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正确率60.0%已知抛物线$$y^{2} \!=\! 2 \mathrm{p x} ( p > 0 )$$的焦点为$${{F}}$$，准线为$${{l}}$$，直线$$y=k ( x-\frac{p} {2} )$$交抛物线于$${{A}{，}{B}}$$两点，过点$${{A}}$$作准线$${{l}}$$的垂线，垂足为$${{E}}$$，若等边$${{△}{{A}{F}{E}}}$$的面积为$${{3}{6}{\sqrt {3}}}$$，则$${{△}{{B}{E}{F}}}$$的面积为（）
B
A.$${{6}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{1}{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{1}{6}}$$
D.$${{2}{4}{\sqrt {3}}}$$
2、['直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的简单几何性质']正确率80.0%已知抛物线$${{C}}$$：$$y^{2}=8 x$$的焦点为$${{F}}$$，过$${{F}}$$的直线$${{l}}$$与抛物线$${{C}}$$交于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点，若$$A ( 1， 2 \sqrt{2} )$$，则$$| A B |=( \textsubscript{\Lambda} )$$
A.$${{9}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{5}}$$
3、['抛物线的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用'， '直线的斜率']正确率40.0%抛物线$$y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$的准线交$${{x}}$$轴于点$${{C}}$$，焦点为$$F， ~ A， ~ B$$物线上的两点．若$$A， ~ B， ~ C$$三点共线，且满足$$| A F |+| B F |={\frac{3} {2}} | A B | \，，$$设直线$${{A}{B}}$$的斜率为$${{k}}$$，则有（）
A
A.$$k^{2}=\frac{\sqrt{5}} {3}$$
B.$$k^{2}=\frac{\sqrt{6}} {2}$$
C.$$k^{2}=\frac{\sqrt{3}} {2}$$
D.$$k^{2}=\frac{\sqrt{6}} {4}$$
4、['抛物线的标准方程'， '直线与抛物线的综合应用']正确率60.0%过抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点作一条直线与抛物线交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{A}{，}{B}}$$的横坐标之和等于$${{5}}$$，则这样的直线（）
B
A.有且只有一条
B.有两条
C.有无穷多条
D.不存在
5、['双曲线的离心率'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的定义'， '直线和圆相切'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性']正确率40.0%过双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的右焦点$$F \left( c， 0 \right)$$作圆$$x^{2}+y^{2}=a^{2}$$的切线，切点为$${{M}}$$.直线$${{F}{M}}$$交抛物线$$y^{2}=-4 c x$$于点$${{N}}$$，若$$\overrightarrow{O F}+\overrightarrow{O N}=2 \overrightarrow{O M} ( O$$为坐标原点$${{)}}$$，则双曲线的离心率为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
B.$$\frac{{\sqrt5}+1} {2}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${{1}{+}{\sqrt {5}}}$$
8、['直线与抛物线的综合应用']正确率19.999999999999996%已知点$${{F}}$$为抛物线$$C \colon~ y^{2}=2 p x ~ ( p > 0 )$$的焦点，点$${{K}}$$为点$${{F}}$$关于原点的对称点，点$${{M}}$$在抛物线$${{C}}$$上，则下列说法错误的是（）
C
A.使得$${{△}{M}{F}{K}}$$为等腰三角形的点$${{M}}$$有且仅有$${{4}}$$个
B.使得$${{△}{M}{F}{K}}$$为直角三角形的点$${{M}}$$有且仅有$${{4}}$$个
C.使得$$\angle M K F=\frac{\pi} {4}$$的点$${{M}}$$有且仅有$${{4}}$$个
D.使得$$\angle M K F=\frac{\pi} {6}$$的点$${{M}}$$有且仅有$${{4}}$$个
9、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的定义'， '抛物线的焦点弦问题']正确率40.0%已知抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=8 x$$的焦点为$${{F}}$$，准线为$${{l}{，}{P}}$$是$${{l}}$$上一点，$${{Q}}$$是直线$${{P}{F}}$$与$${{C}}$$的一个焦点，若$$\overrightarrow{F P}=4 \overrightarrow{F Q}$$，则$$| Q F |=$$（）
C
A.$$\frac{7} {2}$$
B.$$\frac{5} {2}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{2}}$$
10、['直线与抛物线的综合应用']正确率40.0%过抛物线$$y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$的焦点$${{F}}$$作抛物线的弦，与抛物线交于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点，$${{M}}$$为$${{A}{B}}$$的中点，分别过$${{A}}$$，$${{B}}$$两点作抛物线的切线$${{l}_{1}}$$，$${{l}_{2}}$$相交于点$${{P}}$$，$${{△}{P}{A}{B}}$$又常被称作阿基米德三角形．下面关于$${{△}{P}{A}{B}}$$的描述：
$${①{P}}$$点必在抛物线的准线上；
$$\odot A P \perp P B$$；
$${③}$$设$$A ( x_{1}， y_{1} )$$，$$B ( x_{2}， y_{2} )$$，则$${{△}{P}{A}{B}}$$的面积$${{S}}$$的最小值为$$\frac{p^{2}} {2}$$；
$$\oplus\， P F \perp A B$$；
$${⑤{P}{M}}$$平行于$${{x}}$$轴．
其中正确的个数是$${{(}{)}}$$
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
1. 解析：
抛物线方程为 $$y^2 = 2px$$，焦点 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$，准线 $$l: x = -\frac{p}{2}$$。直线方程为 $$y = k\left(x - \frac{p}{2}\right)$$，与抛物线联立得：
$$k^2\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 = 2px$$
展开整理为：
$$k^2x^2 - (k^2p + 2p)x + \frac{k^2p^2}{4} = 0$$
设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，则 $$x_1 + x_2 = \frac{k^2p + 2p}{k^2} = p + \frac{2p}{k^2}$$。
点 $$A$$ 到准线的垂足为 $$E\left(-\frac{p}{2}, y_1\right)$$。由题意，$$△AFE$$ 为等边三角形，面积为 $$36\sqrt{3}$$，则边长 $$AF = \sqrt{(x_1 - \frac{p}{2})^2 + y_1^2} = \sqrt{(x_1 + \frac{p}{2})^2}$$（因为 $$y_1^2 = 2px_1$$）。
解得 $$x_1 = \frac{3p}{2}$$，代入抛物线得 $$y_1 = \sqrt{3p}$$，从而 $$k = \sqrt{3}$$。
进一步求得 $$B\left(\frac{p}{6}, -\frac{p\sqrt{3}}{3}\right)$$，计算 $$△BEF$$ 的面积为 $$12\sqrt{3}$$，故选 B。
2. 解析：
抛物线 $$C: y^2 = 8x$$，焦点 $$F(2, 0)$$。已知点 $$A(1, 2\sqrt{2})$$ 在抛物线上，直线 $$l$$ 过 $$F$$ 和 $$A$$，斜率为 $$k = \frac{2\sqrt{2} - 0}{1 - 2} = -2\sqrt{2}$$。
直线方程为 $$y = -2\sqrt{2}(x - 2)$$，与抛物线联立得：
$$(-2\sqrt{2}(x - 2))^2 = 8x$$
解得 $$x = 1$$ 或 $$x = 4$$，故 $$B(4, -4\sqrt{2})$$。
距离 $$|AB| = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-4\sqrt{2} - 2\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 + 72} = 9$$，故选 A。
3. 解析：
抛物线 $$y^2 = 2px$$，准线 $$x = -\frac{p}{2}$$，点 $$C\left(-\frac{p}{2}, 0\right)$$。设直线 $$AB$$ 过 $$C$$，方程为 $$y = k\left(x + \frac{p}{2}\right)$$。
与抛物线联立得：
$$k^2\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 = 2px$$
整理为：
$$k^2x^2 + (k^2p - 2p)x + \frac{k^2p^2}{4} = 0$$
设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，则 $$x_1 + x_2 = \frac{2p - k^2p}{k^2}$$。
由抛物线性质，$$|AF| = x_1 + \frac{p}{2}$$，$$|BF| = x_2 + \frac{p}{2}$$，且 $$|AB| = x_1 + x_2 + p$$。
代入条件 $$|AF| + |BF| = \frac{3}{2}|AB|$$，解得 $$k^2 = \frac{\sqrt{6}}{2}$$，故选 B。
4. 解析：
抛物线 $$y^2 = 4x$$，焦点 $$F(1, 0)$$。设直线方程为 $$y = k(x - 1)$$，与抛物线联立得：
$$k^2(x - 1)^2 = 4x$$
整理为：
$$k^2x^2 - (2k^2 + 4)x + k^2 = 0$$
设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，则 $$x_1 + x_2 = \frac{2k^2 + 4}{k^2} = 2 + \frac{4}{k^2} = 5$$。
解得 $$k^2 = \frac{4}{3}$$，即 $$k = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$$，故有两条直线，选 B。
5. 解析：
双曲线右焦点 $$F(c, 0)$$，圆 $$x^2 + y^2 = a^2$$ 的切线 $$FM$$ 斜率为 $$\frac{b}{a}$$，方程为 $$y = \frac{b}{a}(x - c)$$。
切点 $$M$$ 满足 $$OM \perp FM$$，故 $$M\left(\frac{a^2}{c}, \frac{ab}{c}\right)$$。
直线 $$FM$$ 与抛物线 $$y^2 = -4cx$$ 联立得：
$$\left(\frac{b}{a}(x - c)\right)^2 = -4cx$$
解得 $$N\left(-\frac{a^2}{c}, -\frac{ab}{c}\right)$$。
由向量条件 $$\overrightarrow{OF} + \overrightarrow{ON} = 2\overrightarrow{OM}$$，验证得 $$c^2 = a^2 + b^2$$，离心率 $$e = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$$，故选 B。
8. 解析：
抛物线 $$C: y^2 = 2px$$，焦点 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$，点 $$K\left(-\frac{p}{2}, 0\right)$$。
选项分析：
A. 等腰三角形情况有 4 个点 $$M$$，正确。
B. 直角三角形情况有 4 个点 $$M$$，正确。
C. $$\angle MKF = \frac{\pi}{4}$$ 有 4 个点 $$M$$，正确。
D. $$\angle MKF = \frac{\pi}{6}$$ 有 2 个点 $$M$$，错误。
故选 D。
9. 解析：
抛物线 $$C: y^2 = 8x$$，焦点 $$F(2, 0)$$，准线 $$l: x = -2$$。设 $$P(-2, y_0)$$，直线 $$PF$$ 斜率为 $$\frac{y_0}{4}$$，方程为 $$y = \frac{y_0}{4}(x - 2)$$。
与抛物线联立得：
$$\left(\frac{y_0}{4}(x - 2)\right)^2 = 8x$$
解得 $$Q(2, y_0)$$ 或 $$Q(8, 2y_0)$$。由向量条件 $$\overrightarrow{FP} = 4\overrightarrow{FQ}$$，得 $$Q(2, y_0)$$。
距离 $$|QF| = \sqrt{(2 - 2)^2 + (y_0 - 0)^2} = 2$$，故选 D。
10. 解析：
阿基米德三角形性质分析：
① $$P$$ 点在准线上，正确。
② $$AP \perp PB$$，正确。
③ 面积最小值为 $$\frac{p^2}{2}$$，正确。
④ $$PF \perp AB$$，正确。
⑤ $$PM$$ 平行于 $$x$$ 轴，错误。
故选 C（4 个正确）。