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正确率60.0%将一个边长为$${{a}}$$的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒.若该方盒的体积为$${{2}{，}}$$则$${{a}}$$的最小值为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
2、['利用导数解决实际应用问题']正确率60.0%某产品的销售收入$${{y}_{1}}$$(单位：万元)是产量$${{x}}$$(单位：千台)的函数，且函数解析式为$$y_{1}=1 7 x^{2} ( x > 0 )，$$生产成本$${{y}_{2}}$$(单位：万元)是产量$${{x}}$$的函数，且函数解析式为$$y_{2}=2 x^{3}-x^{2} ( x > 0 )，$$要使利润最大，则该产品应生产（）
A
A.$${{6}}$$千台
B.$${{7}}$$千台
C.$${{8}}$$千台
D.$${{9}}$$千台
3、['二项分布与n重伯努利试验'， '导数与极值'， '利用导数解决实际应用问题']正确率40.0%甲乙两人进行乒乓球友谊赛，每局甲胜出的概率是$$p ( 0 < p < 1 )，$$采用三局两胜制，甲获胜的概率是$${{q}{，}}$$则当$${{q}{−}{p}}$$取得极大值时$${，{p}}$$的值为（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}-\frac{\sqrt{3}} {6}$$
C.$$\frac{1} {2}+\frac{\sqrt{3}} {6}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
4、['利用导数解决实际应用问题']正确率40.0%已知等腰梯形的上底长为$${{7}{，}}$$腰长为$${{2}{，}}$$那么该等腰梯形的面积最大时，下底长为（）
B
A.$$\frac{1 5} {2}$$
B.$${{8}}$$
C.$$\frac{1 7} {2}$$
D.$${{9}}$$
5、['利用导数解决实际应用问题']正确率40.0%一艘船的燃料费$${{y}}$$(单位：元/时)与船速$${{x}}$$(单位：千米/时)的关系是$$y=\frac{1} {1 0 0} x^{3}+x$$. 若该船航行时其他费用为$${{5}{4}{0}}$$元/时，则在$${{1}{0}{0}}$$千米的航程中，要使得航行的总费用最少，船速应为（）
A
A.$${{3}{0}}$$千米/时
B.$${{3}{0}{^{3}\sqrt {2}}}$$千米/时
C.$${{3}{0}{^{3}\sqrt {4}}}$$千米/时
D.$${{6}{0}}$$千米/时
6、['利用导数解决实际应用问题'， '棱柱、棱锥、棱台的体积'， '棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积']正确率60.0%方底无盖水箱的容积为$${{2}{5}{6}{，}}$$则最省材料时，它的高为（）
A
A.$${{4}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{4}{.}{5}}$$
D.$${{8}}$$
7、['利用导数解决实际应用问题'， '瞬时变化率']正确率60.0%一辆汽车按规律$$s=3 t^{2}+1$$做直线运动，若汽车在$${{t}{=}{2}}$$时的瞬时速度为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{1}{2}}$$
B.$${{1}{6}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{4}}$$
8、['利用导数解决实际应用问题'， '瞬时变化率']正确率80.0%如果说某物体作直线运动的时间与距离满足$$s ( t )=2 ( 1-t )^{2}$$，则其在$${{t}{=}{{1}{.}{2}}}$$时的瞬时速度为（）
D
A.$${{4}}$$
B.$${{−}{4}}$$
C.$${{4}{.}{8}}$$
D.$${{0}{.}{8}}$$
9、['导数与单调性'， '导数与最值'， '导数与极值'， '利用导数解决实际应用问题']正确率40.0%已知横梁的强度和它的矩形横断面的长的平方与宽的乘积成正比，要将直径为$${{d}}$$的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的长和宽分别为（）
C
A.$$\sqrt{3} d， ~ \frac{\sqrt{3}} {3} d$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3} d， \ \frac{\sqrt{6}} {3} d$$
C.$${\frac{\sqrt{6}} {3}} d \mathbf{，} ~ ~ {\frac{\sqrt{3}} {3}} d$$
D.$$\sqrt{3} d， ~ \frac{\sqrt{6}} {3} d$$
10、['利用导数解决实际应用问题']正确率60.0%若商品的年利润$${{y}}$$(万元)与年产量$${{x}}$$(百万件)的函数关系式为$$y=-x^{3}+2 7 x+1 2 3 ( x > 0 )，$$则获得最大年利润时的年产量为（）
C
A.$${{1}}$$百万件
B.$${{2}}$$百万件
C.$${{3}}$$百万件
D.$${{4}}$$百万件
1. 设截去小正方形边长为$$x$$，则方盒底边长为$$a-2x$$，高为$$x$$，体积$$V=(a-2x)^2x=2$$
由不等式$$(a-2x)^2x \leq \left(\frac{(a-2x)+(a-2x)+4x}{3}\right)^3 = \left(\frac{2a}{3}\right)^3$$
当且仅当$$a-2x=4x$$即$$x=\frac{a}{6}$$时取等，代入得$$\left(\frac{2a}{3}\right)^3=2$$
解得$$a=3$$，故选C
2. 利润函数$$L=y_1-y_2=17x^2-(2x^3-x^2)= -2x^3+18x^2$$
求导$$L'=-6x^2+36x$$，令$$L'=0$$得$$x=0$$或$$x=6$$
当$$x>6$$时$$L'<0$$，故$$x=6$$时利润最大，选A
3. 甲获胜概率$$q=p^2+2p^2(1-p)=3p^2-2p^3$$
则$$q-p=3p^2-2p^3-p=-2p^3+3p^2-p$$
求导$$\frac{d}{dp}(q-p)=-6p^2+6p-1$$，令导数为0得$$6p^2-6p+1=0$$
解得$$p=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{12}=\frac{6\pm2\sqrt{3}}{12}=\frac{3\pm\sqrt{3}}{6}$$
因$$0
4. 设下底长为$$b$$，高为$$h$$，由勾股定理$$h=\sqrt{4-\left(\frac{b-7}{2}\right)^2}$$
面积$$S=\frac{1}{2}(7+b)h=\frac{1}{2}(7+b)\sqrt{4-\left(\frac{b-7}{2}\right)^2}$$
令$$t=\frac{b-7}{2}$$，则$$S=\frac{1}{2}(14+2t)\sqrt{4-t^2}=(7+t)\sqrt{4-t^2}$$
求导并令导数为0，得$$t=1$$时面积最大，此时$$b=7+2\times1=9$$，选D
5. 航行时间$$t=\frac{100}{x}$$小时
总费用$$C=\left(\frac{1}{100}x^3+x+540\right)\times\frac{100}{x}=x^2+100+\frac{54000}{x}$$
求导$$C'=2x-\frac{54000}{x^2}$$，令$$C'=0$$得$$2x^3=54000$$
$$x^3=27000$$，$$x=30$$，选A
6. 设底边长为$$x$$，高为$$h$$，则容积$$x^2h=256$$
表面积$$S=x^2+4xh=x^2+\frac{1024}{x}$$（因$$h=\frac{256}{x^2}$$）
求导$$S'=2x-\frac{1024}{x^2}$$，令$$S'=0$$得$$2x^3=1024$$
$$x^3=512$$，$$x=8$$，则$$h=\frac{256}{64}=4$$，选A
7. 瞬时速度$$v=\frac{ds}{dt}=6t$$
当$$t=2$$时，$$v=6\times2=12$$，选A
8. 瞬时速度$$v=s'(t)=4(1-t)\times(-1)=-4(1-t)$$
当$$t=1.2$$时，$$v=-4\times(1-1.2)=-4\times(-0.2)=0.8$$，选D
9. 设横断面长为$$l$$，宽为$$w$$，则$$l^2+w^2=d^2$$
强度$$P=kl^2w$$（$$k$$为比例常数）
由$$w=\sqrt{d^2-l^2}$$，得$$P=kl^2\sqrt{d^2-l^2}$$
令$$u=l^2$$，则$$P=k u\sqrt{d^2-\sqrt{u}^2}$$，求导得极值点$$l=\sqrt{\frac{2}{3}}d$$
则$$w=\sqrt{d^2-\frac{2}{3}d^2}=\frac{\sqrt{3}}{3}d$$，$$l=\frac{\sqrt{6}}{3}d$$，选C
10. 求导$$y'=-3x^2+27$$，令$$y'=0$$得$$x^2=9$$，$$x=3$$（$$x>0$$）
当$$x>3$$时$$y'<0$$，故$$x=3$$时利润最大，选C