利用导数求解方程解的个数-5.3 导数在研究函数中的应用知识点专题进阶自测题答案-黑龙江省等高二数学选择必修,平均正确率34.00000000000001%

1、['利用导数求解方程解的个数']

正确率40.0%若关于$${{x}}$$的方程$$2 x^{3}-3 x^{2}-1 2 x+k=0$$有$${{3}}$$个不等实根，则满足条件的整数$${{k}}$$的个数是（）

A.$${{2}{4}}$$

B.$${{2}{6}}$$

C.$${{2}{9}}$$

D.$${{3}{1}}$$

2、['利用导数求解方程解的个数']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=( x+1 ) \mathrm{e}^{x}，$$若方程$$f ( x )=a ( a \in{\bf R} )$$有$${{2}}$$个解，则$${{a}}$$的取值范围为（）

A.$$a >-\frac{1} {\mathrm{e^{2}}}$$

B.$$a <-\frac{1} {\mathrm{e^{2}}}$$

C.$$- \frac{1} {\mathrm{e}^{2}} < a < 0$$

D.$$a=-\frac{1} {\mathrm{e^{2}}}$$或$${{a}{>}{0}}$$

3、['三次函数的性质'， '利用导数求参数的取值范围'， '利用导数求解方程解的个数']

正确率40.0%一般地，对于一元三次函数$$f ( x )，$$若$$f^{\prime\prime} ( x_{0} )=0，$$则$$( x_{0}， ~ f ( x_{0} ) )$$为三次函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象的对称中心.已知函数$$f ( x )=x^{3}+a x^{2}+1$$图象的对称中心的横坐标为$$x_{0} ( x_{0} > 0 )，$$且$${{f}{(}{x}{)}}$$有三个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$\left(-\infty，-\frac{3 \sqrt{2}} {2} \right)$$

B.$$(-\infty， \ 0 )$$

C.$$(-1， \ 0 )$$

D.$$\left(-\frac{3 \mathring{\sqrt{2}}} {2}，-1 \right)$$

4、['导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数求解方程解的个数']

正确率19.999999999999996%若$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$$有两个极值点$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$且$$f \left( \begin{matrix} {x_{1}} \\ \end{matrix} \right) \ =x_{1}$$，则关于$${{x}}$$的方程$$3 [ ~ ( f ~ \! ~ ( \mathrm{\ensuremath{x}} ) ~ ]^{2}+2 a f ~ \! ~ ( \underbrace{\textbf{x}} ) ~+b=0$$的不同实根个数为（）

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.不确定

5、['导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数求解方程解的个数']

正确率40.0%方程$$x^{2}=x \operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x$$的实数解个数是$${{(}{)}}$$．

A.$${{3}}$$

B.$${{0}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{1}}$$

6、['函数奇偶性的应用'， '导数与单调性'， '利用导数求解方程解的个数'， '根据函数零点个数求参数范围']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\frac{1} {6} x^{3}+\frac{1} {2} b x^{2}+c x$$的导函数$$f^{\prime} ( x )$$是偶函数，若方程$$f^{\prime} ( x )-\operatorname{l n} x=0$$在区间$$[ \frac{1} {e}， \mathrm{e} \brack$$(其中$${{e}}$$为自然对数的底$${{)}}$$上有两个不相等的实数根，则实数$${{c}}$$的取值范围是（）

A.$$\left[-1-\frac{1} {2 \mathrm{e}^{2}}，-\frac{1} {2} \right]$$

B.$$\left[-1-\frac{1} {2 \mathrm{e}^{2}}，-\frac{1} {2} \right)$$

C.$$\left[ 1-\frac{1} {2} \mathrm{e}^{2}，-\frac{1} {2} \right)$$

D.$$\left[ 1-\frac{1} {2} \mathrm{e}^{2}，-\frac{1} {2} \right]$$

7、['利用导数求解方程解的个数'， '根据函数零点个数求参数范围']

正确率40.0%已知函数$$u ( x )=( 2 e-1 ) x-m$$，$$v ( x )=\mathbf{1} n ( x+m )-\mathbf{1} n x$$，若存在$${{m}}$$，使得关于$${{x}}$$的方程$$2 a \cdot u ( x ) \cdot v ( x )=x$$有解，其中$${{e}}$$为自然对数的底数，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$(-\infty， 0 ) \cup\left( \frac{1} {2 e}，+\infty\right)$$

B.$$(-\infty， 0 )$$

C.$$\left( 0， \frac{1} {2 e} \right)$$

D.$$(-\infty， 0 ) \cup\left[ \frac{1} {2 e}，+\infty\right)$$

8、['导数与单调性'， '利用导数求解方程解的个数'， '根据函数零点个数求参数范围']

正确率19.999999999999996%不等式$$a x-2 a > 2 x-\operatorname{l n} \， x-4 ( a > 0 )$$解集中有且仅含有两个整数，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$( \operatorname{l n} \， 3， 2 )$$

B.$$[ 2-\operatorname{l n} \， 3， 2 )$$

C.$$( 0， 2-\operatorname{l n} \， 3 ]$$

D.$$( 0， 2-\operatorname{l n} \， 3 )$$

9、['利用导数求解方程解的个数']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=| x e^{x} |$$，又$$g ( x )=[ f ( x ) ]^{2}+t f ( x ) ( t \in R )$$，若关于$${{x}}$$的方程$$g ( x )=-1$$有四个不同的实根，则实数$${{t}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$(-\infty，-\frac{e^{2}+1} {e} )$$

B.$$( \frac{e^{2}+1} {e}，+\infty)$$

C.$$(-\frac{e^{2}+1} {e}，-2 )$$

D.$$( 2， \frac{e^{2}+2} {e} )$$

10、['利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '利用导数求解方程解的个数']

正确率19.999999999999996%已知函数$$f \left( x \right)=x^{3}-3 x$$，如果过点$$P \left( a， a \right)$$作函数$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$的切线有三条，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$(-2， 2 )$$

B.$$( 2，+\infty)$$

C.$$(-\infty，-2 )$$

D.$$(-\infty，-2 ] \bigcup[ 2，+\infty)$$

1. 解析：

首先求导得到 $$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2)$$，令导数为零解得 $$x = -1$$ 和 $$x = 2$$。函数在 $$x = -1$$ 处取得极大值 $$f(-1) = 7 + k$$，在 $$x = 2$$ 处取得极小值 $$f(2) = -20 + k$$。为了使方程有三个不等实根，需要极大值大于零且极小值小于零，即 $$7 + k > 0$$ 且 $$-20 + k < 0$$，解得 $$-7 < k < 20$$。整数 $$k$$ 的个数为 $$20 - (-7) - 1 = 26$$，故选 B。

2. 解析：

求导得 $$f'(x) = e^x (x + 2)$$，函数在 $$x = -2$$ 处取得极小值 $$f(-2) = -\frac{1}{e^2}$$。当 $$x \to -\infty$$ 时 $$f(x) \to 0^-$$，当 $$x \to +\infty$$ 时 $$f(x) \to +\infty$$。要使方程 $$f(x) = a$$ 有两个解，需 $$a = -\frac{1}{e^2}$$ 或 $$a > 0$$，故选 D。

3. 解析：

由对称中心条件 $$f''(x_0) = 0$$ 得 $$x_0 = -\frac{a}{3}$$（因 $$f''(x) = 6x + 2a$$）。函数有三个零点需满足 $$f(x_0) \neq 0$$ 且极大值大于零、极小值小于零。代入计算得 $$a < -\frac{3\sqrt{2}}{2}$$，故选 A。

4. 解析：

由题意 $$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$$ 有两个极值点 $$x_1, x_2$$ 且 $$f(x_1) = x_1$$。方程 $$3(f(x))^2 + 2a f(x) + b = 0$$ 的解为 $$f(x) = x_1$$ 或 $$f(x) = x_2$$。由于 $$f(x_1) = x_1$$，故 $$x_1$$ 是一个重根，而 $$f(x_2) \neq x_2$$ 时会有两个不同解，总共有 3 个不同实根，故选 B。

5. 解析：

方程 $$x^2 = x \sin x + \cos x$$ 可改写为 $$x^2 - x \sin x - \cos x = 0$$。分析函数 $$g(x) = x^2 - x \sin x - \cos x$$，求导得 $$g'(x) = 2x - \sin x - x \cos x + \sin x = x(2 - \cos x)$$。当 $$x > 0$$ 时 $$g'(x) > 0$$，当 $$x < 0$$ 时 $$g'(x) < 0$$，故 $$g(x)$$ 在 $$x = 0$$ 处取得最小值 $$g(0) = -1$$。又 $$g(\pi/2) = (\pi/2)^2 - \pi/2 > 0$$，且 $$g(-\pi/2) = (-\pi/2)^2 + \pi/2 > 0$$，故方程有两个实数解，故选 C。

6. 解析：

导函数 $$f'(x) = \frac{1}{2}x^2 + b x + c$$ 是偶函数，故 $$b = 0$$。方程 $$f'(x) - \ln x = 0$$ 即 $$\frac{1}{2}x^2 + c - \ln x = 0$$。设 $$h(x) = \frac{1}{2}x^2 + c - \ln x$$，求导得 $$h'(x) = x - \frac{1}{x}$$，在区间 $$[1/e, e]$$ 上极小值为 $$h(1) = \frac{1}{2} + c$$。要求方程有两个不等实根，需 $$h(1) < 0$$ 且 $$h(1/e) \geq 0$$ 且 $$h(e) \geq 0$$，解得 $$c \in \left[-1 - \frac{1}{2e^2}, -\frac{1}{2}\right)$$，故选 B。

7. 解析：

方程 $$2a u(x) v(x) = x$$ 可化为 $$2a (2e - 1) x \ln\left(1 + \frac{m}{x}\right) - 2a m \ln\left(1 + \frac{m}{x}\right) = x$$。当 $$m > 0$$ 时，令 $$t = \frac{m}{x}$$，方程化为 $$2a (2e - 1) \ln(1 + t) - 2a t \ln(1 + t) = t$$。分析可知 $$a$$ 必须满足 $$a \neq 0$$ 且 $$a \geq \frac{1}{2e}$$ 或 $$a < 0$$，故选 D。

8. 解析：

不等式 $$a x - 2a > 2x - \ln x - 4$$ 可化为 $$(a - 2)x > 2a - \ln x - 4$$。设 $$f(x) = (a - 2)x - 2a + \ln x + 4$$，求导得 $$f'(x) = a - 2 + \frac{1}{x}$$。为使解集中仅含两个整数，需 $$f(2) > 0$$ 且 $$f(3) \leq 0$$，解得 $$a \in (0, 2 - \ln 3]$$，故选 C。

9. 解析：

函数 $$g(x) = [f(x)]^2 + t f(x) + 1 = 0$$ 有四个不同实根，需 $$f(x)$$ 取两个不同的正值。设 $$y = f(x)$$，方程 $$y^2 + t y + 1 = 0$$ 需有两个正根，故判别式 $$t^2 - 4 > 0$$ 且 $$t < 0$$，且 $$f(x)$$ 的最大值 $$y_{\text{max}} > \frac{-t + \sqrt{t^2 - 4}}{2}$$。计算得 $$t \in (-\infty, -\frac{e^2 + 1}{e})$$，故选 A。

10. 解析：

设切线为 $$y = f'(c)(x - c) + f(c)$$，过点 $$P(a, a)$$ 代入得 $$a = (3c^2 - 3)(a - c) + c^3 - 3c$$，化简得 $$2c^3 - 3a c^2 + 3a + 3c = 0$$。设 $$h(c) = 2c^3 - 3a c^2 + 3a + 3c$$，需 $$h(c) = 0$$ 有三个不同实根。求导得 $$h'(c) = 6c^2 - 6a c + 3$$，判别式 $$36a^2 - 72 > 0$$ 即 $$|a| > \sqrt{2}$$。进一步分析得 $$a \in (-2, 2)$$，故选 A。

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