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正确率40.0%定义：$$\left| \begin{matrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \\ \end{matrix} \right|=a d-b c$$，如$$\left| \begin{matrix} {1} & {2} \\ {3} & {4} \\ \end{matrix} \right|=1 \times4-2 \times3=-2.$$当$${{x}{∈}{R}}$$时，$$\left| \begin{matrix} {e^{x}} & {3} \\ {1} & {2} \\ \end{matrix} \right| \geq k$$恒成立，则实数$${{k}}$$的取值范围是（）
A
A.$$( \ -\infty， \ \ -3 ]$$
B.$$( \mathrm{~}-\infty， \mathrm{~}-3 )$$
C.$$( \ -3， \ \ +\infty)$$
D.$$[-3， ~+\infty)$$
2、['在给定区间上恒成立问题'， '导数与最值'， '函数图象的识别'， '利用导数讨论函数单调性'， '导数中不等式恒成立与存在性问题']正确率19.999999999999996%若存在唯一的正整数$${{x}_{0}}$$，使得不等式$$\frac{2 x} {e^{x}}-a x-a > 0$$恒成立，则实数$$M ( a )-m ( a )$$的取值范围是（）
D
A.$$( 0， \frac{4} {3 e^{2}} )$$
B.$$( \frac{4} {3 e^{2}}， \frac{1} {e} )$$
C.$$( 0， \frac{1} {e} )$$
D.$$[ \frac{4} {3 e^{2}}， \frac{1} {e} )$$
3、['一元二次方程根与系数的关系'， '导数与最值'， '导数中的函数构造问题']正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=x-\frac{1} {x}+a \operatorname{l n} x$$，若存在$${{m}{，}{n}}$$，使得$$f^{\prime} ( m )=f^{\prime} ( n )=0$$，且$$m \in\left( 0， \frac{1} {\mathrm{e}} \right]$$，则$$f ( m )-f ( n )$$的最小值为（）
A
A.$$\frac{4} {e}$$
B.$$\frac{2} {e}$$
C.$$\frac{4} {\mathrm{e}^{2}}$$
D.$$\frac2 {\mathrm{e}^{2}}$$
4、['函数的最大(小)值'， '导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性']正确率40.0%若对于任意的正实数$${{x}{，}{y}}$$都有$$( \ 2 x-\frac{y} {e} ) ~ \cdot l n \frac{y} {x} \leq\frac{x} {m e}$$成立，则实数$${{m}}$$的取值范围为（）
D
A.$$( \; \frac{1} {e}， \; 1 )$$
B.$$( 0， ~ \frac{1} {e^{2}} ]$$
C.$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 1} )$$
D.$$( 0， ~ \frac{1} {e} ]$$
5、['导数与单调性'， '导数与最值'， '导数与极值'， '利用导数解决函数零点问题'， '函数零点存在定理']正确率40.0%已知函数$$y=-x^{3}+3 x-a$$在$$[ 0， \ 2 ]$$上有两个零点，则常数$${{a}}$$的取值范围为（）
A
A.$$0 \leqslant a < 2$$
B.$$- 2 \leqslant a \leqslant2$$
C.$$- 2 < a < 2$$
D.$$0 \leqslant a \leqslant2$$
6、['导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性'， '导数中不等式恒成立与存在性问题']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\frac{e^{x}} {x}， g ( x )=a-| x-1 |， \ \exists x_{1}， \ x_{2} \in R$$，使得$$f ( x_{1} ) \leqslant g ( x_{2} )$$成立，则实数$${{a}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
A
A.$$[ e，+\infty)$$
B.$$(-\infty， e ]$$
C.$$( e，+\infty)$$
D.$$(-\infty， e )$$
7、['导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=2 a x^{3}-3 a x^{2}+1， \ g ( x )=-\frac{a} {4} x+\frac{3} {2}$$，若任意给定的$$x_{0} \in[ 0， 2 ]$$，总存在两个不同的$$x_{i} ( i=1， 2 ) \in[ 0， \; 2 ]$$，使得$$f ( x_{i} )=g ( x_{0} )$$成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A
A.$$(-\infty，-1 )$$
B.$$( 1，+\infty)$$
C.$$(-\infty，-1 ) \cup( 1，+\infty)$$
D.$$[-1， 1 ]$$
8、['导数与最值']正确率60.0%函数$$f ( x )=\frac{1} {3} x^{3}-\frac{1} {2} x^{2}-2 x+1$$在$$[-2， ~ 2 ]$$上的最小值是（）
A
A.$$- \frac{7} {3}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{1 3} {6}$$
D.$${{1}}$$
9、['导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性'， '导数中不等式恒成立与存在性问题']正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=a l n x+x-1 \left( \begin{matrix} {a \in R} \\ \end{matrix} \right)$$．若$$f \ ( \textbf{x} ) \ \geq0$$对于任意$$x \in[ 1， ~+\infty)$$恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
B
A.$$( \ -\infty， \ \ -1 ]$$
B.$$[-1， ~+\infty)$$
C.$$(-\infty， \ 1 ]$$
D.$$[ 1， ~+\infty)$$
10、['导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性'， '导数中不等式恒成立与存在性问题']正确率19.999999999999996%设函数$$f \ ( \textbf{x} ) \ =e^{x+1}-m a， \ g \ ( \textbf{x} ) \ =a e^{x}-x \ ( \textbf{m}， \textbf{a} )$$为实数），若存在实数$${{a}}$$，使得$$f \ ( \ x ) \ \leq g \ ( \ x )$$对任意$${{x}{∈}{R}}$$恒成立，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
C
A.$$[-\frac{1} {2 e}， ~+\infty)$$
B.$$[-\frac{1} {2 e}， ~ 0 )$$
C.$$[-\frac{1} {e}， ~+\infty)$$
D.$$[-\frac{1} {e}， ~ 0 )$$
以下是各题的详细解析： --- ### 第1题解析根据行列式定义，$$\left| \begin{matrix} {e^{x}} & {3} \\ {1} & {2} \\ \end{matrix} \right| = 2e^{x} - 3$$。不等式变为 $$2e^{x} - 3 \geq k$$ 对所有 $$x \in \mathbb{R}$$ 恒成立。
求 $$2e^{x} - 3$$ 的最小值：由于 $$e^{x} > 0$$，当 $$x \to -\infty$$ 时，$$e^{x} \to 0$$，$$2e^{x} - 3 \to -3$$。因此，$$k \leq -3$$，即 $$k \in (-\infty, -3]$$。答案为 A。
--- ### 第2题解析设函数 $$f(x) = \frac{2x}{e^{x}} - a x - a$$。要求存在唯一的正整数 $$x_0$$ 使得 $$f(x_0) > 0$$ 且其他正整数不满足。
分析 $$f(x)$$ 的极值点：求导得 $$f'(x) = \frac{2(1 - x)}{e^{x}} - a$$。当 $$x = 1$$ 时，$$f(1) = \frac{2}{e} - 2a$$；当 $$x = 2$$ 时，$$f(2) = \frac{4}{e^{2}} - 3a$$。
唯一正整数解为 $$x_0 = 1$$ 时，需满足 $$f(1) > 0$$ 且 $$f(2) \leq 0$$，解得 $$a \in \left( \frac{1}{e}, \frac{4}{3e^{2}} \right]$$。$$M(a) - m(a)$$ 的范围为 $$\left( 0, \frac{4}{3e^{2}} \right)$$。答案为 A。
--- ### 第3题解析函数 $$f(x) = x - \frac{1}{x} + a \ln x$$，导数为 $$f'(x) = 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{a}{x}$$。设 $$f'(m) = f'(n) = 0$$，且 $$m \in \left( 0, \frac{1}{e} \right]$$。
通过导数分析，$$f(m) - f(n)$$ 的最小值为 $$\frac{4}{e^{2}}$$。答案为 C。
--- ### 第4题解析不等式 $$(2x - \frac{y}{e}) \ln \frac{y}{x} \leq \frac{x}{m e}$$ 对所有正实数 $$x, y$$ 成立。
设 $$t = \frac{y}{x}$$，不等式化为 $$(2 - \frac{t}{e}) \ln t \leq \frac{1}{m e}$$。求 $$(2 - \frac{t}{e}) \ln t$$ 的最大值，得 $$m \in (0, \frac{1}{e}]$$。答案为 D。
--- ### 第5题解析函数 $$y = -x^{3} + 3x - a$$ 在 $$[0, 2]$$ 上有两个零点。求导得 $$y' = -3x^{2} + 3$$，极值点为 $$x = 1$$。
需满足 $$y(0) \cdot y(1) < 0$$ 且 $$y(1) \cdot y(2) < 0$$，解得 $$a \in [0, 2)$$。答案为 A。
--- ### 第6题解析函数 $$f(x) = \frac{e^{x}}{x}$$ 的最小值为 $$e$$（当 $$x = 1$$ 时取得），$$g(x) = a - |x - 1|$$ 的最大值为 $$a$$。
要使 $$\exists x_{1}, x_{2}$$ 满足 $$f(x_{1}) \leq g(x_{2})$$，需 $$e \leq a$$。答案为 A。
--- ### 第7题解析函数 $$f(x) = 2a x^{3} - 3a x^{2} + 1$$ 和 $$g(x) = -\frac{a}{4}x + \frac{3}{2}$$。对任意 $$x_{0} \in [0, 2]$$，存在两个不同的 $$x_{i}$$ 使得 $$f(x_{i}) = g(x_{0})$$。
分析 $$f(x)$$ 的极值点，需 $$a \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$$。答案为 C。
--- ### 第8题解析函数 $$f(x) = \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2} - 2x + 1$$ 在 $$[-2, 2]$$ 上的最小值。
求导得 $$f'(x) = x^{2} - x - 2$$，极值点为 $$x = -1$$ 和 $$x = 2$$。计算 $$f(-2) = \frac{1}{3}$$，$$f(-1) = \frac{13}{6}$$，$$f(2) = -\frac{7}{3}$$。最小值为 $$-\frac{7}{3}$$。答案为 A。
--- ### 第9题解析函数 $$f(x) = a \ln x + x - 1$$ 在 $$x \in [1, +\infty)$$ 上恒有 $$f(x) \geq 0$$。
当 $$a \geq 0$$ 时，$$f(x)$$ 单调递增，最小值为 $$f(1) = 0$$；当 $$a < 0$$ 时，需 $$f(e^{-1/a}) \geq 0$$，解得 $$a \geq -1$$。综上，$$a \in [-1, +\infty)$$。答案为 B。
--- ### 第10题解析不等式 $$e^{x+1} - m a \leq a e^{x} - x$$ 对所有 $$x \in \mathbb{R}$$ 成立。
整理得 $$e^{x}(e - a) + x - m a \leq 0$$。若 $$a = e$$，则 $$x - m e \leq 0$$ 不恒成立；若 $$a \neq e$$，需 $$a = 0$$ 且 $$m \geq -\frac{1}{2e}$$。答案为 A。
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