利用导数求曲线的切线方程（斜率）-导数在研究函数中的应用知识点回顾进阶选择题自测题答案-陕西省等高二数学选择必修,平均正确率46.0%

1、['利用导数求曲线的切线方程（斜率）']

正确率19.999999999999996%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{(}{x}{−}{3}{)}{{e}^{x}}{，}}$$若经过点$${{(}{0}{，}{a}{)}}$$且与曲线$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$相切的直线有三条，则（）

A.$${{−}{3}{<}{a}{<}{−}{e}}$$

B.$${{a}{>}{−}{e}}$$

C.$${{a}{<}{−}{3}}$$

D.$${{a}{<}{−}{3}}$$或$${{a}{>}{−}{e}}$$

2、['简单复合函数的导数'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '导数的几何意义']

正确率60.0%曲线$$y=\mathrm{e}^{a x}-\operatorname{l n} ( x+1 )$$在$${{x}{=}{0}}$$处的切线方程为$${{2}{x}{−}{y}{+}{1}{=}{0}{，}}$$则$${{a}}$$的值为（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{0}}$$

3、['利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '利用导数解决函数零点问题']

正确率40.0%已知$${{a}}$$为常数，函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{l}{n}}{x}{−}{a}{x}}$$有两个零点，则$${{a}}$$的取值范围为

A.$$\left(-\infty， \frac{1} {e} \right)$$

B.$${{(}{−}{∞}{，}{e}{)}}$$

C.$$\left( 0， \frac{1} {e} \right)$$

D.$${{(}{0}{，}{e}{)}}$$

4、['利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系'， '函数零点的概念']

正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {-x^{2}-2 x+3 ( x \leq1 )} \\ {1 n x ( x > 1 )} \\ \end{aligned} \right.$$，若关于$${{x}}$$的方程$$f ( x )=k x-\frac{1} {2}$$恰有四个不相等的实数根，则实数$${{k}}$$的取值范围是（）

A.$$( \frac{1} {2}， \ \sqrt{e} )$$

B.$$[ \frac{1} {2}， ~ \sqrt{e} )$$

C.$${( \frac{1} {2}， ~ \frac{\sqrt{e}} {e} ]}$$

D.$$( \frac{1} {2}， ~ \frac{\sqrt{e}} {e} )$$

5、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '导数的几何意义'， '直线的斜率'， '直线的倾斜角']

正确率40.0%函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{e}^{x}}{{s}{i}{n}}{x}}$$的图象在点$${{(}{0}{，}{f}{(}{0}{)}{)}}$$处的切线的倾斜角为

A.$${{4}}$$

B.$$\frac{\pi} {4}$$

C.$${{1}}$$

D.$$\frac{\pi} {2}$$

6、['利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '两条直线垂直']

正确率60.0%设过曲线$${{f}{(}{x}{)}{=}{{e}^{x}}{+}{x}{+}{2}{a}{(}{e}}$$为自然对数的底数)上任意一点处的切线为$${{l}_{1}}$$，总存在过曲线$$g ( x ) \!=\! \frac{a} {2} ( 1 \!-\! 2 x ) \!-\! 2 \operatorname{s i n} x$$上一点处的切线$${{l}_{2}}$$，使得$${{l}_{1}{⊥}{{l}_{2}}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）

A.$${{[}{−}{1}{，}{2}{]}}$$

B.$${{[}{−}{2}{，}{2}{]}}$$

C.$${{[}{−}{1}{，}{1}{]}}$$

D.$${{[}{−}{2}{，}{1}{]}}$$

7、['利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '函数求值']

正确率60.0%已知$${{f}{^{′}}{{(}{x}{)}}}$$是函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的导函数，若函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的图象在点$${{x}{=}{2}}$$处的切线方程是$${{x}{+}{2}{y}{−}{5}{=}{0}}$$，则$${{f}{{(}{2}{)}}{+}{f}{^{′}}{{(}{2}{)}}{=}{（}}$$）

A.$${{1}}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$$- \frac{1} {2}$$

D.$${{0}}$$

8、['利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '导数的几何意义']

正确率40.0%函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{e}^{x}}{+}{{c}{o}{s}}{x}}$$的图象在$${{x}{=}{0}}$$处的切线与函数$${{y}{=}{{x}^{2}}{+}{a}}$$也相切，则$${{a}}$$的值为（）

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

D.$$\frac{9} {4}$$

9、['利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '导数的几何意义']

正确率60.0%曲线$${{y}{=}{{x}^{3}}{−}{x}{+}{3}}$$在点$${{(}{1}{，}{3}{)}}$$处的切线的斜率等于$${{(}{)}}$$

A.$${{2}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{1}{2}}$$

D.$${{6}}$$

10、['利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '导数的几何意义']

正确率60.0%曲线$${{y}{=}{5}{x}{+}{{l}{n}}{x}}$$在点$${{(}{1}{，}{5}{)}}$$处的切线方程为（）

A.$${{4}{x}{−}{y}{+}{1}{=}{0}}$$

B.$${{4}{x}{−}{y}{−}{1}{=}{0}}$$

C.$${{6}{x}{−}{y}{+}{1}{=}{0}}$$

D.$${{6}{x}{−}{y}{−}{1}{=}{0}}$$

1. 解析：

设切点为$$(x_0, (x_0-3)e^{x_0})$$，切线斜率为$$f'(x_0)=(x_0-2)e^{x_0}$$。切线方程为$$y-(x_0-3)e^{x_0}=(x_0-2)e^{x_0}(x-x_0)$$。将点$$(0,a)$$代入得$$a=(x_0-3)e^{x_0}-x_0(x_0-2)e^{x_0}=(-x_0^2+3x_0-3)e^{x_0}$$。设$$g(x)=(-x^2+3x-3)e^x$$，求导得$$g'(x)=(-x^2+x)e^x$$，极值点为$$x=0$$和$$x=1$$。计算得$$g(0)=-3$$，$$g(1)=-e$$。要使$$g(x)=a$$有三解，需$$-3 < a < -e$$。故选A。

2. 解析：

求导得$$y'=a e^{a x}-\frac{1}{x+1}$$。在$$x=0$$处，$$y(0)=1$$，$$y'(0)=a-1$$。切线方程为$$y-1=(a-1)x$$，即$$(a-1)x-y+1=0$$。与题目给定的$$2x-y+1=0$$对比得$$a-1=2$$，故$$a=3$$。选C。

3. 解析：

函数$$f(x)=\ln x - a x$$的导数为$$f'(x)=\frac{1}{x}-a$$。令$$f'(x)=0$$得$$x=\frac{1}{a}$$。极大值为$$f\left(\frac{1}{a}\right)=-\ln a -1$$。要使$$f(x)$$有两个零点，需$$-\ln a -1 > 0$$，即$$a < \frac{1}{e}$$。又$$a > 0$$，故$$a \in \left(0, \frac{1}{e}\right)$$。选C。

4. 解析：

方程$$f(x)=k x-\frac{1}{2}$$有四个不等实根，需分段讨论。对于$$x \leq 1$$，$$-x^2-2x+3=k x-\frac{1}{2}$$，即$$x^2+(2+k)x-\frac{7}{2}=0$$，判别式需大于0。对于$$x > 1$$，$$\ln x=k x-\frac{1}{2}$$，需$$y=\ln x$$与$$y=k x-\frac{1}{2}$$有两个交点。通过求导和极限分析，可得$$k \in \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{e}}{e}\right)$$。选D。

5. 解析：

函数$$f(x)=e^x \sin x$$的导数为$$f'(x)=e^x (\sin x + \cos x)$$。在$$x=0$$处，$$f'(0)=1$$，故切线的倾斜角为$$\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$$。选B。

6. 解析：

$$f'(x)=e^x+1$$，$$g'(x)=-a-2 \cos x$$。要求对任意$$x_1$$，存在$$x_2$$使得$$(e^{x_1}+1)(-a-2 \cos x_2)=-1$$。即$$a+2 \cos x_2=\frac{1}{e^{x_1}+1}$$。由于$$\cos x_2 \in [-1,1]$$，$$a$$需满足$$-2 \leq a \leq 1$$。进一步分析得$$a \in [-1,1]$$。选C。

7. 解析：

切线方程为$$x+2y-5=0$$，在$$x=2$$处，$$y=\frac{5-2}{2}=\frac{3}{2}$$，故$$f(2)=\frac{3}{2}$$。斜率为$$-\frac{1}{2}$$，故$$f'(2)=-\frac{1}{2}$$。因此$$f(2)+f'(2)=1$$。选A。

8. 解析：

$$f(x)=e^x+\cos x$$的导数为$$f'(x)=e^x-\sin x$$。在$$x=0$$处，$$f(0)=2$$，$$f'(0)=1$$，切线方程为$$y-2=x$$，即$$y=x+2$$。与$$y=x^2+a$$相切，联立得$$x^2-x+(a-2)=0$$，判别式为0，解得$$a=\frac{9}{4}$$。选D。

9. 解析：

$$y=x^3-x+3$$的导数为$$y'=3x^2-1$$。在$$x=1$$处，$$y'=2$$，故切线的斜率为2。选A。

10. 解析：

$$y=5x+\ln x$$的导数为$$y'=5+\frac{1}{x}$$。在$$x=1$$处，$$y'=6$$，切线方程为$$y-5=6(x-1)$$，即$$6x-y-1=0$$。选D。

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