利用导数求参数的取值范围-5.3 导数在研究函数中的应用知识点考前进阶单选题自测题解析-河北省等高二数学选择必修,平均正确率40.0%

1、['导数与最值'， '利用导数求参数的取值范围']

正确率19.999999999999996%若函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} \operatorname{l n} ( x+1 )-a x-2， \ x > 0，} \\ {} & {{} x+\frac{1} {x}+a， \ x < 0} \\ \end{aligned} \right.$$的最大值为$${{a}{−}{2}{，}}$$则实数$${{a}}$$的取值范围为（）

A.$$(-\infty， \ \mathrm{e} ]$$

B.$$\left( 0， \enspace\frac{1} {\mathrm{e}} \right]$$

C.$${\left[ {\frac{1} {\mathrm{e}}}， \right.+\infty} )$$

D.$$[ \mathrm{e}， \ \ +\infty)$$

2、['利用导数求参数的取值范围'， '利用导数解决函数零点问题'， '导数中的极值点偏移（双变量问题）'， '函数零点的值或范围问题']

正确率40.0%函数$$f ( x )=\operatorname{l n} x-a x+1$$有两个零点$${{x}_{1}}$$，$$x_{2} \left( x_{1} < x_{2} \right)$$，下列说法错误的是（）

A.$$0 < a < 1$$

B.$$x_{1} x_{2} > \frac{1} {a}$$

C.$$x_{2}-x_{1} > \frac{1} {a}-1$$

D.$$x_{1}+x_{2} < \frac2 a$$

3、['在给定区间上恒成立问题'， '利用导数求参数的取值范围'， '导数中不等式恒成立与存在性问题'， '导数中的函数构造问题']

正确率19.999999999999996%设实数$${{a}{>}{0}{，}}$$若对任意的$$x \in[ e，+\infty)，$$不等式$$a \mathrm{e}^{\frac{a} {x}}-x^{2} \operatorname{l n} x \leqslant0$$恒成立，则$${{a}}$$的最大值为（）

A.$$\frac{1} {e}$$

B.$$\frac{2} {e}$$

C.$$\frac{\mathrm{e}} {2}$$

D.$${{e}}$$

4、['导数与极值'， '利用导数求参数的取值范围']

正确率40.0%函数$$f ( x )=\operatorname{l n} x-\frac{1} {2} a x^{2}-b x$$，若$${{x}{=}{1}}$$是函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的极大值点，则实数$${{a}}$$的取值范围（）

A.$$(-1， 0 )$$

B.$$(-1，+\infty)$$

C.$$( 0，+\infty)$$

D.$$( 1，+\infty)$$

5、['在给定区间上恒成立问题'， '导数与单调性'， '利用导数求参数的取值范围']

正确率40.0%若函数$$f ( x )=a x-\operatorname{l n} \! x$$在$$[ 1， \ 2 ]$$上单调递增，则$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$(-\infty， ~ 1 ]$$

B.$$[ 1， ~+\infty)$$

C.$$[ \frac{1} {2}，+\infty)$$

D.$$(-\infty， ~ \frac{1} {2} \biggr]$$

7、['利用导数求参数的取值范围'， '函数中的恒成立问题']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=x \operatorname{l n} ~ x$$，若对任意的$${{x}{⩾}{1}}$$都有$$f ( x ) \geqslant a x-1$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$(-\infty， 1 ]$$

B.$$(-\infty， 1 )$$

C.$$[ 1，+\infty)$$

D.不能确定

8、['导数与极值'， '利用导数求参数的取值范围']

正确率40.0%已知函数$$y=a e^{x}+3 x， \， \， \， x \in R$$有大于零的极值点，则实数$${{a}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$(-3， 0 )$$

B.$$(-\infty，-3 )$$

C.$$(-3，+\infty)$$

D.$$(-\infty， 0 )$$

9、['导数与最值'， '利用导数求参数的取值范围']

正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=e^{x}， g ( x )=\sqrt{2 x}$$，若$$f ( m )=g ( n )$$成立，则$${{n}{—}{m}}$$的最小值为（）

A.$${{2}{−}{{l}{n}}{2}}$$

B.$${{2}{+}{{l}{n}}{2}}$$

C.$$\frac{1} {2}$$

D.$${{1}}$$

10、['导数与最值'， '利用导数求参数的取值范围'， '导数中不等式恒成立与存在性问题']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=x \mathrm{e}^{x}+\frac{1} {2} x^{2}+x+a，$$$$g ( x )=x \mathrm{l n} \， x+1$$，若存在$$x_{1} \in[-2， ~ 2 ]$$，对任意$$x_{2} \in[ \frac{1} {\mathrm{e}^{2}}， \ \mathrm{e} ]$$，都有$$f ~ ( \boldsymbol{x}_{1} ) ~=g ~ ( \boldsymbol{x}_{2} )$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$[-3-\frac{1} {\mathrm{e}}-2 \mathrm{e}^{2}， \mathrm{~ e}-3-2 \mathrm{e}^{2} ]$$

B.$$(-3-\frac{1} {\mathrm{e}}-2 \mathrm{e}^{2}， ~ \mathrm{e}-3-2 \mathrm{e}^{2} )$$

C.$$[ \mathrm{e}-3-2 \mathrm{e}^{2}， \ \frac{3} {2} ]$$

D.$$( \mathrm{e}-3-2 \mathrm{e}^{2}， \ \frac{3} {2} )$$

以下是各题的详细解析：

1. 函数$$f(x)$$在$$x>0$$时为$$\ln(x+1)-a x-2$$，在$$x<0$$时为$$x+\frac{1}{x}+a$$。题目要求$$f(x)$$的最大值为$$a-2$$。 - 对于$$x>0$$，求导得$$f'(x)=\frac{1}{x+1}-a$$，令$$f'(x)=0$$得$$x=\frac{1}{a}-1$$。要求极值点存在且$$f\left(\frac{1}{a}-1\right) \leq a-2$$，解得$$a \geq \frac{1}{e}$$。 - 对于$$x<0$$，$$f(x)$$在$$x=-1$$处取得极大值$$f(-1)=a-2$$，符合题意。综上，$$a \geq \frac{1}{e}$$，选C。

2. 函数$$f(x)=\ln x -a x +1$$有两个零点$$x_1, x_2$$。 - 求导得$$f'(x)=\frac{1}{x}-a$$，极值点为$$x=\frac{1}{a}$$，要求$$f\left(\frac{1}{a}\right)>0$$，即$$0 < a < 1$$（A正确）。 - 由$$x_1 x_2 > \frac{1}{a}$$（B正确）和$$x_1 + x_2 < \frac{2}{a}$$（D正确），但$$x_2 - x_1 > \frac{1}{a}-1$$（C错误）。选C。

3. 不等式$$a e^{\frac{a}{x}} - x^2 \ln x \leq 0$$在$$x \in [e, +\infty)$$恒成立。 - 令$$x=e$$得$$a e^{\frac{a}{e}} - e^2 \leq 0$$，解得$$a \leq \frac{e}{2}$$。 - 验证$$a=\frac{e}{2}$$时成立，因此$$a$$的最大值为$$\frac{e}{2}$$，选C。

4. 函数$$f(x)=\ln x - \frac{1}{2} a x^2 - b x$$在$$x=1$$处取得极大值。 - 由$$f'(1)=0$$得$$b=1-a$$。 - 二阶导数$$f''(1)=-a-1 < 0$$，解得$$a > -1$$。选B。

5. 函数$$f(x)=a x - \ln x$$在$$[1, 2]$$上单调递增。 - 求导得$$f'(x)=a - \frac{1}{x} \geq 0$$，即$$a \geq \frac{1}{x}$$对$$x \in [1, 2]$$恒成立。 - 因此$$a \geq 1$$，选B。

7. 不等式$$x \ln x \geq a x -1$$对$$x \geq 1$$恒成立。 - 整理得$$a \leq \ln x + \frac{1}{x}$$，求$$g(x)=\ln x + \frac{1}{x}$$的最小值，得$$a \leq 1$$。选A。

8. 函数$$y=a e^x + 3x$$有大于零的极值点。 - 求导得$$y'=a e^x + 3$$，令$$y'=0$$得$$x=\ln\left(-\frac{3}{a}\right) > 0$$，解得$$a < -3$$。选B。

9. 由$$e^m = \sqrt{2n}$$得$$n=\frac{1}{2} e^{2m}$$，求$$n-m=\frac{1}{2} e^{2m} - m$$的最小值。 - 求导得极小值点为$$m=-\frac{\ln 2}{2}$$，代入得最小值为$$1$$。选D。

10. 要求$$f(x_1)$$等于$$g(x_2)$$的最小值或最大值。 - $$g(x_2)$$在$$x_2=1$$处取得最小值$$1$$，在$$x_2=e$$处取得最大值$$e+1$$。 - $$f(x_1)$$在$$x_1 \in [-2, 2]$$的值域为$$\left[-3-\frac{1}{e}-2e^2, e-3-2e^2\right]$$，因此$$a$$的范围为$$\left[-3-\frac{1}{e}-2e^2, e-3-2e^2\right]$$。选A。

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