导数与单调性-5.3 导数在研究函数中的应用知识点专题进阶自测题答案-甘肃省等高二数学选择必修,平均正确率46.0%

1、['导数与单调性'， '对数函数']

正确率40.0%已知$$a=\frac{3 2 ( 4-\operatorname{l n} 3 2 )} {e^{4}}$$，$$b=\frac{1} {e}$$，$$c=\frac{\operatorname{l o g}_{\sqrt e} 2} {4}$$，则$${{(}{)}}$$

A.$$a < c < b$$

B.$$c < a < b$$

C.$$a < b < c$$

D.$$b < a < c$$

2、['正弦（型）函数的单调性'， '导数与单调性'， '导数与最值'， '特殊角的三角函数值']

正确率40.0%函数$$y=x+2 \operatorname{c o s} x-\sqrt{3}$$在区间$$[ 0， \frac{\pi} {2} \Big]$$上的最大值是（）

A.$$\frac{\pi} {2}-\sqrt{3}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

C.$${{2}{−}{\sqrt {3}}}$$

D.$${{1}{−}{\sqrt {3}}}$$

3、['导数与单调性']

正确率40.0%已知函数$$y=f ( x )$$，若$$f ( x ) > 0$$且$$f^{\prime} ( x )+x f ( x ) > 0$$，则有$${{(}{)}}$$

A.$${{f}{(}{x}{)}}$$可能是奇函数，也可能是偶函数

B.$$f (-1 ) > f ( 1 )$$

C.$$\frac{\pi} {4} < x < \frac{\pi} {2}$$时，$$f ( \operatorname{s i n} x ) < e^{\frac{\operatorname{c o s} 2 x} {2}} f ( \operatorname{c o s} x )$$

D.$$f ( 0 ) < \sqrt{e} f ( 1 )$$

4、['导数与单调性'， '函数奇、偶性的定义'， '函数图象的识别']

正确率60.0%已知$$f ( x )=\frac{1} {2} x-\mathrm{s i n} x，$$则$${{f}{(}{x}{)}}$$的图像大致是（）

5、['导数与单调性'， '图象法']

正确率60.0%已知函数$$y=x f^{\prime} ( x )$$的图象如图所示（其中$$f^{\prime} ( x )$$是函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的导函数）$${{.}}$$下面四个图象中$$y=f ( x )$$的图象大致是（）
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6、['函数求值域'， '导数与单调性'， '对数（型）函数的值域']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {\operatorname{l o g}_{2} ( 1-x )+1，} & {1 \leqslant x \leqslant k，} \\ {x^{3}-3 x+2，} & {k < x \leqslant a，} \\ \end{array} \right.$$，若存在$${{k}}$$使得函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的值域是$$[ 0， 2 ] \;，$$则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

D.$${{\{}{2}{\}}}$$

7、['导数与单调性'， '利用导数讨论函数单调性']

正确率40.0%若函数$$f \left( x \right)=x^{3}-m x^{2}-x+5$$在区间$$( 0， 1 )$$内单调递减，则实数的取值范围是（）

A.$${{m}{⩾}{1}}$$

B.$${{m}{>}{1}}$$

C.$${{m}{⩽}{1}}$$

D.$${{m}{<}{1}}$$

8、['导数与单调性']

正确率40.0%已知$${{f}{(}{x}{)}}$$为定义在$$(-\infty， 0 ) \cup( 0，+\infty)$$上的偶函数，$$f^{\prime} ( x )$$是$${{f}{(}{x}{)}}$$的导函数，若当$${{x}{>}{0}}$$时，$$f^{\prime} ( x ) \operatorname{l n} x+\frac{f ( x )} {x} < 0$$，则不等式$$( x-1 ) f ( x ) < 0$$的解集是$${{(}{)}}$$

A.$$( 1，+\infty)$$

B.$$( 0， 1 )$$

C.$$(-\infty， 0 ) \cup( 1，+\infty)$$

D.$$(-\infty， 0 )$$

9、['导数与单调性']

正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的定义域为$$(-\frac{\pi} {2}， \frac{\pi} {2} )$$，其导函数是$$f^{\prime} ( x )$$，有$$f^{\prime} ( x ) \operatorname{c o s} x+f ( x ) \operatorname{s i n} x < 0$$，则关于$${{x}}$$的不等式$$\sqrt{3} f ( x ) < 2 f ( \frac{\pi} {6} ) \operatorname{c o s} x$$的解集为$${{(}{)}}$$

A.$$( \frac{\pi} {3}， \frac{\pi} {2} )$$

B.$$( \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {2} )$$

C.$$(-\frac{\pi} {6}，-\frac{\pi} {3} )$$

D.$$(-\frac{\pi} {2}，-\frac{\pi} {6} )$$

10、['导数与单调性']

正确率60.0%已知$$y=( 1-x ) f^{\prime} ( x )$$的图象如图所示，其中$$f^{\prime} ( x )$$是函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的导数，则所给选项的四个图象中，函数$$y=f ( x )$$的图象可能是$${{(}{)}}$$

1. 比较 $$a$$, $$b$$, $$c$$ 的大小关系：

首先计算各值：

$$a = \frac{32(4 - \ln 32)}{e^4}$$，其中 $$\ln 32 \approx 3.4657$$，故 $$4 - \ln 32 \approx 0.5343$$，$$e^4 \approx 54.598$$，因此 $$a \approx \frac{32 \times 0.5343}{54.598} \approx 0.313$$。
$$b = \frac{1}{e} \approx 0.3679$$。
$$c = \frac{\log_{\sqrt{e}} 2}{4} = \frac{\ln 2}{\frac{1}{2} \ln e} \times \frac{1}{4} = \frac{\ln 2}{2} \approx 0.3466$$。

比较得 $$a < c < b$$，故选 A。

2. 求函数 $$y = x + 2 \cos x - \sqrt{3}$$ 在区间 $$[0, \frac{\pi}{2}]$$ 上的最大值：

求导得 $$y' = 1 - 2 \sin x$$，令 $$y' = 0$$，解得 $$x = \frac{\pi}{6}$$。计算端点及临界点：

$$y(0) = 0 + 2 \times 1 - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.2679$$。
$$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} + 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} = \frac{\pi}{6} \approx 0.5236$$。
$$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} + 0 - \sqrt{3} \approx 1.5708 - 1.732 \approx -0.161$$。

最大值为 $$\frac{\pi}{6}$$，故选 B。

3. 分析函数 $$f(x)$$ 的性质：

由 $$f(x) > 0$$ 和 $$f'(x) + x f(x) > 0$$，构造辅助函数 $$g(x) = e^{x^2/2} f(x)$$，求导得 $$g'(x) = e^{x^2/2} (f'(x) + x f(x)) > 0$$，故 $$g(x)$$ 单调递增。

选项 B：由 $$g(-1) < g(1)$$，得 $$f(-1) < e f(1)$$，但无法直接推出 $$f(-1) > f(1)$$，排除。
选项 C：当 $$\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$$，$$\sin x < \cos x$$，由 $$g(\sin x) < g(\cos x)$$，得 $$f(\sin x) < e^{(\cos^2 x - \sin^2 x)/2} f(\cos x) = e^{\cos 2x / 2} f(\cos x)$$，正确。
选项 D：由 $$g(0) < g(1)$$，得 $$f(0) < e^{1/2} f(1) = \sqrt{e} f(1)$$，正确。

综上，选 C, D（原题可能为单选，需根据选项调整）。

4. 函数 $$f(x) = \frac{1}{2} x - \sin x$$ 的图像分析：

求导得 $$f'(x) = \frac{1}{2} - \cos x$$，临界点为 $$\cos x = \frac{1}{2}$$，即 $$x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$$ 或 $$x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$$。

当 $$x \in (-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$$，$$f'(x) < 0$$，函数递减；
当 $$x \in (\frac{\pi}{3}, \pi)$$，$$f'(x) > 0$$，函数递增。

结合图像特征，选 B。

5. 由 $$y = x f'(x)$$ 的图像推导 $$f(x)$$ 的图像：

分析 $$y = x f'(x)$$ 的零点及符号变化：

当 $$x < 0$$，$$f'(x)$$ 与 $$y$$ 同号；
当 $$x > 0$$，$$f'(x)$$ 与 $$y$$ 同号。

根据图像变化趋势，选 C。

6. 函数 $$f(x)$$ 的值域为 $$[0, 2]$$，求 $$a$$ 的取值范围：

分段分析：

当 $$1 \leq x \leq k$$，$$f(x) = \log_2 (1 - x) + 1$$，需满足 $$f(k) = 0$$，解得 $$k = 0$$（不满足 $$k \geq 1$$），故无解。
当 $$k < x \leq a$$，$$f(x) = x^3 - 3x + 2$$，需满足 $$f(a) = 2$$，解得 $$a = 0$$ 或 $$a = 1$$ 或 $$a = 2$$。

结合连续性，$$a$$ 的取值范围为 $$[1, 2]$$，故选 B。

7. 函数 $$f(x) = x^3 - m x^2 - x + 5$$ 在 $$(0, 1)$$ 内单调递减，求 $$m$$ 的取值范围：

求导得 $$f'(x) = 3x^2 - 2m x - 1$$，需满足 $$f'(x) \leq 0$$ 在 $$(0, 1)$$ 内恒成立。由 $$f'(0) = -1 \leq 0$$ 和 $$f'(1) = 3 - 2m - 1 \leq 0$$，得 $$m \geq 1$$，故选 A。

8. 不等式 $$(x - 1) f(x) < 0$$ 的解集：

由 $$f'(x) \ln x + \frac{f(x)}{x} < 0$$，构造 $$g(x) = f(x) \ln x$$，求导得 $$g'(x) = f'(x) \ln x + \frac{f(x)}{x} < 0$$，故 $$g(x)$$ 单调递减。

当 $$x > 1$$，$$\ln x > 0$$，由 $$g(x) < g(1) = 0$$，得 $$f(x) < 0$$；
当 $$0 < x < 1$$，$$\ln x < 0$$，由 $$g(x) > g(1) = 0$$，得 $$f(x) < 0$$；
由偶性，$$f(-x) = f(x)$$。

不等式 $$(x - 1) f(x) < 0$$ 的解集为 $$(0, 1) \cup (1, +\infty)$$，但选项中最接近的是 B $$(0, 1)$$。

9. 不等式 $$\sqrt{3} f(x) < 2 f\left(\frac{\pi}{6}\right) \cos x$$ 的解集：

由 $$f'(x) \cos x + f(x) \sin x < 0$$，构造 $$g(x) = \frac{f(x)}{\cos x}$$，求导得 $$g'(x) = \frac{f'(x) \cos x + f(x) \sin x}{\cos^2 x} < 0$$，故 $$g(x)$$ 单调递减。不等式化为 $$\sqrt{3} g(x) < 2 g\left(\frac{\pi}{6}\right)$$，即 $$g(x) < g\left(\frac{\pi}{6}\right)$$，由单调性得 $$x > \frac{\pi}{6}$$。结合定义域，解集为 $$\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$$，故选 B。

10. 由 $$y = (1 - x) f'(x)$$ 的图像推导 $$f(x)$$ 的图像：

分析 $$y$$ 的零点及符号变化：

当 $$x < 0$$，$$f'(x)$$ 与 $$y$$ 异号；
当 $$0 < x < 1$$，$$f'(x)$$ 与 $$y$$ 同号；
当 $$x > 1$$，$$f'(x)$$ 与 $$y$$ 异号。

根据图像特征，选 A。

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