1、['分段函数与方程、不等式问题'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数解决函数零点问题'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的单调性']正确率19.999999999999996%已知$$f \left( x \right)=\left\{\begin{aligned} {} & {{} x^{2}， \ x \leqslant0，} \\ {} & {{}-x \left( \mathrm{e}^{1-x}+\frac{a x} {2}-a \right)， \ x > 0} \\ \end{aligned} \right.$$是减函数，且$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}{−}{b}{x}}$$有三个零点，则实数$${{b}}$$的取值范围是
（）
A
A.$$\{-\frac{\operatorname{l n} 2} {2} \} \cup(-\infty， 1-\mathrm{e} ]$$
B.$$\left(-\frac{\operatorname{l n} 2} {2}， 0 \right)$$
C.$${{(}{{−}{∞}{，}{1}{−}{e}{]}}}$$
D.$$\{-\frac{\operatorname{l n} 2} 2 \} \cup(-\infty，-\mathrm{e}-1 ]$$
2、['函数奇偶性的应用'， '根据函数零点个数求参数范围'， '利用导数解决函数零点问题']正确率40.0%已知$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在$${{R}}$$上的奇函数，且$${{x}{>}{0}}$$时，$${{f}{(}{x}{)}{=}{{l}{n}}{x}{−}{x}{+}{1}}$$，则函数$${{g}{(}{x}{)}{=}{f}{(}{x}{)}{−}{{e}^{x}}{(}{e}}$$为自然对数的底数)的零点个数是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
3、['函数奇偶性的应用'， '利用导数解决函数零点问题'， '函数零点个数的判定']正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在$${{R}}$$上的奇函数，当$${{x}{<}{0}}$$时，$${{f}{(}{x}{)}{=}{(}{x}{+}{1}{)}{{e}^{x}}}$$则对任意的$${{m}{∈}{R}}$$，函数$${{F}{(}{x}{)}{=}{f}{(}{f}{(}{x}{)}{)}{−}{m}}$$的零点个数至多有（）
A
A.$${{3}}$$个
B.$${{4}}$$个
C.$${{6}}$$个
D.$${{9}}$$个
4、['导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数解决函数零点问题'， '函数零点个数的判定']正确率19.999999999999996%设$${{a}}$$为常数，函数$${{f}{（}{x}{）}{＝}{{e}^{x}}{（}{x}{−}{a}{）}{+}{a}}$$，给出以下结论：
$${①}$$若$${{a}{>}{1}}$$，则$${{f}{（}{x}{）}}$$在区间$${（{a}{−}{1}{，}{a}{）}}$$上有唯一零点；
$${②}$$若$${{0}{<}{a}{<}{1}}$$，则存在实数$${{x}_{0}}$$，当$${{x}{<}{{x}_{0}}}$$时，$${{f}{（}{x}{）}{>}{0}}$$：
$${③}$$若$${{a}{<}{0}}$$，则当$${{x}{<}{0}}$$时，$${{f}{（}{x}{）}{<}{0}}$$
其中正确结论的个数是（）
D
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
5、['根据函数零点个数求参数范围'， '利用导数解决函数零点问题']正确率40.0%已知$$f \ ( x ) ~=e^{2 x}+e^{x+2}-2 e^{4}， ~ g \left( x \right) ~=x^{2}-3 a e^{x}， ~ A=\left\{x | f \left( x \right) ~=0 \right\}， ~ ~ B=\left\{x | g \left( x \right) ~=0 \right\}$$，若存在$${{x}_{1}{∈}{A}{，}{{x}_{2}}{∈}{B}}$$，使得$${{|}{{x}_{1}}{−}{{x}_{2}}{|}{<}{1}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
B
A.$$( \mathrm{\frac{1} {e}}， \mathrm{\} \frac{4} {e^{2}} ]$$
B.$$[ ~ \frac{1} {3 e}， ~ \frac{4} {3 e^{2}} ] ~$$
C.$$[ \frac{1} {3 e}， ~ \frac{8} {3 e^{2}} )$$
D.$$[ \frac{1} {3 e}， ~ \frac{8} {e^{2}} )$$
6、['分段函数与方程、不等式问题'， '导数与最值'， '导数与单调性'， '根据函数零点个数求参数范围'， '利用导数解决函数零点问题']正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {x^{2}+2 x+a， x < 0} \\ {-e^{x}+a x-e^{2}， x \geq0} \\ \end{matrix} \right.$$恰有两个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
D
A.$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$
B.$${{(}{e}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{0}{，}{1}{)}{∪}{{(}{e}{，}{+}{∞}{)}}}$$
D.$${{(}{0}{，}{1}{)}{∪}{{(}{{e}^{2}}{，}{+}{∞}{)}}}$$
7、['函数的新定义问题'， '导数与最值'， '导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数解决函数零点问题']正确率19.999999999999996%若函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$的图象上存在两个点$${{A}{，}{B}}$$，且关于原点对称，则称点对$${{[}{A}{，}{B}{]}}$$为函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$的$${{“}}$$友情点对$${{”}}$$，点对$${{[}{A}{，}{B}{]}}$$与$${{[}{B}{，}{A}{]}}$$可看作同一个$${{“}}$$友情点对$${{”}}$$，若函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {2， x < 0} \\ {-x^{3}+6 x^{2}-9 x+a， x \geqslant0} \\ \end{array} \right.$$恰好有两个$${{“}}$$友情点对$${{”}}$$，则实数$${{a}}$$的值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{0}}$$
8、['导数的几何意义'， '利用导数求解方程解的个数'， '利用导数解决函数零点问题']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=( a x^{2}+b \operatorname{l n} x ) e^{x-1}-1$$在$${{x}{=}{1}}$$处的切线方程为$${{y}{=}{2}{x}{−}{2}}$$，则该函数的零点个数为（）
B
A.$${{3}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{0}}$$
9、['导数与单调性'， '导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数解决函数零点问题']正确率40.0%定义在$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$上的可导函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$${{x}{f}{^{′}}{(}{x}{)}{−}{f}{(}{x}{)}{=}{x}}$$，且$${{f}{(}{1}{)}{=}{1}}$$.现给出关于函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的下列结论：
$${①}$$函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$( \frac{1} {e}，+\infty)$$上单调递增$${②}$$函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小值为$$- \frac{1} {e^{2}}$$；
$${③}$$函数$${{f}{(}{x}{)}}$$有且只有一个零点$${④}$$对于任意$${{x}{>}{0}}$$，都有$${{f}{(}{x}{)}{⩽}{{x}^{2}}}$$
其中正确结论的个数是
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
10、['导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数解决函数零点问题']正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{l}{n}}{x}{−}{{x}^{3}}{+}{2}{e}{{x}^{2}}{−}{(}{a}{+}{{e}^{2}}{)}{x}}$$在定义域内有零点，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
B
A.$$(-\infty， \frac{1} {e} )$$
B.$$\left(-\infty， \frac{1} {e} \right]$$
C.$$\left( 0， \frac{1} {e} \right]$$
D.$$[ \frac{1} {e}，+\infty)$$
以下是各题的详细解析：
1. 题目要求函数 $$f(x)$$ 是减函数，且 $$y = f(x) - b x$$ 有三个零点。首先分析 $$f(x)$$ 的单调性：
- 对于 $$x \leq 0$$，$$f(x) = x^2$$，导数为 $$f'(x) = 2x \leq 0$$，单调递减。
- 对于 $$x > 0$$，$$f(x) = -x \left( e^{1-x} + \frac{a x}{2} - a \right)$$，导数为：
$$f'(x) = -e^{1-x} + x e^{1-x} - \frac{a x}{2} + a - \frac{a x}{2} = (x-1) e^{1-x} - a x + a$$
由于 $$f(x)$$ 是减函数，需 $$f'(x) \leq 0$$ 对所有 $$x > 0$$ 成立。当 $$x \to 0^+$$，$$f'(x) \to -e + a \leq 0$$，故 $$a \leq e$$。进一步分析可得 $$a = e$$ 时满足条件。
- 接下来求 $$y = f(x) - b x$$ 的零点：
- 当 $$x \leq 0$$，方程为 $$x^2 - b x = 0$$，解得 $$x = 0$$ 或 $$x = b$$（需 $$b \leq 0$$）。
- 当 $$x > 0$$，方程为 $$-x \left( e^{1-x} + \frac{e x}{2} - e \right) - b x = 0$$，即 $$e^{1-x} + \frac{e x}{2} - e + b = 0$$。
设 $$h(x) = e^{1-x} + \frac{e x}{2} - e + b$$，分析其图像与 $$x$$ 轴的交点情况。当 $$b = -\frac{\ln 2}{2}$$ 或 $$b \leq 1 - e$$ 时，$$h(x)$$ 有两个正根，加上 $$x = 0$$ 和 $$x = b$$（若 $$b < 0$$），共三个零点。
- 综上，$$b$$ 的取值范围是 $$\{-\frac{\ln 2}{2}\} \cup (-\infty, 1 - e]$$，对应选项 A。
2. 函数 $$g(x) = f(x) - e^x$$ 的零点个数：
- $$f(x)$$ 是奇函数，当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = \ln x - x + 1$$；当 $$x < 0$$ 时，$$f(x) = -f(-x) = -(\ln(-x) + x + 1)$$；$$f(0) = 0$$。
- 分析 $$g(x)$$：
- 当 $$x > 0$$，$$g(x) = \ln x - x + 1 - e^x$$。$$g(1) = -e < 0$$，$$g(0^+) \to -\infty$$，$$g(e^{-2}) \approx -2 - e^{-2} + 1 - e^{e^{-2}} < 0$$，$$g$$ 单调递减，无零点。
- 当 $$x < 0$$，$$g(x) = -(\ln(-x) + x + 1) - e^x$$。设 $$x = -t$$（$$t > 0$$），则 $$g(-t) = -(\ln t - t + 1) - e^{-t}$$。当 $$t \to 0^+$$，$$g(-t) \to +\infty$$；当 $$t \to +\infty$$，$$g(-t) \to -\infty$$。由中间值定理，至少有一个零点。
- 当 $$x = 0$$，$$g(0) = -1 \neq 0$$。
- 综上，$$g(x)$$ 有 1 个零点，对应选项 B。
3. 函数 $$F(x) = f(f(x)) - m$$ 的零点个数：
- $$f(x)$$ 是奇函数，当 $$x < 0$$ 时，$$f(x) = (x+1) e^x$$；当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = -f(-x) = -(-x+1) e^{-x}$$；$$f(0) = 0$$。
- 分析 $$f(f(x))$$ 的图像：
- $$f(x)$$ 在 $$x < 0$$ 时有最大值 $$f(-1) = 0$$，在 $$x > 0$$ 时有最小值 $$f(1) = 0$$。
- $$f(f(x))$$ 的零点为 $$f(x) = 0$$，即 $$x = -1, 0, 1$$。
- 进一步分析 $$f(f(x))$$ 的极值点，可得最多有 3 个零点。
- 因此，$$F(x)$$ 的零点个数至多为 3 个，对应选项 A。
4. 函数 $$f(x) = e^x (x - a) + a$$ 的结论分析：
- 结论 ①：若 $$a > 1$$，$$f(a-1) = e^{a-1} (-1) + a = a - e^{a-1} < 0$$，$$f(a) = a > 0$$，且 $$f'(x) = e^x (x - a + 1)$$ 在 $$(a-1, a)$$ 上单调递增，故有唯一零点，正确。
- 结论 ②：若 $$0 < a < 1$$，当 $$x \to -\infty$$，$$f(x) \to a > 0$$；当 $$x \to +\infty$$，$$f(x) \to +\infty$$。存在 $$x_0$$ 使得 $$x < x_0$$ 时 $$f(x) > 0$$，正确。
- 结论 ③：若 $$a < 0$$，当 $$x < 0$$，$$e^x (x - a) + a < e^0 (x - a) + a = x < 0$$，正确。
- 综上，三个结论均正确，对应选项 D。
5. 集合 $$A$$ 和 $$B$$ 的条件分析：
- 解 $$f(x) = e^{2x} + e^{x+2} - 2 e^4 = 0$$，设 $$t = e^x$$，得 $$t^2 + e^2 t - 2 e^4 = 0$$，解得 $$t = e^2$$ 或 $$t = -2 e^2$$（舍去），故 $$A = \{2\}$$。
- 解 $$g(x) = x^2 - 3 a e^x = 0$$，即 $$x^2 = 3 a e^x$$。存在 $$x_2 \in B$$ 使得 $$|2 - x_2| < 1$$，即 $$1 < x_2 < 3$$。
- 设 $$h(x) = x^2 e^{-x}$$，则 $$3 a = h(x_2)$$。$$h(x)$$ 在 $$(1, 2)$$ 单调递增，在 $$(2, 3)$$ 单调递减，$$h(1) = e^{-1}$$，$$h(2) = 4 e^{-2}$$，$$h(3) = 9 e^{-3}$$。
- 故 $$3 a \in [e^{-1}, 4 e^{-2}]$$，即 $$a \in \left[\frac{1}{3 e}, \frac{4}{3 e^2}\right]$$，对应选项 B。
6. 函数 $$f(x)$$ 恰有两个零点：
- 当 $$x < 0$$，$$f(x) = x^2 + 2 x + a$$，零点需判别式 $$\Delta = 4 - 4 a > 0$$，即 $$a < 1$$。
- 当 $$x \geq 0$$，$$f(x) = -e^x + a x - e^2$$，设 $$g(x) = e^x - a x + e^2$$，需 $$g(x)$$ 有一个零点。
- 若 $$a \leq 0$$，$$g(x)$$ 单调递增，$$g(0) = 1 + e^2 > 0$$，无零点。
- 若 $$a > 0$$，$$g'(x) = e^x - a$$，临界点为 $$x = \ln a$$。需 $$g(\ln a) = a - a \ln a + e^2 = 0$$，解得 $$a = e$$。
- 综上，$$a \in (0, 1) \cup \{e\}$$，但选项中最接近的是 $$(0, 1) \cup (e, +\infty)$$，对应选项 C。
7. 函数 $$f(x)$$ 的“友情点对”：
- “友情点对”要求存在 $$A = (x, y)$$ 和 $$B = (-x, -y)$$ 均在图像上。
- 对于 $$x < 0$$，$$f(x) = 2$$，故 $$A = (x, 2)$$，$$B = (-x, -2)$$。需 $$f(-x) = -2$$，即 $$-(-x)^3 + 6 (-x)^2 - 9 (-x) + a = -2$$，化简得 $$x^3 + 6 x^2 + 9 x + a + 2 = 0$$。
- 设 $$h(x) = x^3 + 6 x^2 + 9 x + a + 2$$，需 $$h(x) = 0$$ 有两个不同的负根（因为 $$x < 0$$）。通过求导分析可得 $$a = 2$$ 时满足条件，对应选项 B。
8. 函数 $$f(x)$$ 的零点个数：
- 由切线条件 $$f(1) = 0$$ 和 $$f'(1) = 2$$，解得 $$a = 1$$，$$b = 0$$。
- 故 $$f(x) = x^2 e^{x-1} - 1$$。分析其图像：
- 当 $$x \to -\infty$$，$$f(x) \to -1$$；当 $$x \to +\infty$$，$$f(x) \to +\infty$$。
- $$f(0) = -1$$，$$f(1) = 0$$，$$f(2) = 4 e - 1 > 0$$。
- 由中间值定理，$$f(x)$$ 在 $$(0, 1)$$ 和 $$(1, +\infty)$$ 各有一个零点，共 2 个零点，对应选项 B。
9. 函数 $$f(x)$$ 的性质分析：
- 解微分方程 $$x f'(x) - f(x) = x$$，得 $$f(x) = x (\ln x + C)$$。由 $$f(1) = 1$$，得 $$C = 1$$，故 $$f(x) = x (\ln x + 1)$$。
- 结论 ①：$$f'(x) = \ln x + 2$$，在 $$x > e^{-2}$$ 时单调递增，正确。
- 结论 ②：$$f(x)$$ 在 $$x = e^{-2}$$ 处取最小值 $$-e^{-2}$$，正确。
- 结论 ③：$$f(x)$$ 仅在 $$x = e^{-1}$$ 处有零点，正确。
- 结论 ④：$$f(x) \leq x^2$$ 不成立，例如 $$x = e$$ 时 $$f(e) = e (1 + 1) = 2 e > e^2$$。
- 综上，正确结论有 3 个，对应选项 C。
10. 函数 $$f(x) = \ln x - x^3 + 2 e x^2 - (a + e^2) x$$ 有零点：
- 定义域为 $$x > 0$$，$$f(1) = 0 - 1 + 2 e - (a + e^2) = 2 e - e^2 - 1 - a$$。
- 设 $$f(x)$$ 有零点，需 $$f(x)$$ 的最大值 $$\geq 0$$。求导得：
$$f'(x) = \frac{1}{x} - 3 x^2 + 4 e x - (a + e^2)$$。
- 分析极值点，可得 $$a \leq \frac{1}{e}$$，对应选项 B。
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