导数与最值-5.3 导数在研究函数中的应用知识点考前进阶单选题自测题解析-天津市等高二数学选择必修,平均正确率42.00000000000001%

第一题：函数 $$f(x)=e^{x}(2x-1)-a x+a$$，其中 $$a<1$$，存在唯一整数 $$x_0$$ 使 $$f(x_0)<0$$，求 $$a$$ 的取值范围。

1. 分析函数性质：$$f(x)=e^{x}(2x-1)-a(x-1)$$

2. 求导：$$f'(x)=e^{x}(2x-1)+2e^{x}-a=e^{x}(2x+1)-a$$

3. 令 $$f'(x)=0$$ 得临界点，但需考虑整数点情况

4. 由于存在唯一整数 $$x_0$$ 使 $$f(x_0)<0$$，考虑 $$x=0$$ 和 $$x=1$$ 的情况

5. 计算：$$f(0)=e^{0}(-1)-a\times0+a=-1+a$$，$$f(1)=e^{1}(1)-a\times1+a=e$$

6. 要使存在唯一整数解，需满足：$$f(0)<0$$ 且 $$f(1)\geq0$$，即 $$-1+a<0$$ 且 $$e\geq0$$（恒成立）

7. 解得：$$a<1$$（已知）且 $$a<1$$，但需考虑边界

8. 当 $$x=-1$$ 时：$$f(-1)=e^{-1}(-3)-a(-1)+a=-\frac{3}{e}+2a$$，要求 $$f(-1)\geq0$$

9. 即 $$2a\geq\frac{3}{e}$$，$$a\geq\frac{3}{2e}$$

10. 综合得：$$\frac{3}{2e}\leq a<1$$

答案：D. $$[\frac{3}{2e}, 1)$$

第二题：数列 $$\{a_n\}$$ 各项为正，前 $$n$$ 项积 $$T_n=2^{n^{2}+n}$$，求 $$\frac{a_{n}+12}{2^{n}}$$ 的最小值。

1. 由 $$T_n=a_1\times a_2\times\cdots\times a_n=2^{n^{2}+n$$

2. 则 $$a_n=\frac{T_n}{T_{n-1}}=\frac{2^{n^{2}+n}{2^{(n-1)^{2}+(n-1)}}=2^{2n-1}+1$$

3. 代入：$$\frac{a_n+12}{2^{n}}=\frac{2^{2n-1}+1+12}{2^{n}}=\frac{2^{2n-1}+13}{2^{n}}=2^{n-1}+\frac{13}{2^{n}}$$

4. 令 $$f(n)=2^{n-1}+\frac{13}{2^{n}}$$，求最小值

5. 考虑导数或尝试整数：$$n=1$$ 时，$$2^{0}+\frac{13}{2}=1+6.5=7.5$$

6. $$n=2$$ 时，$$2^{1}+\frac{13}{4}=2+3.25=5.25$$

7. $$n=3$$ 时，$$2^{2}+\frac{13}{8}=4+1.625=5.625$$

8. $$n=4$$ 时，$$2^{3}+\frac{13}{16}=8+0.8125=8.8125$$

9. 最小值为 $$n=2$$ 时的 $$5.25$$，但选项无此值，检查计算

10. 重算：$$a_n=\frac{2^{n^{2}+n}{2^{(n-1)^{2}+(n-1)}}=2^{n^{2}+n-[(n-1)^{2}+(n-1)]}=2^{2n-1}+1$$ 正确

11. 实际上 $$\frac{a_n+12}{2^{n}}$$ 在 $$n=2$$ 时最小，但选项为整数，可能误解

12. 注意：原式 $$\frac{a_{n}+12}{2^{n}}$$，可能为 $$\frac{a_n+12}{2^{n}}$$，最小值当 $$n=2$$ 为 $$5.25$$，但选项无，或为 $$\frac{a_n+12}{2^{n}}$$ 的整数最小？

13. 选项有 7,8,4√3,2√3，而 $$4\sqrt{3}\approx6.928$$，$$2\sqrt{3}\approx3.464$$，接近 $$n=3$$ 时 $$5.625$$？

14. 可能 $$a_n$$ 计算错误：$$T_n=2^{n^{2}+n}$$，则 $$a_n=\frac{T_n}{T_{n-1}}=2^{n^{2}+n-[(n-1)^{2}+(n-1)]}=2^{2n}}$$？

15. 指数计算：$$n^{2}+n-[(n-1)^{2}+(n-1)]=n^{2}+n-[n^{2}-2n+1+n-1]=n^{2}+n-[n^{2}-n]=2n$$

16. 所以 $$a_n=2^{2n}}$$，则 $$\frac{a_n+12}{2^{n}}=\frac{2^{2n}+12}{2^{n}}=2^{n}+\frac{12}{2^{n}}$$

17. 令 $$t=2^{n}$$，则 $$t+\frac{12}{t}\geq2\sqrt{12}=4\sqrt{3}}$$，当 $$t=\sqrt{12}=2\sqrt{3}}$$ 时取等，但 $$n$$ 为整数

18. $$n=2$$ 时，$$2^{2}+\frac{12}{4}=4+3=7$$

19. $$n=1$$ 时，$$2+\frac{12}{2}=2+6=8$$

20. $$n=3$$ 时，$$8+\frac{12}{8}=8+1.5=9.5$$

21. 最小值为 7

答案：A. $$7$$

第三题：不等式 $$x \ln x-k x+k+1>0$$ 在 $$(1,+\infty)$$ 恒成立，求整数 $$k$$ 的最大值。

1. 整理：$$x \ln x-k x+k+1>0$$，即 $$x \ln x+1>k(x-1)$$

2. 当 $$x>1$$ 时，$$x-1>0$$，所以 $$k<\frac{x \ln x+1}{x-1}}$$ 对所有 $$x>1$$ 成立

3. 即 $$k$$ 小于函数 $$h(x)=\frac{x \ln x+1}{x-1}}$$ 的最小值（下确界）

4. 求 $$h(x)$$ 的最小值：令 $$h(x)=\frac{x \ln x+1}{x-1}}$$

5. 求导：$$h'(x)=\frac{(\ln x+1)(x-1)-(x \ln x+1)}{(x-1)^{2}}}=\frac{(x-1)\ln x+x-1-x \ln x-1}{(x-1)^{2}}}=\frac{-\ln x+x-2}{(x-1)^{2}}}$$

6. 令分子 $$-\ln x+x-2=0$$，即 $$x-\ln x=2$$，解得 $$x=2$$（因为 $$x=2$$ 时，$$2-\ln2\approx2-0.693=1.307\neq2$$，需迭代）

7. 实际上，$$x=2$$ 时，$$-\ln2+2-2=-\ln2<0$$；$$x=3$$ 时，$$-\ln3+3-2=1-\ln3>0$$，所以有根在 $$(2,3)$$

8. 但 $$x\rightarrow1^{+}$$ 时，$$h(x)\rightarrow\infty$$；$$x\rightarrow\infty$$ 时，$$h(x)\rightarrow\infty$$；所以有最小值

9. 尝试 $$x=2$$：$$h(2)=\frac{2\ln2+1}{1}=2\ln2+1\approx2\times0.693+1=2.386$$

10. $$x=3$$：$$h(3)=\frac{3\ln3+1}{2}=\frac{3\times1.099+1}{2}=\frac{4.297}{2}=2.1485$$

11. $$x=4$$：$$h(4)=\frac{4\ln4+1}{3}=\frac{4\times1.386+1}{3}=\frac{6.544}{3}=2.181$$

12. $$x=2.5$$：$$h(2.5)=\frac{2.5\ln2.5+1}{1.5}=\frac{2.5\times0.916+1}{1.5}=\frac{3.29}{1.5}=2.193$$

13. 最小值在 $$x=3$$ 附近，约 2.148，所以 $$k<2.148$$，最大整数 $$k=2$$

答案：C. $$2$$

第四题：$$f(x)=\frac{x^{2}+1}{x}}$$，$$g(x)=\frac{x^{2}}{e^{x}}}$$，对任意 $$x_1,x_2>0$$，不等式 $$(k+1)g(x_1)\leq k f(x_2)$$ 恒成立，求正数 $$k$$ 的最小值。

1. 不等式等价于 $$(k+1)\max g(x_1)\leq k \min f(x_2)$$

2. 先求 $$f(x)$$ 的最小值：$$f(x)=x+\frac{1}{x}}$$，由均值不等式，$$x+\frac{1}{x}}\geq2$$，当 $$x=1$$ 时取等

3. 所以 $$\min f(x)=2$$

4. 再求 $$g(x)$$ 的最大值：$$g(x)=\frac{x^{2}}{e^{x}}}$$，求导 $$g'(x)=\frac{2x e^{x}-x^{2}e^{x}}{e^{2x}}}=\frac{x(2-x)}{e^{x}}}$$

5. 令 $$g'(x)=0$$，得 $$x=0$$（舍）或 $$x=2$$

6. $$g(2)=\frac{4}{e^{2}}}$$，为最大值

7. 代入不等式：$$(k+1)\times\frac{4}{e^{2}}}\leq k\times2$$

8. 即 $$\frac{4(k+1)}{e^{2}}}\leq2k$$，两边除以2：$$\frac{2(k+1)}{e^{2}}}\leq k$$

9. 整理：$$2(k+1)\leq k e^{2}$$，$$2k+2\leq k e^{2}$$，$$2\leq k(e^{2}-2)$$

10. 所以 $$k\geq\frac{2}{e^{2}-2}}$$

答案：D. $$\frac{2}{e^{2}-2}}$$

第五题：函数 $$f(x)=\frac{\ln x}{x}}$$ 的最大值。

1. 求导：$$f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\times x-\ln x\times1}{x^{2}}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}}}$$

2. 令 $$f'(x)=0$$，得 $$1-\ln x=0$$，即 $$x=e$$

3. $$f(e)=\frac{\ln e}{e}}=\frac{1}{e}}$$

4. 为最大值

答案：A. $$e^{-1}$$

第六题：同第一题，已解答。

答案：D. $$[\frac{3}{2e}, 1)$$

第七题：不等式 $$e^{x}\geq kx+b$$ 在 $$(0,+\infty)$$ 恒成立，求 $$\frac{2k+b-2}{k-1}}$$ 的最小值。

1. 不等式恒成立，需 $$e^{x}-kx-b\geq0$$ 对所有 $$x>0$$

2. 考虑函数 $$\phi(x)=e^{x}-kx-b$$，$$\phi(0)=1-b\geq0$$，即 $$b\leq1$$

3. 且 $$\phi(x)$$ 最小值至少为0，求导 $$\phi'(x)=e^{x}-k$$

4. 若 $$k\leq1$$，则 $$\phi'(x)>0$$，$$\phi(x)$$ 递增，最小在 $$x=0$$，为 $$1-b\geq0$$，成立

5. 但需最小化表达式，考虑 $$k>1$$，则存在极小值点 $$x=\ln k$$

6. $$\phi(\ln k)=k-k\ln k-b\geq0$$，即 $$b\leq k(1-\ln k)$$

7. 同时 $$b\leq1$$，所以 $$b\leq\min\{1, k(1-\ln k)\}$$

8. 要最小化 $$\frac{2k+b-2}{k-1}}$$，由于分母 $$k-1>0$$，应取 $$b$$ 尽可能大？但受约束

9. 实际上，对于固定 $$k$$，取 $$b$$ 最大可使分子最大，但求最小值，需分析

10. 令 $$b= k(1-\ln k)$$（即取等），则表达式为 $$\frac{2k+k(1-\ln k)-2}{k-1}}=\frac{3k-k\ln k-2}{k-1}}$$

11. 令 $$F(k)=\frac{3k-k\ln k-2}{k-1}}$$，求最小值

12. 求导复杂，尝试 $$k=e$$：$$F(e)=\frac{3e-e\ln e-2}{e-1}}=\frac{3e-e-2}{e-1}}=\frac{2e-2}{e-1}}=2$$

13. $$k=2$$：$$F(2)=\frac{6-2\ln2-2}{1}}=\frac{4-2\ln2}{1}}=4-2\ln2\approx4-1.386=2.614$$

14. $$k=3$$：$$F(3)=\frac{9-3\ln3-2}{2}}=\frac{7-3\times1.099}{2}}=\frac{7-3.297}{2}}=\frac{3.703}{2}=1.8515$$

15. $$k=4$$：$$F(4)=\frac{12-4\ln4-2}{3}}=\frac{10-4\times1.386}{3}}=\frac{10-5.544}{3}}=\frac{4.456}{3}=1.485$$

16. $$k\rightarrow1^{+}$$ 时，分子→$$3-0-2=1$$，分母→0+，所以 $$F(k)\rightarrow+\infty$$

17. $$k\rightarrow\infty$$ 时，$$F(k)\sim\frac{-k\ln k}{k}}=-\ln k\rightarrow-\infty$$

18. 所以有最小值负无穷？但选项为负值，如 $$-e^{2}$$

19. 实际上，当 $$k$$ 很大时，$$F(k)$$ 为负且很小，但需验证恒成立条件

20. 当 $$k>e$$ 时，$$k(1-\ln k)<0$$，而 $$b\leq1$$，所以应取 $$b=1$$（更大）

21. 因此，分段：当 $$k\leq e$$，取 $$b=k(1-\ln k)$$；当 $$k>e$$，取 $$b=1$$

22. 当 $$k>e$$，$$F(k)=\frac{2k+1-2}{k-1}}=\frac{2k-1}{k-1}}$$，趋于2

23. 所以最小值在 $$k>e$$ 时不会更小，而在 $$k

24. 经计算，最小值在 $$k\rightarrow\infty$$ 时 $$F(k)\rightarrow-\infty$$，但需满足恒成立，当 $$k$$ 很大时，$$b=1$$，$$\phi(x)=e^{x}-kx-1$$，对于大 $$x$$ 显然成立，但 $$ _{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}