抛物线上点坐标的范围-抛物线知识点考前进阶自测题答案-西藏自治区等高一数学选择必修,平均正确率55.99999999999999%

1、['点到直线的距离'， '抛物线上点坐标的范围']

正确率40.0%已知抛物线$${{C}}$$：$${{y}^{2}{=}{2}{p}{x}{(}{p}{>}{0}{)}{，}}$$点$${{M}}$$在$${{C}}$$上，直线$${{l}}$$：$${{2}{x}{−}{y}{+}{6}{=}{0}}$$与$${{x}}$$轴、$${{y}}$$轴分别交于点$${{A}{，}{B}{，}}$$若$${{△}{A}{M}{B}}$$面积的最小值为$$\frac{1 5} {2}，$$则$${{p}{=}}$$（）

A.$${{4}{4}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{4}}$$或$${{4}{4}}$$

D.$${{1}}$$或$${{4}}$$

2、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的对称性']

正确率60.0%设$${{A}{，}{B}}$$是抛物线$${{y}{=}{{x}^{2}}}$$上的两点，$${{O}}$$是坐标原点，若$${{O}{A}{⊥}{O}{B}}$$，则以下结论恒成立的结论个数为（）
$${①{|}{O}{A}{|}{⋅}{|}{O}{B}{|}{⩾}{2}{；}{②}}$$直线$${{A}{B}}$$过定点$${（{1}{，}{0}{）}{；}{③}{O}}$$到直线$${{A}{B}}$$的距离不大于$${{1}}$$．

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

3、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性'， '抛物线的定义']

正确率60.0%已知抛物线$${{x}^{2}{=}{a}{y}{（}{a}{≠}{0}{）}}$$的焦点为$${{F}}$$，准线为$${{l}}$$，该抛物线上的点$${{M}}$$到$${{x}}$$轴的距离为$${{5}}$$，且$${{|}{M}{F}{|}{=}{7}}$$，则焦点$${{F}}$$到准线$${{l}}$$的距离是（）

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{5}}$$

4、['平面上中点坐标公式'， '抛物线上点坐标的范围']

正确率60.0%已知两点$${{A}{（}{1}{，}{0}{）}{，}{B}{（}{b}{，}{0}{）}}$$，若抛物线$${{y}^{2}{=}{4}{x}}$$上存在点$${{C}}$$使$${{△}{A}{B}{C}}$$为等边三角形，则$${{b}}$$的值为（）

A.$${{3}}$$或$$\frac{1} {5}$$

B.$$\frac{1} {3}$$

C.$$- \frac{1} {3}$$或$${{5}}$$

D.$$- \frac{1} {5}$$

5、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性'， '抛物线的定义']

正确率40.0%已知点$${{P}}$$在抛物线$${{y}^{2}{＝}{4}{x}}$$上，点$${{A}{(}{5}{，}{3}{)}{，}{F}}$$为该抛物线的焦点，，则$${{△}{P}{A}{F}}$$周长的最小值为（）

A.$${{9}}$$

B.$${{1}{0}}$$

C.$${{1}{1}}$$

D.$${{1}{2}}$$

6、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的焦点弦问题']

正确率60.0%己知抛物线$${{y}{=}{4}{{x}^{2}}}$$上一点$${{P}}$$到焦点的距离为$${{1}}$$，则点$${{P}}$$的纵坐标为（）

A.$$\frac{3} {4}$$

B.$$\frac{7} {8}$$

C.$$\frac{1 5} {1 6}$$

D.$$\frac{1 7} {1 6}$$

9、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的定义'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']

正确率40.0%已知抛物线$${{y}^{2}{=}{2}{p}{x}{(}{p}{>}{0}{)}}$$的焦点$${{F}}$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {5}=1$$的右焦点重合，抛物线的准线与$${{x}}$$轴的交点为$${{K}}$$，点$${{A}}$$在抛物线上，且$${{|}{A}{K}{|}{=}{\sqrt {2}}{|}{A}{F}{|}}$$，则$${{A}}$$点的横坐标为（）

A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

10、['点到直线的距离'， '抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的标准方程']

正确率40.0%已知直线$${{l}{：}{2}{x}{+}{y}{+}{4}{=}{0}}$$，点$${{P}}$$为抛物线$${{C}{：}{{y}^{2}}{=}{x}}$$上一点，则点$${{P}}$$到直线$${{l}}$$的距离最小值为（）

A.$${\sqrt {5}}$$

B.$$\frac{3 \sqrt{5}} {4 0}$$

C.$${{5}}$$

D.$$\frac{3 1} {4 0}$$

1. 解析：

抛物线 $$C: y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$。点 $$M$$ 在抛物线上，设 $$M(x, y)$$，则 $$y^2 = 2px$$。

直线 $$l: 2x - y + 6 = 0$$ 与坐标轴的交点为 $$A(-3, 0)$$ 和 $$B(0, 6)$$。

计算 $$\triangle AMB$$ 的面积公式为：

$$ S = \frac{1}{2} \left| (-3)(6 - y) + 0(y - 0) + x(0 - 6) \right| = \frac{1}{2} \left| -18 + 3y - 6x \right| = \frac{1}{2} \left| 6x - 3y + 18 \right| $$

将 $$y^2 = 2px$$ 代入，利用极值法或拉格朗日乘数法求最小值，最终解得 $$p = 4$$。

答案：B

2. 解析：

设 $$A(x_1, x_1^2)$$ 和 $$B(x_2, x_2^2)$$，由 $$OA \perp OB$$ 得 $$x_1x_2 + x_1^2x_2^2 = 0$$，即 $$x_1x_2(1 + x_1x_2) = 0$$。

若 $$x_1x_2 = -1$$，则：

1. $$|OA| \cdot |OB| = \sqrt{x_1^2 + x_1^4} \cdot \sqrt{x_2^2 + x_2^4} \geq 2$$ 成立。

2. 直线 $$AB$$ 的方程为 $$y = (x_1 + x_2)x - x_1x_2$$，代入 $$x_1x_2 = -1$$ 得 $$y = (x_1 + x_2)x + 1$$，过定点 $$(0, 1)$$，不恒过 $$(1, 0)$$。

3. 点 $$O$$ 到直线 $$AB$$ 的距离为 $$\frac{1}{\sqrt{1 + (x_1 + x_2)^2}} \leq 1$$ 恒成立。

综上，结论 1 和 3 恒成立。

答案：C

3. 解析：

抛物线 $$x^2 = ay$$ 的焦点为 $$F\left(0, \frac{a}{4}\right)$$，准线为 $$l: y = -\frac{a}{4}$$。

点 $$M$$ 在抛物线上，设 $$M(x, 5)$$，则 $$x^2 = 5a$$。

由 $$|MF| = 7$$，得 $$\sqrt{x^2 + \left(5 - \frac{a}{4}\right)^2} = 7$$，代入 $$x^2 = 5a$$ 解得 $$a = 4$$ 或 $$a = -44$$（舍去负值）。

焦点到准线的距离为 $$\left|\frac{a}{4} - \left(-\frac{a}{4}\right)\right| = \frac{|a|}{2} = 2$$。

答案：A

4. 解析：

设 $$C(x, y)$$ 在抛物线 $$y^2 = 4x$$ 上，且 $$\triangle ABC$$ 为等边三角形。

由 $$A(1, 0)$$ 和 $$B(b, 0)$$，得边长 $$AB = |b - 1|$$。

计算 $$AC$$ 和 $$BC$$ 的距离，利用等边条件解得 $$b = 5$$ 或 $$b = -\frac{1}{3}$$。

答案：C

5. 解析：

抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$。

点 $$P$$ 在抛物线上，设 $$P(x, y)$$，则 $$|PF| = x + 1$$。

$$\triangle PAF$$ 的周长为 $$|PA| + |PF| + |AF|$$，其中 $$|AF| = \sqrt{(5-1)^2 + (3-0)^2} = 5$$。

最小化 $$|PA| + |PF|$$，利用几何性质得最小值为 $$6$$，故总周长为 $$6 + 5 = 11$$。

答案：C

6. 解析：

抛物线 $$y = 4x^2$$ 化为标准形式 $$x^2 = \frac{1}{4}y$$，焦点为 $$F\left(0, \frac{1}{16}\right)$$。

点 $$P(x, y)$$ 到焦点的距离为 $$\sqrt{x^2 + \left(y - \frac{1}{16}\right)^2} = 1$$，代入 $$x^2 = \frac{y}{4}$$ 解得 $$y = \frac{15}{16}$$。

答案：C

9. 解析：

双曲线 $$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$$ 的右焦点为 $$(3, 0)$$，故抛物线焦点 $$F(3, 0)$$，准线为 $$x = -3$$，$$K(-3, 0)$$。

设 $$A(x, y)$$ 在抛物线上，由 $$|AK| = \sqrt{2}|AF|$$ 得 $$\sqrt{(x + 3)^2 + y^2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{(x - 3)^2 + y^2}$$，解得 $$x = 4$$。

答案：B

10. 解析：

抛物线 $$C: y^2 = x$$ 上点 $$P(x, y)$$ 到直线 $$l: 2x + y + 4 = 0$$ 的距离为 $$d = \frac{|2x + y + 4|}{\sqrt{5}}$$。

将 $$x = y^2$$ 代入，得 $$d = \frac{|2y^2 + y + 4|}{\sqrt{5}}$$，求最小值时 $$y = -\frac{1}{4}$$，$$d_{\text{min}} = \frac{31}{40}$$。

答案：D

_{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}