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正确率40.0%已知抛物线$$y^{2}=4 x$$，过焦点$${{F}}$$作直线$${{l}}$$交抛物线于$${{A}{，}{B}}$$两点，准线与$${{x}}$$轴的交点为$${{C}}$$，若$${\frac{| A F |} {| F B |}}=\lambda\in[ 3， ~ 4 ]，$$则$$\operatorname{t a n} \angle A C B$$的取值范围为（）
B
A.$$[ \frac{4} {5}， ~ \frac{\sqrt{3}} {2} ]$$
B.$$[ \frac{4 0} {9}， ~ 4 \sqrt{3} ]$$
C.$$[ \frac{1} {2}， \ \frac{3} {5} ]$$
D.$$[ \frac{4} {3}， ~ \frac{1 5} {8} ]$$
2、['抛物线的标准方程'， '抛物线的定义']正确率80.0%已知抛物线$$x^{2}=2 p y$$上一点$$A ( m， 1 )$$到其焦点的距离为$${{3}{，}}$$则$${{p}{=}}$$（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{±}{4}}$$
3、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义'， '抛物线的焦点弦问题']正确率60.0%设抛物线$$y^{2}=8 x$$的焦点为$${{F}{，}}$$过点$${{F}}$$作直线$${{l}}$$交抛物线于$${{A}{，}{B}}$$两点，若线段$${{A}{B}}$$的中点$${{E}}$$到$${{y}}$$轴的距离为$${{3}{，}}$$则弦$${{A}{B}}$$的长为（）
C
A.$${{5}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{1}{2}}$$
5、['抛物线的定义'， '抛物线的其他性质']正确率60.0%已知点$$A ~ ( \textit{4}， \textit{-2} ) ~， \textit{F}$$为抛物线$$y^{2}=8 x$$的焦点，点$${{M}}$$在抛物线上移动，当$$| M A |+| M F |$$取最小值时，点$${{M}}$$的坐标为（）
D
A.$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 0} )$$
B.$$( 1， ~-2 \sqrt{2} )$$
C.$$( \ 2， \ -4 )$$
D.$$( \frac{1} {2}， \ \ -2 )$$
6、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性'， '抛物线的定义']正确率60.0%已知抛物线$$x^{2}=a y \ ( \ a \neq0 )$$的焦点为$${{F}}$$，准线为$${{l}}$$，该抛物线上的点$${{M}}$$到$${{x}}$$轴的距离为$${{5}}$$，且$$| M F |=7$$，则焦点$${{F}}$$到准线$${{l}}$$的距离是（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
7、['圆的定义与标准方程'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义']正确率60.0%已知抛物线$$C : y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$的焦点为$${{F}}$$，以$${{F}}$$为圆心且半径为$${{4}}$$的圆交$${{C}}$$于$${{M}{，}{N}}$$两点，交$${{C}}$$的准线$${{l}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$$A， F， N$$三点共线，则$${{p}{=}}$$（）
C
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
8、['抛物线的标准方程'， '抛物线的定义']正确率60.0%已知$${{M}}$$是抛物线$${{x}^{2}{=}{{1}{6}{y}}}$$上任意一点，$$\mathbf{A} ( \mathbf{0}， 4 )， ~ \mathbf{B} (-\mathbf{1}， \mathbf{1} )$$，则$$| \mathbf{M A} |+| \mathbf{M B} |$$的最小值$${{(}{)}}$$
D
A.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{5}}$$
9、['一元二次方程的解集'， '直线的点斜式方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的定义'， '直线与抛物线的综合应用']正确率40.0%抛物线$$y^{2}=2 p x \ ( p > 0 )$$的焦点为$${{F}}$$，准线为$${{l}}$$．若点$${{A}}$$在抛物线上，点$${{B}}$$在准线$${{l}}$$上，并且$${{△}{A}{B}{F}}$$是等腰三角形，$$\angle B A F=1 2 0^{\circ}$$，则$${{△}{A}{B}{F}}$$的面积是（）
C
A.$${\frac{\sqrt3} {6}} p^{2}$$
B.$${\frac{\sqrt6} {9}} p^{2}$$
C.$$\frac{{\sqrt3}} {9} p^{2}$$
D.$${\frac{\sqrt6} {6}} p^{2}$$
10、['抛物线的定义']正确率60.0%已知抛物线$$C_{\colon} \， \， x^{2}=2 p y ( p > 0 )$$的焦点$${{F}}$$在直线$$l \colon~ x+y=4$$上，则点$${{F}}$$到$${{C}}$$的准线的距离为（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{1}{6}}$$
以下是各题目的详细解析： --- ### 第一题解析抛物线方程为 $$y^2 = 4x$$，焦点 $$F(1, 0)$$，准线为 $$x = -1$$，故点 $$C(-1, 0)$$。
设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，其方程为 $$y = k(x - 1)$$。与抛物线联立得：
$$k^2(x - 1)^2 = 4x$$，整理为 $$k^2x^2 - (2k^2 + 4)x + k^2 = 0$$。
设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，由抛物线性质知 $$|AF| = x_1 + 1$$，$$|FB| = x_2 + 1$$。
由题意 $$\frac{|AF|}{|FB|} = \lambda = \frac{x_1 + 1}{x_2 + 1}$$，且 $$\lambda \in [3, 4]$$。
由韦达定理，$$x_1 + x_2 = \frac{2k^2 + 4}{k^2}$$，$$x_1x_2 = 1$$。
设 $$t = x_2$$，则 $$x_1 = \frac{1}{t}$$，代入比例关系得：
$$\frac{\frac{1}{t} + 1}{t + 1} = \lambda$$，解得 $$t = \frac{1}{\lambda}$$。
代入韦达定理得 $$x_1 + x_2 = \frac{1}{t} + t = \frac{2k^2 + 4}{k^2}$$，即 $$t + \frac{1}{t} = 2 + \frac{4}{k^2}$$。
由于 $$t \in \left[\frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right]$$，计算得 $$k^2 \in \left[\frac{12}{5}, 4\right]$$。
计算 $$\tan \angle ACB$$：
向量 $$\overrightarrow{CA} = (x_1 + 1, y_1)$$，$$\overrightarrow{CB} = (x_2 + 1, y_2)$$。
$$\tan \angle ACB = \left| \frac{y_1(x_2 + 1) - y_2(x_1 + 1)}{(x_1 + 1)(x_2 + 1) + y_1y_2} \right|$$。
代入 $$y_1 = k(x_1 - 1)$$，$$y_2 = k(x_2 - 1)$$，化简得：
$$\tan \angle ACB = \frac{2k}{k^2 + 1}$$。
当 $$k^2 \in \left[\frac{12}{5}, 4\right]$$ 时，$$\tan \angle ACB \in \left[\frac{4}{3}, \frac{15}{8}\right]$$。
正确答案为 D。
--- ### 第二题解析抛物线 $$x^2 = 2py$$ 的焦点为 $$(0, \frac{p}{2})$$。
点 $$A(m, 1)$$ 在抛物线上，故 $$m^2 = 2p \times 1$$，即 $$m^2 = 2p$$。
由题意，点 $$A$$ 到焦点的距离为 3，即：
$$\sqrt{m^2 + \left(1 - \frac{p}{2}\right)^2} = 3$$。
代入 $$m^2 = 2p$$ 得：
$$\sqrt{2p + \left(1 - \frac{p}{2}\right)^2} = 3$$，整理为 $$2p + \left(1 - \frac{p}{2}\right)^2 = 9$$。
展开化简得 $$p^2 + 4p - 32 = 0$$，解得 $$p = 4$$ 或 $$p = -8$$。
由于 $$p > 0$$，故 $$p = 4$$。
正确答案为 C。
--- ### 第三题解析抛物线 $$y^2 = 8x$$ 的焦点为 $$F(2, 0)$$。
设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，其方程为 $$y = k(x - 2)$$。与抛物线联立得：
$$k^2(x - 2)^2 = 8x$$，整理为 $$k^2x^2 - (4k^2 + 8)x + 4k^2 = 0$$。
设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，中点 $$E$$ 的横坐标为 $$\frac{x_1 + x_2}{2} = 3$$。
由韦达定理，$$x_1 + x_2 = \frac{4k^2 + 8}{k^2} = 6$$，解得 $$k^2 = 4$$。
弦长 $$|AB| = x_1 + x_2 + 4 = 6 + 4 = 10$$。
正确答案为 C。
--- ### 第五题解析抛物线 $$y^2 = 8x$$ 的焦点为 $$F(2, 0)$$，准线为 $$x = -2$$。
点 $$A(4, -2)$$ 在抛物线外部，由抛物线性质，$$|MA| + |MF|$$ 的最小值为 $$A$$ 到准线的距离，即 $$4 - (-2) = 6$$。
此时 $$M$$ 为 $$A$$ 到抛物线的垂足，代入抛物线方程得 $$M(2, -4)$$。
正确答案为 C。
--- ### 第六题解析抛物线 $$x^2 = ay$$ 的焦点为 $$F(0, \frac{a}{4})$$，准线为 $$y = -\frac{a}{4}$$。
点 $$M$$ 的纵坐标为 $$\pm 5$$，由抛物线性质 $$|MF| = 5 + \frac{a}{4} = 7$$，解得 $$a = 8$$。
焦点到准线的距离为 $$\frac{a}{4} - (-\frac{a}{4}) = \frac{a}{2} = 4$$。
正确答案为 C。
--- ### 第七题解析抛物线 $$y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$F(\frac{p}{2}, 0)$$，准线为 $$x = -\frac{p}{2}$$。
圆的方程为 $$(x - \frac{p}{2})^2 + y^2 = 16$$，与准线 $$x = -\frac{p}{2}$$ 的交点 $$A(-\frac{p}{2}, \sqrt{16 - p^2})$$。
由 $$A, F, N$$ 共线，$$N$$ 为抛物线与圆的交点，代入抛物线方程解得 $$p = 2$$。
正确答案为 C。
--- ### 第八题解析抛物线 $$x^2 = 16y$$ 的焦点为 $$F(0, 4)$$，与点 $$A(0, 4)$$ 重合。
由抛物线性质，$$|MA| + |MB| = |MF| + |MB|$$，最小值为 $$B$$ 到准线 $$y = -4$$ 的距离，即 $$1 - (-4) = 5$$。
正确答案为 D。
--- ### 第九题解析设抛物线 $$y^2 = 2px$$，焦点 $$F(\frac{p}{2}, 0)$$，准线 $$x = -\frac{p}{2}$$。
点 $$A$$ 在抛物线上，设 $$A(\frac{y_0^2}{2p}, y_0)$$，点 $$B$$ 在准线上，设 $$B(-\frac{p}{2}, b)$$。
由 $$\triangle ABF$$ 为等腰三角形且 $$\angle BAF = 120^\circ$$，计算得面积为 $$\frac{\sqrt{3}}{6}p^2$$。
正确答案为 A。
--- ### 第十题解析抛物线 $$x^2 = 2py$$ 的焦点为 $$F(0, \frac{p}{2})$$，代入直线 $$x + y = 4$$ 得 $$\frac{p}{2} = 4$$，即 $$p = 8$$。
焦点到准线的距离为 $$p = 8$$。
正确答案为 C。
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