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正确率40.0%已知定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的导函数为$$f^{\prime} \textsubscript{\textit{( x )}}， \emph{\textit{f}}$$$${\bf\alpha_{( 1 )}} ~=2$$，且对任意$$x \in R， \， \， 2 f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \， \，+f^{\prime} \， \， ( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} ) \， \， > 2$$恒成立，若$$f \left( \mathit{l n} a \right) ~ > 1+\mathit{(} \frac{e} {a} )^{2}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$$( \textit{e}， \textit{}+\infty)$$
B.$$( \ e^{2}， \ \ +\infty)$$
C.$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\boldmath~ e ~} )$$
D.$$( \; 0， \; \; e^{2} \， )$$
2、['利用导数讨论函数单调性'， '等比数列前n项和的应用'， '函数零点个数的判定']正确率40.0%设$$f_{n} \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \ =1+x+x^{2}+\ldots+x^{n} \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} > 0 \right)$$，其中$$n \in{\bf N}， ~ n \geqslant2$$，则函数$$G_{n} ~ ( \textbf{x} ) ~=f_{n} ~ ( \textbf{x} ) ~-2$$在$$( \frac{1} {2^{n}}， \ 1 )$$内的零点个数是（）
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.与$${{n}}$$有关
3、['导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数求解方程解的个数'， '命题的真假性判断'， '函数中的恒成立问题']正确率19.999999999999996%已知函数$$f \left( x \right) \!=\! x^{3} \!-\! 2 x^{2} \!-\! 4 x \!-\! 7$$，其导函数为$$f^{'} \left( x \right)$$，则以下$${{4}}$$个命题：
$${①{f}{{(}{x}{)}}}$$的单调减区间是$$\left(-\frac2 3， 2 \right)， \textrm{} \oplus f \left( x \right)$$的极小值是$$- 1 5 ; \， \odot\， f ( x )$$有且只有一个零点；$${④}$$当$${{a}{>}{2}}$$时，对任意的$$x \! > \! 2 x \! \neq\! a$$，恒有$$f \left( x \right) > f \left( a \right)+f^{'} \left( a \right) \left( x-a \right)$$．
其中真命题的个数为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
4、['函数奇、偶性的证明'， '导数与最值'， '函数奇、偶性的定义'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用函数单调性比较大小']正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$$f ( x )=f (-x )$$，且当$$x \in(-\infty， 0 )$$时，$$f ( x )+x f^{\cdot} ( x ) > 0$$成立，若$$a=( 3^{0. 2} ) \cdot f ( 3^{0. 2} )， \， \， \， b=( l n 2 ) \cdot f ( l n 2 )， \， \， \， c=( \operatorname{l o g}_{3} \frac{1} {9} ) \cdot f ( \operatorname{l o g}_{3} \frac{1} {9} )$$，
则$$a， ~ b， ~ c$$的大小关系是（）
A
A.$$a > b > c$$
B.$$c > b > a$$
C.$$c > a > b$$
D.$$a > c > b$$
7、['利用函数单调性解不等式'， '导数与单调性'， '利用导数讨论函数单调性']正确率40.0%偶函数$${{f}{（}{x}{）}}$$是定义域为$${{R}}$$上的可导函数，当$${{x}{⩾}{0}}$$时，都有$$f^{\prime} \ ( \textbf{x} ) \ < 2 x$$成立，则不等式$$f \left( \begin{matrix} {x-1} \\ \end{matrix} \right)+2 x > f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)+1$$的解集是（）
B
A.$$\{x | x < \frac{1} {2} \}$$
B.$$\{x | x > \frac{1} {2} \}$$
C.$$\{x | x \neq\frac{1} {2} \}$$
D.实数集$${{R}}$$
8、['利用导数讨论函数单调性'， '利用导数解决函数零点问题'， '函数零点的概念'， '函数零点存在定理']正确率60.0%已知$$x_{1}， ~ x_{2} ( x_{1} < x_{2} )$$是函数$$f ( x )=\operatorname{l n} x-\frac{1} {x-1}$$的两个零点，若$$a \in\left( x_{1}， 1 \right)， \; b \in\left( 1， x_{2} \right)$$，则（）
C
A.$$f ( a ) < 0， \， \， f ( b ) < 0$$
B.$$f ( a ) > 0， \， \， f ( b ) > 0$$
C.$$f ( a ) > 0， \， \， \， f ( b ) < 0$$
D.$$f ( a ) < 0， \， \， f ( b ) > 0$$< 0， f(b) >$${{0}}$$
9、['导数与最值'， '利用导数求参数的取值范围'， '利用导数讨论函数单调性']正确率40.0%已知$$f ( x )=x^{3}-3 x+2 m$$，在区间$$[ \frac{1} {3}， 3 ]$$上任取三个数$$a， ~ b， ~ c$$，均存在以$$f ( a )， ~ f ( b )， ~ f ( c )$$为边长的三角形，则$${{m}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{m}{>}{6}}$$
B.$${{m}{>}{9}}$$
C.$${{m}{>}{{1}{1}}}$$
D.$${{m}{>}{{1}{2}}}$$
10、['利用导数讨论函数单调性']正确率40.0%设定义在$${{R}}$$上函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的导函数为$$f^{\prime} ( x )$$，且满足$$f^{\prime} ( x ) < 2 f ( x )$$，下列选项正确的是（）
B
A.$$f ( 2 ) > e^{2} f ( 1 )$$
B.$$e^{2} f ( 0 ) > f ( 1 )$$
C.$$9 f ( \operatorname{l n} 2 ) < 4 f ( \operatorname{l n} 3 )$$
D.$$e^{2} f ( \operatorname{l n} 2 ) < 4 f ( 1 )$$
题目1解析：
首先，由题意知$$f(1)=2$$。考虑微分不等式$$2f(x)+f'(x)>2$$，可以构造辅助函数$$g(x)=e^{2x}f(x)-e^{2x}$$。求导得$$g'(x)=e^{2x}(2f(x)+f'(x)-2)>0$$，因此$$g(x)$$在$$R$$上单调递增。
由$$g(1)=e^{2}f(1)-e^{2}=e^{2}$$，对于$$x>1$$有$$g(x)>e^{2}$$，即$$f(x)>1$$；对于$$x<1$$有$$f(x)<1$$。
题目要求$$f(\ln a)>1+\left(\frac{e}{a}\right)^2$$。由于$$1+\left(\frac{e}{a}\right)^2>1$$，必须有$$\ln a>1$$即$$a>e$$。
进一步分析，当$$a>e$$时，$$f(\ln a)>1+\left(\frac{e}{a}\right)^2$$等价于$$g(\ln a)>e^{2\ln a}\left(1+\left(\frac{e}{a}\right)^2\right)=a^{2}+\frac{e^{2\ln a+2}}{a^2}=a^2+e^2$$。
由$$g(x)$$单调递增且$$g(1)=e^2$$，需要$$\ln a>1$$即$$a>e$$。验证$$a=e^2$$时$$f(2)>1+\left(\frac{e}{e^2}\right)^2=1+e^{-2}$$，符合条件。因此$$a$$的取值范围是$$(e, +\infty)$$，选A。
题目2解析：
函数$$G_n(x)=f_n(x)-2=1+x+x^2+\cdots+x^n-2$$在$$\left(\frac{1}{2^n}, 1\right)$$内求零点。
计算$$G_n\left(\frac{1}{2^n}\right)=\frac{1-\left(\frac{1}{2^n}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2^n}}-2 \approx \frac{1}{1-\frac{1}{2^n}}-2$$，当$$n \geq 2$$时，$$\frac{1}{2^n} \leq \frac{1}{4}$$，故$$G_n\left(\frac{1}{2^n}\right) \approx \frac{1}{1-\frac{1}{4}}-2=\frac{4}{3}-2<0$$。
而$$G_n(1)=n+1-2=n-1 \geq 1 > 0$$。由介值定理，$$G_n(x)$$在区间内至少有一个零点。
再考察导数$$G_n'(x)=1+2x+\cdots+nx^{n-1}>0$$（因$$x>0$$），故$$G_n(x)$$严格单调递增，零点唯一。选B。
题目3解析：
函数$$f(x)=x^3-2x^2-4x-7$$，导函数$$f'(x)=3x^2-4x-4$$。
解$$f'(x)=0$$得$$x=-\frac{2}{3}$$或$$x=2$$。通过二阶导数或函数单调性分析：
- 当$$x<-\frac{2}{3}$$时$$f'(x)>0$$，函数单调增；
- 当$$-\frac{2}{3}
- 当$$x>2$$时$$f'(x)>0$$，函数单调增。
因此命题①正确（单调减区间为$$\left(-\frac{2}{3}, 2\right)$$）。
计算极值：$$f(2)=8-8-8-7=-15$$为极小值，命题②正确。
由于$$f(-\frac{2}{3})<0$$且$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$$，$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$$，结合单调性，$$f(x)$$有且仅有一个零点，命题③正确。
命题④涉及凸性：当$$a>2$$时，$$f''(x)=6x-4>8$$，函数在$$x>2$$下凸，故$$f(x)>f(a)+f'(a)(x-a)$$对$$x>2$$且$$x \neq a$$成立，命题④正确。
综上，四个命题均正确，选D。
题目4解析：
由$$f(x)=f(-x)$$知$$f(x)$$为偶函数。定义$$g(x)=x f(x)$$，则$$g(-x)=-x f(-x)=-x f(x)=-g(x)$$，即$$g(x)$$为奇函数。
当$$x \in (-\infty, 0)$$时，$$g'(x)=f(x)+x f'(x)>0$$，故$$g(x)$$在$$(-\infty, 0)$$单调增。由奇函数性质，$$g(x)$$在$$(0, +\infty)$$也单调增。
比较自变量大小：
- $$c=(\log_3 \frac{1}{9}) f(\log_3 \frac{1}{9})=(-2) f(-2)=g(-2)$$；
- $$b=(\ln 2) f(\ln 2)=g(\ln 2)$$；
- $$a=(3^{0.2}) f(3^{0.2})=g(3^{0.2})$$。
由于$$3^{0.2}>1>\ln 2>0>-2$$，且$$g(x)$$单调增，故$$g(3^{0.2})>g(\ln 2)>g(-2)$$，即$$a>b>c$$。但$$g(-2)=-g(2)$$，而$$3^{0.2}<2$$，需重新比较：
实际上$$3^{0.2} \approx 1.23$$，$$\ln 2 \approx 0.693$$，$$-2$$对应$$g(-2)=-g(2)$$。由于$$g(2)>g(3^{0.2})>g(\ln 2)$$，故$$-g(2)
题目7解析：
由题意，$$f(x)$$为偶函数且当$$x \geq 0$$时$$f'(x)<2x$$。构造$$h(x)=f(x)-x^2$$，则$$h'(x)=f'(x)-2x<0$$，故$$h(x)$$在$$[0, +\infty)$$单调减。
由偶函数性质，$$h(-x)=f(-x)-x^2=f(x)-x^2=h(x)$$，即$$h(x)$$为偶函数，因此在$$(-\infty, 0]$$单调增。
不等式$$f(x-1)+2x>f(x)+1$$可改写为$$f(x-1)-(x-1)^2>f(x)-x^2+1-2x+(x-1)^2+x^2$$，化简得$$h(x-1)>h(x)+1-2x+2x^2-2x+1$$，进一步简化为$$h(x-1)>h(x)$$。
由$$h(x)$$的单调性：
- 若$$x-1 \geq 0$$且$$x \geq 0$$，即$$x \geq 1$$，需$$x-1
- 若$$x-1 \leq 0$$且$$x \leq 0$$，即$$x \leq 0$$，需$$x-1
- 若$$0
- 若$$x=\frac{1}{2}$$，验证不等式是否成立。
- 若$$0
重新考虑直接分析：令$$x=\frac{1}{2}$$，不等式变为$$f(-\frac{1}{2})+1>f(\frac{1}{2})+1$$，即$$f(\frac{1}{2})>f(\frac{1}{2})$$矛盾。因此解集可能为$$x \neq \frac{1}{2}$$，选C。
题目8解析：
函数$$f(x)=\ln x-\frac{1}{x-1}$$的零点满足$$\ln x=\frac{1}{x-1}$$。设$$x_1<1 当$$x \in (x_1, 1)$$时，$$\ln x<0$$而$$\frac{1}{x-1}<0$$，但$$\ln x$$从$$-\infty$$增至0，$$\frac{1}{x-1}$$从某负值递减至$$-\infty$$，故$$f(x)$$在$$(x_1, 1)$$内符号需具体分析。 实际上，由于$$f(x)$$在$$(0,1)$$单调增（导数$$f'(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{(x-1)^2}>0$$），且$$f(x_1)=0$$，故在$$(x_1,1)$$有$$f(x)>0$$。 在$$(1,x_2)$$，$$f(x)$$从$$+\infty$$递减至0，故$$f(x)>0$$。但更精确分析： 由函数图像，$$f(x)$$在$$(x_1,1)$$为正，在$$(1,x_2)$$为负。因此$$f(a)>0$$，$$f(b)<0$$，选C。
题目9解析：
函数$$f(x)=x^3-3x+2m$$在区间$$\left[\frac{1}{3}, 3\right]$$上的极值点为$$f'(x)=3x^2-3=0$$，即$$x=1$$。
计算端点及极值点函数值：
- $$f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{27}-1+2m$$；
- $$f(1)=1-3+2m=2m-2$$；
- $$f(3)=27-9+2m=18+2m$$。
要求对任意$$a,b,c$$，$$f(a),f(b),f(c)$$能构成三角形，需满足三角不等式：
- $$2 \min\{f(a),f(b),f(c)\} > \max\{f(a),f(b),f(c)\}$$。
显然最小值为$$f(1)=2m-2$$，最大值为$$f(3)=18+2m$$。因此需$$2(2m-2)>18+2m$$，解得$$m>11$$。选C。
题目10解析：
由微分不等式$$f'(x)<2f(x)$$，构造$$g(x)=\frac{f(x)}{e^{2x}}$$，则$$g'(x)=\frac{f'(x)-2f(x)}{e^{2x}}<0$$，故$$g(x)$$单调减。
选项分析：
- A：$$f(2)>e^2 f(1)$$等价于$$g(2)>g(1)$$，与$$g(x)$$单调减矛盾，错误；
- B：$$e^2 f(0)>f(1)$$等价于$$g(0)>g(1)$$，符合单调减，正确；
- C：$$9f(\ln 2)<4f(\ln 3)$$等价于$$\frac{f(\ln 2)}{e^{2\ln 2}}<\frac{f(\ln 3)}{e^{2\ln 3}}$$即$$g(\ln 2)
- D：$$e^2 f(\ln 2)<4 f(1)$$等价于$$\frac{f(\ln 2)}{e^{2\ln 2}}<\frac{4f(1)}{e^{2+2\ln 2}}$$，化简后不直接明显，但由$$g(\ln 2)>g(1)$$（因$$\ln 2<1$$），即$$\frac{f(\ln 2)}{4}>\frac{f(1)}{e^2}$$，故$$e^2 f(\ln 2)>4 f(1)$$，与D矛盾，错误。
综上，仅B正确。选B。