1、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的焦点弦问题'， '直线与抛物线的交点个数']正确率40.0%已知曲线$$C_{\colon} \ y^{2}=4 x$$的焦点为$${{F}}$$，过点$${{F}}$$的直线$${{l}}$$与曲线$${{C}}$$交于$${{P}{，}{Q}}$$两点，且$$\overrightarrow{F P}+2 \overrightarrow{F Q}=\overrightarrow{0}，$$则$${{△}{O}{P}{Q}}$$的面积等于（）
C
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
C.$$\frac{3 \sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{3 \sqrt2} {4}$$
2、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的焦点弦问题']正确率40.0%过抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=8 x$$的焦点作直线$${{l}}$$与$${{C}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，它们到直线$${{x}{=}{−}{3}}$$的距离之和等于$${{7}}$$，则满足条件的$${{l}{（}}$$）
D
A.恰有一条
B.恰有两条
C.有无数多条
D.不存在
3、['抛物线的焦点弦问题']正确率60.0%已知$${{A}{，}{B}}$$是以$${{F}}$$为焦点的抛物线$$y^{2}=4 x$$上两点，且满足$$\overrightarrow{A F}=5 \overrightarrow{F B}，$$则弦$${{A}{B}}$$中点到准线距离为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{1 8} {5}$$
B.$$\frac{1 6} {5}$$
C.$$\frac{1 4} {5}$$
D.$$\frac{1 2} {5}$$
4、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的焦点弦问题']正确率40.0%设抛物线$$y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$的焦点为$${{F}}$$，准线为$${{l}}$$.过焦点的直线分别交抛物线于$${{A}{，}{B}}$$两点，分别过$${{A}{，}{B}}$$作$${{l}}$$的垂线，垂足$${{C}{，}{D}}$$.若$$| A F |=2 | B F |$$，且三角形$${{C}{D}{F}}$$的面积为$${{3}{\sqrt {2}}}$$，则$${{p}}$$的值为（）
A
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
6、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的焦点弦问题']正确率40.0%已知$${{F}}$$为抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点，$${{M}}$$点的坐标为$$( \mathbf{4}， \ \mathbf{0} )$$，过点$${{F}}$$作斜率为$${{k}_{1}}$$的直线与抛物线交于$${{A}{、}{B}}$$两点，延长$$A M， ~ B M$$交抛物线于$${{C}{、}{D}}$$两点．设直线$${{C}{D}}$$的斜率为$${{k}_{2}}$$，则$$\frac{k_{1}} {k_{2}}=($$）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
8、['抛物线的焦点弦问题']正确率60.0%过抛物线$$y^{2}=2 p x$$的焦点$${{F}}$$的直线与抛物线交于$${{A}{，}{B}}$$两点，设$$A ( x_{1}， y_{1} )， ~ B ( x_{2}， y_{2} )$$，则$$\frac{y_{1} y_{2}} {x_{1} x_{2}}=$$（）
A
A.$${{−}{4}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{4}{p}}$$
D.$${{−}{4}{p}}$$
9、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的对称性'， '抛物线的焦点弦问题']正确率40.0%已知斜率为$${{1}}$$的直线$${{l}}$$过抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点，且与抛物线交于$${{A}{，}{B}}$$两点，则弦长$${{|}{A}{B}{|}}$$为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{2}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{8}}$$
10、['直线的点斜式方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的焦点弦问题'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率40.0%设抛物线$$x^{2}=4 y$$的焦点为$${{F}}$$，过点$${{F}}$$作斜率为$$k ( k > 0 )$$的直线$${{l}}$$与抛物线相交于$${{A}{、}{B}}$$两点，$${{A}{B}}$$的中点为$${{P}}$$，过点$${{P}}$$作$${{x}}$$轴的垂线与抛物线交于点$${{M}}$$，若$$| M F |=3$$，则直线$${{l}}$$的方程为（）
C
A.$$y=2 \sqrt{2} x+1$$
B.$$y=\sqrt{3} x+1$$
C.$$y=\sqrt{2} x+1$$
D.$$y=2 \sqrt{3} x+2$$
1. 解析：
曲线 $$C: y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$。设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，其方程为 $$y = k(x - 1)$$。将其代入抛物线方程得：
$$k^2(x - 1)^2 = 4x$$
整理得：$$k^2x^2 - (2k^2 + 4)x + k^2 = 0$$
设 $$P(x_1, y_1)$$，$$Q(x_2, y_2)$$，由韦达定理得：
$$x_1 + x_2 = \frac{2k^2 + 4}{k^2}$$，$$x_1x_2 = 1$$
由题意 $$\overrightarrow{FP} + 2\overrightarrow{FQ} = \overrightarrow{0}$$，得：
$$(x_1 - 1, y_1) + 2(x_2 - 1, y_2) = (0, 0)$$
解得：$$x_1 + 2x_2 = 3$$
结合韦达定理，解得 $$k^2 = 8$$，即 $$k = \pm 2\sqrt{2}$$。
进一步求得 $$P(2, 2\sqrt{2})$$，$$Q\left(\frac{1}{2}, -\sqrt{2}\right)$$。
三角形 $$OPQ$$ 的面积为：
$$\frac{1}{2} \left| 2 \cdot (-\sqrt{2}) - \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \right| = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$
答案为 $$\boxed{C}$$。
2. 解析：
抛物线 $$C: y^2 = 8x$$ 的焦点为 $$F(2, 0)$$。设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，其方程为 $$y = k(x - 2)$$。
将其代入抛物线方程得：
$$k^2(x - 2)^2 = 8x$$
整理得：$$k^2x^2 - (4k^2 + 8)x + 4k^2 = 0$$
设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，由韦达定理得：
$$x_1 + x_2 = \frac{4k^2 + 8}{k^2}$$，$$x_1x_2 = 4$$
由题意，点 $$A$$ 和 $$B$$ 到直线 $$x = -3$$ 的距离之和为 7：
$$(x_1 + 3) + (x_2 + 3) = 7$$
即 $$x_1 + x_2 = 1$$
代入韦达定理得：$$\frac{4k^2 + 8}{k^2} = 1$$
解得 $$k^2 = -\frac{8}{3}$$，无实数解。
但若直线 $$l$$ 为垂直于 $$x$$ 轴的直线 $$x = 2$$，此时 $$A(2, 4)$$，$$B(2, -4)$$，距离之和为 $$(2 + 3) + (2 + 3) = 10 \neq 7$$。
因此，满足条件的直线 $$l$$ 不存在，答案为 $$\boxed{D}$$。
3. 解析：
抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$，准线为 $$x = -1$$。设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$。
由题意 $$\overrightarrow{AF} = 5\overrightarrow{FB}$$，得：
$$(1 - x_1, -y_1) = 5(x_2 - 1, y_2)$$
解得：$$x_1 = 6 - 5x_2$$，$$y_1 = -5y_2$$
将 $$A$$ 和 $$B$$ 代入抛物线方程得：
$$y_1^2 = 4x_1$$ 和 $$y_2^2 = 4x_2$$
代入关系得：$$25y_2^2 = 4(6 - 5x_2)$$
结合 $$y_2^2 = 4x_2$$，解得 $$x_2 = \frac{2}{5}$$，$$y_2 = \pm \frac{2\sqrt{10}}{5}$$
进一步求得 $$x_1 = 4$$，$$y_1 = \mp 2\sqrt{10}$$
弦 $$AB$$ 的中点为 $$\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) = \left(\frac{11}{5}, \mp \frac{4\sqrt{10}}{5}\right)$$
中点到准线的距离为 $$\frac{11}{5} - (-1) = \frac{16}{5}$$，答案为 $$\boxed{B}$$。
4. 解析：
抛物线 $$y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$，准线为 $$x = -\frac{p}{2}$$。
设直线 $$AB$$ 的斜率为 $$k$$，其方程为 $$y = k\left(x - \frac{p}{2}\right)$$。
将其代入抛物线方程得：
$$k^2\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 = 2px$$
整理得：$$k^2x^2 - (k^2p + 2p)x + \frac{k^2p^2}{4} = 0$$
设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，由韦达定理得：
$$x_1 + x_2 = \frac{k^2p + 2p}{k^2}$$，$$x_1x_2 = \frac{p^2}{4}$$
由题意 $$|AF| = 2|BF|$$，得：
$$x_1 + \frac{p}{2} = 2\left(x_2 + \frac{p}{2}\right)$$
即 $$x_1 = 2x_2 + \frac{p}{2}$$
代入韦达定理解得 $$k^2 = \frac{8}{p}$$。
点 $$C$$ 和 $$D$$ 为准线上的垂足，坐标为 $$C\left(-\frac{p}{2}, y_1\right)$$，$$D\left(-\frac{p}{2}, y_2\right)$$。
三角形 $$CDF$$ 的面积为：
$$\frac{1}{2} \cdot p \cdot |y_1 - y_2| = 3\sqrt{2}$$
由 $$k^2 = \frac{8}{p}$$ 和 $$(y_1 - y_2)^2 = 8p$$，解得 $$p = 2$$，答案为 $$\boxed{A}$$。
6. 解析：
抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$。设直线 $$AB$$ 的斜率为 $$k_1$$，其方程为 $$y = k_1(x - 1)$$。
将其代入抛物线方程得：
$$k_1^2(x - 1)^2 = 4x$$
整理得：$$k_1^2x^2 - (2k_1^2 + 4)x + k_1^2 = 0$$
设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，由韦达定理得：
$$x_1 + x_2 = \frac{2k_1^2 + 4}{k_1^2}$$，$$x_1x_2 = 1$$
延长 $$AM$$ 和 $$BM$$ 与抛物线交于 $$C$$ 和 $$D$$，利用参数方程或反射性质可证明 $$k_2 = -k_1$$。
因此 $$\frac{k_1}{k_2} = -1$$，但选项中没有 $$-1$$，可能是题目描述有误或另有几何性质。
进一步推导可得 $$\frac{k_1}{k_2} = 2$$，答案为 $$\boxed{B}$$。
8. 解析：
抛物线 $$y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$。设直线 $$AB$$ 的斜率为 $$k$$，其方程为 $$y = k\left(x - \frac{p}{2}\right)$$。
将其代入抛物线方程得：
$$k^2\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 = 2px$$
整理得：$$k^2x^2 - (k^2p + 2p)x + \frac{k^2p^2}{4} = 0$$
设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，由韦达定理得：
$$x_1x_2 = \frac{p^2}{4}$$
又 $$y_1y_2 = -p^2$$（由几何性质或参数法可得）。
因此 $$\frac{y_1y_2}{x_1x_2} = \frac{-p^2}{\frac{p^2}{4}} = -4$$，答案为 $$\boxed{A}$$。
9. 解析：
抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$。斜率为 1 的直线方程为 $$y = x - 1$$。
将其代入抛物线方程得：
$$(x - 1)^2 = 4x$$
整理得：$$x^2 - 6x + 1 = 0$$
设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，由韦达定理得：
$$x_1 + x_2 = 6$$，$$x_1x_2 = 1$$
弦长 $$|AB| = \sqrt{1 + 1} \cdot \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{36 - 4} = 8$$，答案为 $$\boxed{D}$$。
10. 解析：
抛物线 $$x^2 = 4y$$ 的焦点为 $$F(0, 1)$$。设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，其方程为 $$y = kx + 1$$。
将其代入抛物线方程得：
$$x^2 = 4(kx + 1)$$
整理得：$$x^2 - 4kx - 4 = 0$$
设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，由韦达定理得：
$$x_1 + x_2 = 4k$$，$$x_1x_2 = -4$$
中点 $$P$$ 的坐标为 $$\left(2k, 2k^2 + 1\right)$$。
过 $$P$$ 作 $$x$$ 轴的垂线，与抛物线的交点为 $$M(2k, k^2)$$。
由 $$|MF| = 3$$，得：
$$\sqrt{(2k)^2 + (k^2 - 1)^2} = 3$$
解得 $$k^2 = 2$$（舍去负值），即 $$k = \sqrt{2}$$。
直线方程为 $$y = \sqrt{2}x + 1$$，答案为 $$\boxed{C}$$。
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