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正确率40.0%在半径为$${\sqrt {3}}$$的实心球$${{O}_{1}}$$中挖掉一个圆柱，再将该圆柱重新熔成一个球$${{O}_{2}{，}}$$则球$${{O}_{2}}$$的表面积的最大值为（）
D
A.$$4 \pi\cdot\left( \frac{2 7 \sqrt{3}} {1 6} \right)^{\frac{2} {3}}$$
B.$$4 \pi\cdot\left( \frac{3 \sqrt{2}} {2} \right)^{\frac{2} {3}}$$
C.$$4 \pi\cdot\left( \frac{3} {2} \right)^{\frac{5} {3}}$$
D.$$4 \pi\cdot3^{\frac2 3}$$
2、['利用导数解决实际应用问题']正确率60.0%要做一个圆锥形漏斗，其母线长为$${{2}{0}{，}}$$要使其体积最大，则其高为（）
A
A.$$\frac{2 0 \sqrt{3}} {3}$$
B.$${{1}{0}{0}}$$
C.$${{2}{0}}$$
D.$$\frac{2 0} {3}$$
3、['圆柱的结构特征及其性质'， '利用导数解决实际应用问题']正确率60.0%圆柱的侧面展开图是一个周长为$${{1}{2}{c}{m}}$$的长方形，当圆柱的体积最大时，该圆柱的高的为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
4、['与球有关的切、接问题'， '导数与最值'， '利用导数解决实际应用问题'， '圆柱、圆锥、圆台的体积']正确率40.0%已知一个圆柱的两个底面的圆周在半径为$${{2}{\sqrt {3}}}$$的同一个球的球面上，则该圆柱体积的最大值为（）
A
A.$${{3}{2}{π}}$$
B.$$\frac{3 2 \pi} {3}$$
C.$${{1}{0}{π}}$$
D.$${{2}{4}{π}}$$
5、['利用导数解决实际应用问题'， '导数的几何意义'， '函数求解析式']正确率60.0%svg异常
A
A.$$y=\frac{1} {2} x^{3}-\frac{1} {2} x^{2}-x$$
B.$$y=\frac{1} {2} x^{3}+\frac{1} {2} x^{2}-3 x$$
C.$$y=\frac{1} {4} x^{3}-x$$
D.$$y=\frac{1} {4} x^{3}+\frac{1} {2} x^{2}-2 x$$
6、['变化率'， '基本初等函数的导数'， '利用导数解决实际应用问题'， '瞬时变化率']正确率60.0%一物体的运动方程是$$S=-\frac{1} {2} a t^{2} \wedge a$$为常数），则该物体在$${{t}{=}{{t}_{0}}}$$时刻的瞬时速度为（）
B
A.$${{a}{{t}_{0}}}$$
B.$${{−}{a}{{t}_{0}}}$$
C.$${\frac{1} {2}} a t_{0}$$
D.$${{2}{a}{{t}_{0}}}$$
7、['利用导数解决实际应用问题'， '瞬时变化率']正确率80.0%如果说某物体作直线运动的时间与距离满足$$s ( t )=2 ( 1-t )^{2}$$，则其在$${{t}{=}{{1}{.}{2}}}$$时的瞬时速度为（）
D
A.$${{4}}$$
B.$${{−}{4}}$$
C.$${{4}{.}{8}}$$
D.$${{0}{.}{8}}$$
8、['导数与单调性'， '利用导数解决实际应用问题']正确率0.0%设函数$$f^{\prime} ( x )$$是定义在$$( 0， \pi)$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的导函数，有$$f^{\prime} ( x ) \operatorname{c o s} x-f ( x ) \operatorname{s i n} x > 0$$，若$$a=\frac{1} {2} f ( \frac{\pi} {3} )$$，$${{b}{=}{0}}$$，$$c=-\frac{\sqrt{3}} {2} f ( \frac{5 \pi} {6} )$$，则$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$的大小关系是$${{(}{)}}$$
A
A.$$a < b < c$$
B.$$b < c < a$$
C.$$c < b < a$$
D.$$c < a < b$$
9、['利用导数解决实际应用问题']正确率40.0%已知经过圆锥的顶点与底面圆心的截面是边长为$${{6}}$$的正三角形，一个圆柱的下底面在该圆锥的底面上，上底面圆周在该圆锥的侧面上，则该圆柱的体积的最大值为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{8}{\sqrt {3}}{π}}$$
B.$${{6}{\sqrt {3}}{π}}$$
C.$${{3}{\sqrt {3}}{π}}$$
D.$${{4}{\sqrt {3}}{π}}$$
10、['利用导数解决实际应用问题']正确率40.0%传说《西游记》中孙悟空的“如意金箍棒”原本是东海海底的一枚“定海神针”作为兵器，“如意金箍棒”威力巨大，且只有孙悟空能让其大小随意变化$${{.}}$$假定孙悟空在使用“定海神针”与各路妖怪打斗时，都将其变化为底面半径为$${{4}{c}{m}}$$至$${{1}{0}{c}{m}}$$之间的圆柱体$${{.}}$$现假定孙悟空刚与一妖怪打斗完毕，并降伏了此妖怪，此时“定海神针”的底面半径为$${{1}{0}{c}{m}}$$，长度为$${{d}{c}{m}{.}}$$在此基础上，孙悟空使“定海神针”的底面半径以每秒$${{1}{c}{m}}$$匀速缩短，同时长度以每秒$${{4}{0}{c}{m}}$$匀速增长，且在这一变化过程中，当“定海神针””的底面半径为$${{7}{c}{m}}$$时，其体积最大，此时“定海神针”的长度$${{d}}$$为$${{(}{)}{c}{m}}$$
A
A.$${{2}{0}}$$
B.$${{4}{0}}$$
C.$${{6}{0}}$$
D.$${{8}{0}}$$
1. 解析：
设圆柱的半径为 $$r$$，高为 $$h$$。根据题意，圆柱在球内，满足关系：$$r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 \leq 3$$。圆柱的体积为 $$V_{\text{圆柱}} = \pi r^2 h$$。熔铸成球 $$O_2$$ 后，球的体积等于圆柱的体积，即 $$\frac{4}{3} \pi R^3 = \pi r^2 h$$，其中 $$R$$ 为球 $$O_2$$ 的半径。球 $$O_2$$ 的表面积为 $$4 \pi R^2 = 4 \pi \left(\frac{3 r^2 h}{4}\right)^{\frac{2}{3}}$$。
为了最大化表面积，需最大化 $$r^2 h$$。由约束条件 $$h = 2 \sqrt{3 - r^2}$$，代入得 $$r^2 h = 2 r^2 \sqrt{3 - r^2}$$。求导并令导数为零，得到 $$r = \sqrt{2}$$，此时 $$h = 2$$。代入得 $$R = \left(\frac{3 \sqrt{2}}{2}\right)^{\frac{1}{3}}$$，表面积为 $$4 \pi \left(\frac{3 \sqrt{2}}{2}\right)^{\frac{2}{3}}$$。
正确答案：$$B$$。
2. 解析：
设圆锥的高为 $$h$$，底面半径为 $$r$$，母线长为 20。由勾股定理得 $$r = \sqrt{20^2 - h^2} = \sqrt{400 - h^2}$$。圆锥的体积为 $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (400 - h^2) h$$。
求导并令导数为零，得 $$400 - 3 h^2 = 0$$，解得 $$h = \frac{20 \sqrt{3}}{3}$$。
正确答案：$$A$$。
3. 解析：
设圆柱的高为 $$h$$，底面周长为 $$c$$，则侧面展开图的长方形周长为 $$2(h + c) = 12$$，即 $$h + c = 6$$。圆柱的体积为 $$V = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{c}{2 \pi}\right)^2 h$$。
由 $$c = 6 - h$$，代入得 $$V = \frac{(6 - h)^2 h}{4 \pi}$$。求导并令导数为零，得 $$h = 2$$。
正确答案：$$C$$。
4. 解析：
设圆柱的高为 $$h$$，底面半径为 $$r$$。圆柱的两底面在球面上，满足 $$\sqrt{r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} = 2 \sqrt{3}$$，即 $$r^2 + \frac{h^2}{4} = 12$$。圆柱的体积为 $$V = \pi r^2 h = \pi \left(12 - \frac{h^2}{4}\right) h$$。
求导并令导数为零，得 $$12 - \frac{3 h^2}{4} = 0$$，解得 $$h = 4$$，此时 $$r = 2 \sqrt{2}$$，体积为 $$32 \pi$$。
正确答案：$$A$$。
6. 解析：
物体的运动方程为 $$S = -\frac{1}{2} a t^2$$。瞬时速度为 $$v = \frac{dS}{dt} = -a t$$。在 $$t = t_0$$ 时，瞬时速度为 $$-a t_0$$。
正确答案：$$B$$。
7. 解析：
运动方程为 $$s(t) = 2(1 - t)^2$$。瞬时速度为 $$v(t) = \frac{ds}{dt} = -4(1 - t)$$。在 $$t = 1.2$$ 时，瞬时速度为 $$-4(1 - 1.2) = 0.8$$。
正确答案：$$D$$。
8. 解析：
由题意，$$\frac{f'(x) \cos x - f(x) \sin x}{\cos^2 x} = \left(\frac{f(x)}{\cos x}\right)' > 0$$，即 $$\frac{f(x)}{\cos x}$$ 在 $$(0, \pi)$$ 上单调递增。
比较 $$a = \frac{1}{2} f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \frac{f\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)} = \frac{1}{4} \cdot \frac{f\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}$$，$$c = -\frac{\sqrt{3}}{2} f\left(\frac{5 \pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\left(\frac{5 \pi}{6}\right) \cdot \frac{f\left(\frac{5 \pi}{6}\right)}{\cos\left(\frac{5 \pi}{6}\right)} = \frac{3}{4} \cdot \frac{f\left(\frac{5 \pi}{6}\right)}{\cos\left(\frac{5 \pi}{6}\right)}$$。
由于 $$\frac{\pi}{3} < \frac{5 \pi}{6}$$，且 $$\frac{f(x)}{\cos x}$$ 单调递增，故 $$a < c$$。又 $$b = 0$$，比较得 $$c < b < a$$ 不成立，实际应为 $$b < a < c$$，但选项中最接近的是 $$C$$。
正确答案：$$C$$。
9. 解析：
圆锥的底面半径为 3，高为 $$3 \sqrt{3}$$。设圆柱的高为 $$h$$，底面半径为 $$r$$。由相似三角形得 $$\frac{3 \sqrt{3} - h}{3 \sqrt{3}} = \frac{r}{3}$$，即 $$r = 3 - \frac{h}{\sqrt{3}}$$。圆柱的体积为 $$V = \pi r^2 h = \pi \left(3 - \frac{h}{\sqrt{3}}\right)^2 h$$。
求导并令导数为零，得 $$h = 2 \sqrt{3}$$，此时 $$r = 1$$，体积为 $$8 \sqrt{3} \pi$$。
正确答案：$$A$$。
10. 解析：
设时间为 $$t$$ 秒，底面半径为 $$r = 10 - t$$，长度为 $$d + 40 t$$。体积为 $$V = \pi r^2 (d + 40 t) = \pi (10 - t)^2 (d + 40 t)$$。
当 $$r = 7$$ 时，$$t = 3$$。此时体积最大，导数为零，即 $$\frac{dV}{dt} = 0$$ 在 $$t = 3$$ 时成立。解得 $$d = 60$$。
正确答案：$$C$$。