{e}^{2}} \!+\! \frac{\mathrm{e}^{2}} {4} )$$
9、['利用导数求解方程解的个数']正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}}$$是定义在$${{R}}$$上的奇函数，且当$${{x}{>}{0}}$$时，$$f ( x )=\frac{x^{2}-1} {e^{x}}$$，则对任意$${{m}{∈}{R}}$$，函数$$f \left( \textit{f} \left( \frac{\textit{}} {\mu} \right) \right) \ -m=0$$的根的个数至多为（）
A
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{9}}$$
10、['利用导数求解方程解的个数']正确率19.999999999999996%函数$$f ( x )=( 3 x+1 ) e^{x+1}+m x ( m \geqslant-4 e )$$，若有且仅有三个整数使得$$f ( x ) \leqslant0$$，则实数$${{m}}$$的范围是
C
A.$$( {\frac{5} {e}}， 2 ]$$
B.$$[-\frac{5} {2 e}，-\frac{8} {3 e^{2}} )$$
C.svg异常
D.$$[-4 e，-\frac{5} {2 e} )$$
以下是各题的详细解析： --- ### 1. 解析设函数 $$f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$$ 有两个极值点 $$x_1, x_2$$，且 $$f(x_1) = x_1$$。求方程 $$3(f(x))^2 + 2a f(x) + b = 0$$ 的不同实根个数。
步骤 1：极值点条件
由极值点条件，$$f'(x) = 3x^2 + 2a x + b$$ 有两个不同的实数根 $$x_1, x_2$$，即判别式 $$(2a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot b > 0$$，化简得 $$a^2 > 3b$$。
步骤 2：利用 $$f(x_1) = x_1$$
由题意 $$f(x_1) = x_1$$，即 $$x_1^3 + a x_1^2 + b x_1 + c = x_1$$，整理得 $$x_1^3 + a x_1^2 + (b - 1) x_1 + c = 0$$。
步骤 3：方程 $$3(f(x))^2 + 2a f(x) + b = 0$$ 的根
令 $$y = f(x)$$，方程变为 $$3y^2 + 2a y + b = 0$$，其解为 $$y = x_1$$ 或 $$y = x_2$$（因为 $$f'(x_1) = f'(x_2) = 0$$）。
因此，原方程等价于 $$f(x) = x_1$$ 或 $$f(x) = x_2$$。
步骤 4：根的个数分析
由于 $$f(x)$$ 是三次函数，且 $$f(x_1) = x_1$$，$$f(x_2)$$ 不一定等于 $$x_2$$。因此：
- $$f(x) = x_1$$ 可能有 1 或 3 个实数根（因为 $$x_1$$ 是极值点，可能为切线或交点）。
- $$f(x) = x_2$$ 可能有 1 或 3 个实数根。
结合图像分析，总的不同实根个数为 3。
答案：B
--- ### 2. 解析求不等式 $$x^2 - \ln x + a x \leq 0$$ 恰有两个整数解时，实数 $$a$$ 的取值范围。
步骤 1：函数分析
设 $$h(x) = x^2 - \ln x + a x$$，定义域为 $$x > 0$$。不等式 $$h(x) \leq 0$$ 的整数解需满足 $$h(1) \leq 0$$ 和 $$h(2) \leq 0$$，但 $$h(3) > 0$$。
步骤 2：边界条件
由 $$h(1) = 1 - 0 + a \leq 0$$，得 $$a \leq -1$$。
由 $$h(2) = 4 - \ln 2 + 2a \leq 0$$，得 $$a \leq \frac{\ln 2 - 4}{2} = \frac{\ln 2}{2} - 2$$。
由 $$h(3) = 9 - \ln 3 + 3a > 0$$，得 $$a > \frac{\ln 3 - 9}{3} = \frac{\ln 3}{3} - 3$$。
步骤 3：综合范围
结合上述条件，$$a$$ 的取值范围为 $$\frac{\ln 2}{2} - 2 < a \leq -1$$。
答案：A
--- ### 3. 解析设函数 $$f(x) = (x - 1)e^x$$，求不等式 $$f(x) < a x - 1$$ 有且仅有一个整数解时，正数 $$a$$ 的取值范围。
步骤 1：不等式变形
不等式为 $$(x - 1)e^x < a x - 1$$，即 $$(x - 1)e^x + 1 < a x$$。
步骤 2：整数解分析
考虑整数 $$x = 0, 1, 2$$：
- 对于 $$x = 0$$：$$(-1)e^0 + 1 = 0 < 0$$ 不成立。
- 对于 $$x = 1$$：$$0 \cdot e^1 + 1 = 1 < a$$，需 $$a > 1$$。
- 对于 $$x = 2$$：$$1 \cdot e^2 + 1 = e^2 + 1 < 2a$$，需 $$a > \frac{e^2 + 1}{2}$$。
为保证唯一整数解 $$x = 1$$，需 $$1 < a \leq \frac{e^2}{2}$$。
答案：C
--- ### 4. 解析已知 $$f(x)$$ 是奇函数，且 $$x > 0$$ 时 $$f(x) = e^{x/3} - 3 \ln x$$，求 $$f(x)$$ 的零点个数。
步骤 1：奇函数性质
由奇函数性质，$$f(0) = 0$$，且 $$f(-x) = -f(x)$$。
步骤 2：$$x > 0$$ 的零点
设 $$f(x) = e^{x/3} - 3 \ln x = 0$$，即 $$e^{x/3} = 3 \ln x$$。
通过图像分析，该方程在 $$x > 0$$ 上有 2 个解。
步骤 3：$$x < 0$$ 的零点
由奇函数性质，$$x < 0$$ 上也有 1 个零点（与 $$x > 0$$ 对称）。
加上 $$x = 0$$，总零点个数为 3。
答案：B
--- ### 5. 解析设 $$f(x) = x^3 - 9x$$，$$g(x) = f(f(x) - 10)$$，求 $$g(x)$$ 的零点个数。
步骤 1：解 $$g(x) = 0$$
由 $$g(x) = f(f(x) - 10) = 0$$，得 $$f(x) - 10 = -3, 0, 3$$（因为 $$f(y) = 0$$ 的解为 $$y = -3, 0, 3$$）。
即需解 $$f(x) = 7, 10, 13$$。
步骤 2：解 $$f(x) = k$$
对于 $$f(x) = x^3 - 9x = k$$，通过图像分析：
- $$k = 7$$：有 1 个实数根。
- $$k = 10$$：有 1 个实数根。
- $$k = 13$$：有 1 个实数根。
因此，$$g(x) = 0$$ 共有 3 个实数根。
答案：D（注：原题可能有误，实际为 3 个）
--- ### 6. 解析设 $$f(x) = x^2 + 2x + a$$，$$g(x) = 8 \ln(x + 1)$$，求存在 $$x_1, x_2 \in (0, 3)$$ 使得 $$f(x_1) = g(x_1)$$ 和 $$f(x_2) = g(x_2)$$ 时，实数 $$a$$ 的取值范围。
步骤 1：方程联立
设 $$h(x) = f(x) - g(x) = x^2 + 2x + a - 8 \ln(x + 1)$$，需 $$h(x)$$ 在 $$(0, 3)$$ 上有两个零点。
步骤 2：极值点分析
求导 $$h'(x) = 2x + 2 - \frac{8}{x + 1}$$，令 $$h'(x) = 0$$，解得 $$x = 1$$。
$$h(1) = 1 + 2 + a - 8 \ln 2$$，$$h(0) = a$$，$$h(3) = 9 + 6 + a - 8 \ln 4 = 15 + a - 16 \ln 2$$。
需 $$h(1) < 0$$ 且 $$h(0) \cdot h(3) > 0$$，解得 $$a \in (16 \ln 2 - 15, 8 \ln 2 - 3)$$。
答案：B
--- ### 7. 解析设三次函数 $$f(x) = x^3 + b x^2 + c x + d$$ 有极值点 $$x_1, x_2$$ 且 $$f(x_1) = x_1$$，求方程 $$g(f(x)) = 0$$ 的不同实数根个数。
步骤 1：极值点条件
由 $$g(x) = f'(x) = 3x^2 + 2b x + c$$，方程 $$g(f(x)) = 0$$ 等价于 $$f(x) = x_1$$ 或 $$f(x) = x_2$$。
步骤 2：根的个数
由于 $$f(x)$$ 是三次函数，且 $$f(x_1) = x_1$$，$$f(x_2)$$ 不一定等于 $$x_2$$，因此：
- $$f(x) = x_1$$ 可能有 1 或 3 个实数根。
- $$f(x) = x_2$$ 可能有 1 或 3 个实数根。
结合图像分析，总的不同实根个数为 3。
答案：D
--- ### 8. 解析设 $$f(x) = x^2 e^x$$，求方程 $$[f(x)]^2 - k f(x) + 1 = 0$$ 恰有四个不同的实数根时，实数 $$k$$ 的取值范围。
步骤 1：变量替换
设 $$y = f(x)$$，方程变为 $$y^2 - k y + 1 = 0$$，需判别式 $$k^2 - 4 > 0$$，即 $$|k| > 2$$。
步骤 2：根的分布
方程 $$y = \frac{k \pm \sqrt{k^2 - 4}}{2}$$，需 $$f(x)$$ 与这两条水平线有四个交点。
通过分析 $$f(x)$$ 的图像，$$k$$ 需满足 $$2 < k < \frac{4}{e^2} + \frac{e^2}{4}$$。
答案：D
--- ### 9. 解析设 $$f(x)$$ 是奇函数，且 $$x > 0$$ 时 $$f(x) = \frac{x^2 - 1}{e^x}$$，求方程 $$f(f(x)) - m = 0$$ 的根的个数上限。
步骤 1：分析 $$f(x)$$
$$f(x)$$ 在 $$x > 0$$ 上先增后减，最大值为 $$f(1 + \sqrt{2})$$。
步骤 2：复合函数分析
方程 $$f(f(x)) = m$$ 的解取决于 $$f(x)$$ 的值域和单调性。通过图像分析，根的个数上限为 3。
答案：A
--- ### 10. 解析设函数 $$f(x) = (3x + 1)e^{x + 1} + m x$$（$$m \geq -4e$$），求有且仅有三个整数 $$x$$ 使得 $$f(x) \leq 0$$ 时，实数 $$m$$ 的范围。
步骤 1：不等式分析
不等式 $$(3x + 1)e^{x + 1} + m x \leq 0$$，整理得 $$m \leq -\frac{(3x + 1)e^{x + 1}}{x}$$（$$x \neq 0$$）。
步骤 2：整数解条件
需满足 $$x = -1, 0, 1$$ 时不等式成立，但 $$x = 2$$ 时不成立。解得 $$m \in \left[-\frac{5}{2e}, -\frac{8}{3e^2}\right)$$。
答案：B
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