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正确率40.0%若函数$$f ( x )=\frac{1} {2} x^{2}-2 x+a \mathrm{l n} x$$有唯一一个极值点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$${{a}{<}{0}}$$
B.$${{a}{<}{0}}$$或$${{a}{=}{1}}$$
C.$${{a}{⩽}{0}}$$
D.$${{a}{⩽}{0}}$$或$${{a}{=}{1}}$$
2、['导数与单调性'， '导数与极值']正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{x}{⋅}{{(}{x}{−}{a}{)}^{2}}}$$在$${{x}{=}{2}}$$处取得极小值，则$${{a}}$$的值为（）
A
A.$${{2}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{2}}$$或$${{6}}$$
D.$${{−}{2}}$$或$${{6}}$$
3、['平面上中点坐标公式'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '导数与最值'， '导数与极值']正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{l}{n}{x}{−}{x}{，}{f}{（}{x}{）}}$$的图象在点$${{P}}$$处的切线$${{l}_{1}}$$与$${{y}}$$轴交于点$${{A}}$$，过点$${{P}}$$与$${{y}}$$轴垂直的直线$${{l}_{2}}$$与$${{y}}$$轴交于点$${{B}}$$，则线段$${{A}{B}}$$中点$${{M}}$$的纵坐标的最大值是（）
D
A.$$\frac{1-e} {2}$$
B.$${{e}{−}{1}}$$
C.$${{2}{l}{n}{2}{−}{3}}$$
D.$$l n 2-\frac{3} {2}$$
4、['导数与最值'， '导数与单调性'， '导数与极值']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\frac{x^{2}-x+1} {e^{x}}+x^{2}-2 x， \， \， x \in[ 0， \， \， 2 ]$$，则下列说法中，正确的有（）
$${①}$$函数$${{f}{（}{x}{）}}$$在$${（{1}{，}{2}{]}}$$上单调递减；$${②}$$函数$${{f}{（}{x}{）}}$$无极值；
$${③}$$函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的最小值为$$\frac1 e-1$$
B
A.$${{0}}$$个
B.$${{1}}$$个
C.$${{2}}$$个
D.$${{3}}$$个
5、['数列的前n项和'， '对数式的大小的比较'， '导数与极值'， '数列与函数的综合问题'， '函数零点的值或范围问题']正确率19.999999999999996%已知对$${{∀}{n}{∈}{{N}^{∗}}{，}}$$关于$${{x}}$$的函数$${{f}_{n}{(}{x}{)}{=}{x}{+}{(}{1}{−}{{a}_{n}}{)}{{l}{n}}{x}{(}{n}{<}{x}{<}{n}{+}{1}{)}}$$都不单调，其中$${{a}_{n}{(}{n}{=}{1}{，}{2}{，}{3}{，}{⋯}{)}}$$为常数，定义$${{[}{x}{]}}$$为不超过$${{x}}$$的最大整数，如$${{[}{{0}{.}{7}}{]}{=}{0}{，}{{[}{π}{]}}{=}{3}{.}}$$设$${{b}_{n}{=}{{[}{{l}{g}}{{a}_{n}}{]}}}$$，记数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则$$S_{1 0 0}$$的值是（）
A
A.$${{9}{4}}$$
B.$${{9}{3}}$$
C.$${{9}{2}}$$
D.$${{9}{1}}$$
6、['二次函数模型的应用'， '导数与极值'， '单调性的定义与证明'， '不等式的性质']正确率40.0%若函数$$f \left( \begin{matrix} x \right)} & {=\frac{a x^{2}} {2}-( 1+2 a ) x+2 l n x ( a > 0 )} \\ \end{matrix}$$在区间$$( \frac{1} {2}， ~ 1 )$$内有极大值，则$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$$( \frac{1} {e}， ~+\infty)$$
B.$${（{1}{，}{+}{∞}{）}}$$
C.$${（{1}{，}{2}{）}}$$
D.$${（{2}{，}{+}{∞}{）}}$$
7、['函数奇偶性的应用'， '函数图象的平移变换'， '函数奇、偶性的图象特征'， '导数与极值'， '分段函数的单调性'， '函数零点的值或范围问题']正确率19.999999999999996%已知下列四个命题：
$${{p}}$$$${_{1}}$$：若$$f ( x )=2^{x}-2^{-x}$$，则$${{∀}{x}{∈}{R}{，}{f}{(}{−}{x}{)}{=}{−}{f}{(}{x}{)}{；}}$$
$${{p}}$$$${_{2}}$$：若函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {a x^{2}+1， x \geqslant0} \\ {( a+2 ) \mathrm{e}^{a x}， x < 0} \\ \end{matrix} \right.$$为$${{R}}$$上的单调函数，则实数 $${{a}}$$的取值范围是$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$；
$${{p}}$$$${_{3}}$$：若函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{x}{{l}{n}}{x}{−}{a}{{x}^{2}}}$$有两个极值点，则实数 $${{a}}$$的取值范围是$$( 0， \frac{1} {2} )$$；
$${{p}}$$$${_{4}}$$：已知函数 $${{f}}$$( $${{x}}$$)的定义域为$${{R}}$$， $${{f}}$$( $${{x}}$$)满足：$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {x^{2}+2， x \in[ 0， 1 )} \\ {2-x^{2}， x \in[-1， 0 )} \\ \end{aligned} \right.$$且$$f ( x+2 )=f ( x )， \， \， \， g ( x )=\frac{2 x+5} {x+2}$$，则方程$${{f}{(}{x}{)}{=}{g}{(}{x}{)}}$$在区间$${{[}{−}{5}{，}{1}{]}}$$上的所有实根之和为$${{−}{7}}$$．
其中真命题的个数是（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
8、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '导数与极值'， '导数的几何意义']正确率19.999999999999996%若曲线$${{C}_{1}{：}{y}{=}{a}{{x}^{2}}}$$与曲线$${{C}_{2}{：}{y}{=}{{e}^{x}}{(}}$$其中无理数$${{e}{=}{2}{.}{{7}{1}{8}}{…}{)}}$$存在公切线，则整数$${{a}}$$的最值情况为（）
C
A.最大值为$${{2}}$$，没有最小值
B.最小值为$${{2}}$$，没有最大值
C.既没有最大值也没有最小值
D.最小值为$${{1}}$$，最大值为$${{2}}$$
10、['导数与极值']正确率80.0%设函数$$f ( x )=\frac{a x^{3}} {3}-b x^{2}+a^{2} x-\frac{1} {3}$$在$${{x}{=}{1}}$$处取得极值为$${{0}}$$，则$${{a}{+}{b}{=}{(}{)}}$$
B
A.$${{2}}$$
B.$$- \frac{7} {9}$$
C.$${{2}}$$或$$- \frac{7} {9}$$
D.$${{1}}$$
1. 解析：函数$$f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-2x+a\ln x$$的定义域为$$x>0$$。求导得： $$f'(x)=x-2+\frac{a}{x}$$。令$$f'(x)=0$$，得$$x^{2}-2x+a=0$$。 要求函数有唯一极值点，需判别式$$\Delta=4-4a\leq 0$$或方程在$$x>0$$有重根。 - 若$$\Delta<0$$，即$$a>1$$，无解； - 若$$\Delta=0$$，即$$a=1$$，此时$$x=1$$为唯一极值点； - 若$$\Delta>0$$，需方程在$$x>0$$仅有一个解，即$$a\leq 0$$。 综上，$$a\leq 0$$或$$a=1$$，故选D。
3. 解析：函数$$f(x)=\ln x-x$$，设点$$P(x_0,\ln x_0-x_0)$$。 - 切线$$l_1$$的斜率$$f'(x_0)=\frac{1}{x_0}-1$$，方程为$$y-(\ln x_0-x_0)=\left(\frac{1}{x_0}-1\right)(x-x_0)$$。 令$$x=0$$，得$$A$$的纵坐标$$y_A=\ln x_0-x_0+\left(\frac{1}{x_0}-1\right)(-x_0)=\ln x_0-1$$。 - 直线$$l_2$$为$$x=x_0$$，与$$y$$轴交于$$B(0,\ln x_0-x_0)$$。 - 中点$$M$$的纵坐标$$\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{\ln x_0-1+\ln x_0-x_0}{2}=\ln x_0-\frac{x_0+1}{2}$$。 求最大值，对$$y=\ln x-\frac{x+1}{2}$$求导得$$y'=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}$$，令$$y'=0$$得$$x=2$$，此时$$y=\ln 2-\frac{3}{2}$$，选D。
5. 解析：函数$$f_n(x)=x+(1-a_n)\ln x$$在$$(n,n+1)$$不单调，需$$f_n'(x)=1+\frac{1-a_n}{x}$$在区间内有零点。 即$$1+\frac{1-a_n}{x}=0$$有解，得$$a_n=1+x$$，其中$$x\in(n,n+1)$$，故$$a_n\in(n+1,n+2)$$。 取$$a_n=n+1$$，则$$b_n=[\lg a_n]=[\lg(n+1)]$$。 - 当$$n+1=10^k$$时，$$\lg(n+1)=k$$，$$b_n=k$$； - 对于$$n\in[10^k,10^{k+1}-1]$$，$$b_n=k$$。 计算$$S_{100}$$： - $$k=0$$：$$n=1$$到$$9$$，共9项，$$b_n=0$$； - $$k=1$$：$$n=10$$到$$99$$，共90项，$$b_n=1$$； - $$k=2$$：$$n=100$$，1项，$$b_n=2$$。 故$$S_{100}=0×9+1×90+2×1=92$$，选C。
7. 解析： - $$p_1$$：$$f(-x)=2^{-x}-2^{x}=-f(x)$$，正确； - $$p_2$$：需$$a>0$$且$$a+2>0$$，且$$f(x)$$在$$x=0$$处连续，得$$a=1$$，故命题错误； - $$p_3$$：$$f'(x)=\ln x+1-2a x$$有两个零点，需$$a\in(0,\frac{1}{2})$$，正确； - $$p_4$$：$$f(x)$$为周期函数，$$g(x)=2+\frac{1}{x+2}$$，画图分析得方程$$f(x)=g(x)$$在$$[-5,1]$$上有三个根，和为$$-7$$，正确。 综上，$$p_1,p_3,p_4$$正确，选C。
10. 解析：函数$$f(x)=\frac{a x^{3}}{3}-b x^{2}+a^{2}x-\frac{1}{3}$$，在$$x=1$$处极值为0： - $$f(1)=\frac{a}{3}-b+a^{2}-\frac{1}{3}=0$$； - $$f'(1)=a-2b+a^{2}=0$$。 解得$$a=1,b=1$$或$$a=-\frac{1}{3},b=\frac{1}{9}$$。 验证极值点性质，$$f''(1)=2a-2b$$： - 若$$a=1,b=1$$，$$f''(1)=0$$，需更高阶导数； - 若$$a=-\frac{1}{3},b=\frac{1}{9}$$，$$f''(1)=-\frac{8}{9}<0$$，为极大值。 但题目要求极值为0，两种情况均可能，但选项仅$$a=1,b=1$$符合$$a+b=2$$，选A。
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