导数与最值-5.3 导数在研究函数中的应用知识点月考进阶自测题解析-江苏省等高二数学选择必修,平均正确率36.0%

1、['导数与最值'， '导数与极值'， '函数零点存在定理']

正确率40.0%若函数$$f ( x )=\operatorname{l n} x+( a-2 ) x+a$$有两个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$( 1， 2 )$$

B.$$( 0， 2 )$$

C.$$( 1，+\infty)$$

D.$$(-\infty， 2 )$$

2、['导数与单调性'， '导数与最值'， '导数与极值']

正确率40.0%设直线$${{x}{=}{t}}$$与函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=2 x^{2}， \ g \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=2 l n x$$的图象分别交于点$${{M}{，}{N}}$$，则$${{|}{M}{N}{|}}$$的最小值为（）

A.$${\frac{1} {2}}+{\frac{1} {2}} l n 2$$

B.$${\frac{1} {2}}+l n 2$$

C.$$1+l n 2$$

D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

3、['在给定区间上恒成立问题'， '导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性'， '导数中的函数构造问题']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=a x^{2}+2 x-e^{x}$$，若对$$\forall m， \， \， \， n \in( 0，+\infty)， \， \， \， m > n，$$都有$$\frac{f ( m )-f ( n )} {m-n} < 2$$成立，则$${{a}}$$的取值范围是

A.$$(-\infty， \frac{1} {2} ]$$

B.$$(-\infty， 1 ]$$

C.$$(-\infty， \frac{e} {2} ]$$

D.$$(-\infty， e ]$$

4、['导数与单调性'， '导数与最值'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象']

正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {x^{2}+2 x+1， x < 0} \\ {\frac{x} {e^{x}}+1， x \geqslant0} \\ \end{array} \right.$$，若函数$$y=f [ f ( x )-a ]-1$$有四个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$[ 2， 3+\frac{1} {e} ]$$

B.$$( 2， 3+\frac{1} {e} )$$

C.$$[ 3， 3+\frac{1} {e} ]$$

D.$$( 3， 3+\frac{1} {e} )$$

5、['函数的最大(小)值'， '导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性']

正确率40.0%若对于任意的正实数$${{x}{，}{y}}$$都有$$( \ 2 x-\frac{y} {e} ) ~ \cdot l n \frac{y} {x} \leq\frac{x} {m e}$$成立，则实数$${{m}}$$的取值范围为（）

A.$$( \; \frac{1} {e}， \; 1 )$$

B.$$( 0， ~ \frac{1} {e^{2}} ]$$

C.$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 1} )$$

D.$$( 0， ~ \frac{1} {e} ]$$

6、['函数奇偶性的应用'， '导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数解决函数零点问题']

正确率19.999999999999996%设函数$$g \left( x \right)=e^{x}+\left( 1-\sqrt{e} \right) x-a ( a \in R， e )$$为自然对数的底数$${{)}}$$，定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$满足$$f \left(-x \right)+f \left( x \right)=x^{2}$$，且当$${{x}{⩽}{0}}$$时，$$f^{\prime} \left( x \right) < x$$.若存在$$x_{0} \in\left\{x | f \left( x \right)+\frac1 2 \geqslant f \left( 1-x \right)+x \right\}$$，且$${{x}_{0}}$$为函数$$y=g \left( x \right)-x$$的一个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）

A.$$( \frac{\sqrt e} {2}，+\infty)$$

B.$$( \sqrt{e}，+\infty)$$

C.$$[ \sqrt{e}，+\infty)$$

D.$$\left( \frac{\sqrt{e}} {2}，+\infty\right)$$

7、['导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性'， '已知函数值（值域）求自变量或参数']

正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{aligned} {} & {{}-\left( x+1 \right) \cdot e^{x}， x \leqslant a，} \\ {} & {{} b x-1， x > a，} \\ \end{aligned} \right.$$若函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$有最大值$${{M}}$$，则$${{M}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$\left(-\frac1 2-\frac{1} {2 e^{2}}， 0 \right)$$

B.$$\left( 0， \frac{1} {e^{2}} \right]$$

C.$$\left( 0， \frac1 2+\frac1 {2 e^{2}} \right]$$

D.$$\left( \frac1 {2 e^{2}}-\frac1 2， \frac1 {e^{2}} \right]$$

8、['导数与最值'， '导数与极值']

正确率60.0%下列说法正确的是

A.函数在闭区间上一定有最值

B.极值点处的导数值为$${{0}}$$

C.导数值为零的点一定是极值点

D.极值反映函数某点附近的大小情况，刻画函数局部性质

9、['导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性'， '导数中的函数构造问题']

正确率40.0%函数$$1$$，若$$f \left( m \right)=g \left( n \right)$$成立，则$${{m}{−}{n}}$$的最小值是（）

A.$$\frac1 2+\operatorname{l n} 2$$

B.$${{e}{−}{2}}$$

C.$$\operatorname{l n} {2}-\frac{1} {2}$$

D.$$\sqrt{e}-\frac{1} {2}$$

10、['导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性'， '导数中不等式恒成立与存在性问题'， '导数中的函数构造问题']

正确率19.999999999999996%已知$$f \left( x \right)=\frac{a e^{x}} {x}， \， \， x \in\left[ 1， 2 \right]$$，且$$\forall x_{1}， x_{2} \in\left[ 1， 2 \right]， \ x_{1} \neq x_{2}， \ \frac{f \left( x_{1} \right)-f \left( x_{2} \right)} {x_{1}-x_{2}} < 1$$恒成立，则$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$[ \frac{2} {e}，+\infty)$$

B.$$(-\infty， \frac{9 e^{-2}} {2} ]$$

C.$$( e^{\frac{1} {3}}，+\infty)$$

D.$$(-\infty， \frac{4} {e^{2}} ]$$

1. 解析：函数 $$f(x) = \ln x + (a-2)x + a$$ 有两个零点，需满足以下条件：

- 求导得 $$f'(x) = \frac{1}{x} + (a-2)$$，令导数为零，得到极值点 $$x = \frac{1}{2-a}$$。 - 极值点需在定义域内，即 $$2 - a > 0 \Rightarrow a < 2$$。 - 极值点处的函数值需小于零，即 $$f\left(\frac{1}{2-a}\right) = \ln\left(\frac{1}{2-a}\right) + (a-2)\cdot\frac{1}{2-a} + a < 0$$。 - 化简得 $$\ln\left(\frac{1}{2-a}\right) - 1 + a < 0 \Rightarrow \ln(2-a) > a-1$$。 - 通过图像分析或数值逼近，解得 $$a \in (1, 2)$$。 - 正确答案为 A。

2. 解析：求 $$|MN| = |2t^2 - 2\ln t|$$ 的最小值。

- 设 $$h(t) = 2t^2 - 2\ln t$$，求导得 $$h'(t) = 4t - \frac{2}{t}$$。 - 令导数为零，解得 $$t = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。 - 代入得 $$h\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} - 2\ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 1 + \ln 2$$。 - 由于 $$h(t) \geq 0$$，最小值为 $$1 + \ln 2$$。 - 正确答案为 C。

3. 解析：条件等价于 $$f'(x) < 2$$ 对所有 $$x > 0$$ 成立。

- 求导得 $$f'(x) = 2a x + 2 - e^x$$。 - 需 $$2a x + 2 - e^x < 2 \Rightarrow 2a x < e^x$$。 - 当 $$x \to 0^+$$，不等式近似为 $$0 < 1$$，恒成立。 - 当 $$x > 0$$，需 $$a < \frac{e^x}{2x}$$ 的最小值。 - 设 $$g(x) = \frac{e^x}{2x}$$，求导得 $$g'(x) = \frac{e^x (x-1)}{2x^2}$$。 - 最小值在 $$x=1$$ 处取得，为 $$g(1) = \frac{e}{2}$$。 - 因此 $$a \leq \frac{e}{2}$$。 - 正确答案为 C。

4. 解析：函数 $$y = f[f(x)-a] - 1$$ 有四个零点，需分析复合函数的结构。

- 设 $$f(x) - a = t$$，则 $$f(t) = 1$$。 - 解 $$f(t) = 1$$： - 当 $$t < 0$$，$$t^2 + 2t + 1 = 1 \Rightarrow t = 0$$ 或 $$t = -2$$。 - 当 $$t \geq 0$$，$$\frac{t}{e^t} + 1 = 1 \Rightarrow t = 0$$。 - 因此 $$f(x) - a = -2$$ 或 $$f(x) - a = 0$$。 - 解 $$f(x) = a - 2$$ 和 $$f(x) = a$$： - 对于 $$f(x) = a - 2$$，需 $$a - 2 \in (1, 2]$$ 或 $$a - 2 = 0$$。 - 对于 $$f(x) = a$$，需 $$a \in (1, 2]$$ 或 $$a = 0$$。 - 综合得 $$a \in (2, 3 + \frac{1}{e})$$。 - 正确答案为 B。

5. 解析：不等式 $$(2x - \frac{y}{e}) \ln \frac{y}{x} \leq \frac{x}{m e}$$ 对所有正实数 $$x, y$$ 成立。

- 设 $$k = \frac{y}{x}$$，不等式化为 $$(2 - \frac{k}{e}) \ln k \leq \frac{1}{m e}$$。 - 设 $$h(k) = (2 - \frac{k}{e}) \ln k$$，求其最大值。 - 求导得 $$h'(k) = -\frac{\ln k}{e} + \frac{2 - \frac{k}{e}}{k}$$。 - 令导数为零，解得 $$k = e$$。 - 代入得 $$h(e) = (2 - 1) \cdot 1 = 1$$。 - 因此 $$\frac{1}{m e} \geq 1 \Rightarrow m \leq \frac{1}{e}$$。 - 正确答案为 D。

6. 解析：函数 $$g(x) = e^x + (1 - \sqrt{e})x - a$$，且 $$x_0$$ 满足 $$f(x_0) + \frac{1}{2} \geq f(1-x_0) + x_0$$。

- 由 $$f(-x) + f(x) = x^2$$，得 $$f(x) = \frac{x^2}{2} + C$$（奇函数部分为零）。 - 当 $$x \leq 0$$，$$f'(x) < x$$，故 $$f(x) = \frac{x^2}{2}$$。 - 不等式化为 $$\frac{x_0^2}{2} + \frac{1}{2} \geq \frac{(1-x_0)^2}{2} + x_0$$，解得 $$x_0 \geq \frac{1}{2}$$。 - $$x_0$$ 是 $$g(x) - x = e^x - \sqrt{e}x - a = 0$$ 的根。 - 设 $$h(x) = e^x - \sqrt{e}x$$，求导得 $$h'(x) = e^x - \sqrt{e}$$。 - 最小值在 $$x = \frac{1}{2}$$ 处取得，为 $$h\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{e} - \frac{\sqrt{e}}{2} = \frac{\sqrt{e}}{2}$$。 - 因此 $$a \geq \frac{\sqrt{e}}{2}$$。 - 正确答案为 D。

7. 解析：函数 $$f(x)$$ 的分段点为 $$x = a$$，需分析其最大值。

- 当 $$x \leq a$$，$$f(x) = -(x+1)e^x$$，求导得 $$f'(x) = -e^x (x+2)$$，极值在 $$x=-2$$ 处，值为 $$f(-2) = \frac{1}{e^2}$$。 - 当 $$x > a$$，$$f(x) = b x - 1$$，若 $$b > 0$$，函数无界；若 $$b \leq 0$$，函数递减。 - 为保证 $$f(x)$$ 有最大值，需 $$b = 0$$ 或 $$b < 0$$ 且 $$f(a) \leq \frac{1}{e^2}$$。 - 综合得 $$M \in \left(0, \frac{1}{e^2}\right]$$。 - 正确答案为 B。

8. 解析：关于极值和最值的说法。

- A 正确，闭区间上连续函数必有最值。 - B 错误，极值点处导数可能不存在。 - C 错误，导数为零的点不一定是极值点（如 $$x^3$$ 在 $$x=0$$ 处）。 - D 正确，极值是局部性质。 - 正确答案为 A, D（但题目为单选题，可能为 D）。

9. 解析：题目描述不完整，假设为求 $$m - n$$ 的最小值。

- 假设 $$f(m) = g(n)$$，如 $$f(x) = e^x$$，$$g(x) = \ln x$$。 - 则 $$e^m = \ln n \Rightarrow n = e^{e^m}$$。 - $$m - n = m - e^{e^m}$$，无最小值。 - 题目可能有误，无法确定答案。

10. 解析：条件等价于 $$f'(x) < 1$$ 对所有 $$x \in [1, 2]$$ 成立。

- 求导得 $$f'(x) = \frac{a e^x (x-1)}{x^2}$$。 - 需 $$\frac{a e^x (x-1)}{x^2} < 1$$ 对所有 $$x \in [1, 2]$$ 成立。 - 最大值在 $$x=2$$ 处，代入得 $$\frac{a e^2}{4} \leq 1 \Rightarrow a \leq \frac{4}{e^2}$$。 - 正确答案为 D。

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