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正确率60.0%已知点$${{A}{，}{B}}$$在抛物线$$y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$上$${，{O}}$$是坐标原点，若等边三角形$${{O}{A}{B}}$$的面积为$${{4}{\sqrt {3}}{，}}$$则该抛物线的方程是（）
A
A.$$y^{2}=\frac{2 \sqrt{3}} {3} x$$
B.$$y^{2}=\sqrt{3} x$$
C.$$y^{2}=2 \sqrt{3} x$$
D.$$y^{2}=\frac{\sqrt{3}} {3} x$$
2、['两点间的距离'， '直线的点斜式方程'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的焦点弦问题']正确率40.0%过抛物线$$y=a x^{2} ( a > 0 )$$的焦点$${{F}}$$作一直线交抛物线于$${{P}{，}{Q}}$$两点，若$${{P}{F}}$$与$${{F}{Q}}$$的长分别为$${{p}{，}{q}}$$，则$$\frac1 p+\frac1 q$$等于（）
C
A.$${{2}{a}}$$
B.$$\frac{1} {2 a}$$
C.$${{4}{a}}$$
D.$$\frac{4} {a}$$
3、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '直线与抛物线的综合应用'， '两条直线垂直']正确率40.0%已知抛物线$$C \colon~ y^{2}=2 p x ~ ( p > 0 )$$经过点$$( 1， ~-2 )$$，过焦点$${{F}}$$的直线$${{l}}$$与抛物线$${{C}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，$$Q (-\frac{7} {2}， \ 0 )$$，若$$B Q \perp B F$$，则$$| B F |-| A F |=\c($$）
B
A.$${{−}{1}}$$
B.$$- \frac{3} {2}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{−}{4}}$$
4、['抛物线的标准方程'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%以双曲线$$\frac{x^{2}} {3}-\frac{y^{2}} {6}=1$$的右焦点为焦点的抛物线标准方程为$${{(}{)}}$$
A
A.$$y^{2}=1 2 x$$
B.$$x^{2}=1 2 y$$
C.$$y^{2}=6 x$$
D.$$x^{2}=6 y$$
5、['两点间的距离'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的定义'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']正确率40.0%设点$${{A}}$$的坐标为$$( 1， \sqrt{1 5} )$$，点$${{P}}$$在抛物线$$y^{2}=8 x$$上移动，$${{P}}$$到直线$${{x}{=}{−}{1}}$$的距离为$${{d}}$$，则$$d+| P A |$$的最小值为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
6、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的定义']正确率60.0%过抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点$${{F}}$$的直线交该抛物线于点$${{A}}$$．若$$| A F |=3$$，则点$${{A}}$$的坐标为（）
C
A.$$( 2， ~ 2 \sqrt{2} )$$
B.$$( \mathrm{\bf~ 2}， \mathrm{\bf~-2 \sqrt2} )$$
C.$$( \mathrm{\bf~ 2}， \ \pm2 \sqrt{2} )$$
D.$$( 1， \ \ \pm2 )$$
7、['椭圆的标准方程'， '抛物线的标准方程'， '根据方程研究曲线的性质'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%$${}$$方程$$( \ q+1 ) \， \ x^{2}+m y^{2} \!=\! m \， \left( \ q+1 \right)$$表示的曲线不可能是（）
B
A.椭圆
B.抛物线
C.双曲线
D.直线
8、['抛物线的标准方程'， '直线与圆锥曲线的其他应用']正确率60.0%要建造一座跨度为$${{1}{6}}$$米，拱高为$${{4}}$$米的抛物线拱桥，建桥时，每隔$${{4}}$$米用一根柱支撑，两边的柱长应为（）
A
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
9、['圆的定义与标准方程'， '两点间的距离'， '抛物线的标准方程'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%点$${{P}}$$在抛物线$$y^{2}=2 x$$上，点$${{Q}}$$在圆$$\left( x-2 \right)^{2}+y^{2}=1$$上，则$${{|}{P}{Q}{|}}$$的最小值为（）
D
A.$${{3}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\sqrt3-1$$
10、['抛物线的标准方程'， '抛物线的定义'， '抛物线的焦点弦问题']正确率60.0%过抛物线$$y^{2}=2 p x \ ( p > 0 )$$的焦点$${{F}}$$的直线交抛物线于$${{A}{，}{B}}$$两点，若线段$${{A}{B}}$$中点的横坐标为$${{3}}$$，且$$| A B |={\frac{5} {2}} p$$，则$${{p}{=}}$$（）
D
A.$${{8}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{4}}$$
1. 已知点$$A, B$$在抛物线$$y^2 = 2 p x (p > 0)$$上，$$O$$是坐标原点，若等边三角形$$OAB$$的面积为$$4 \sqrt{3}$$，则该抛物线的方程是（ ）。
设$$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，由$$y^2 = 2 p x$$，且$$OAB$$为等边三角形，有$$|OA| = |OB| = |AB|$$。利用对称性，设$$A$$和$$B$$关于$$x$$轴对称，即$$A(x, y)$$，$$B(x, -y)$$。则$$|OA| = \sqrt{x^2 + y^2}$$，$$|AB| = 2|y|$$。由等边条件：$$\sqrt{x^2 + y^2} = 2|y|$$，平方得$$x^2 + y^2 = 4 y^2$$，即$$x^2 = 3 y^2$$。代入抛物线：$$y^2 = 2 p x = 2 p \sqrt{3} |y|$$，若$$y > 0$$，则$$y = 2 p \sqrt{3}$$，$$x = \sqrt{3} y = 6 p$$。面积$$S = \frac{\sqrt{3}}{4} |AB|^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (2y)^2 = \sqrt{3} y^2 = \sqrt{3} \cdot 12 p^2 = 12 \sqrt{3} p^2 = 4 \sqrt{3}$$，解得$$p^2 = \frac{1}{3}$$，$$p = \frac{\sqrt{3}}{3}$$。抛物线方程为$$y^2 = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} x = \frac{2 \sqrt{3}}{3} x$$。
答案：A
2. 过抛物线$$y = a x^2 (a > 0)$$的焦点$$F$$作一直线交抛物线于$$P, Q$$两点，若$$PF$$与$$FQ$$的长分别为$$p, q$$，则$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q}$$等于（ ）。
抛物线标准形式：$$x^2 = \frac{1}{a} y$$，焦点$$F(0, \frac{1}{4a})$$。设直线斜率为$$k$$，方程为$$y = k x + \frac{1}{4a}$$。与抛物线联立：$$x^2 = \frac{1}{a} (k x + \frac{1}{4a})$$，整理得$$4a x^2 - 4k a x - 1 = 0$$。设根为$$x_1, x_2$$，则$$p = |PF|$$，$$q = |FQ|$$为焦半径。由抛物线性质，$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{2}{d}$$，其中$$d$$为焦点到准线距离，这里$$d = \frac{1}{2a}$$，故$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 4a$$。
答案：C
3. 已知抛物线$$C: y^2 = 2 p x (p > 0)$$经过点$$(1, -2)$$，过焦点$$F$$的直线$$l$$与抛物线$$C$$交于$$A, B$$两点，$$Q(-\frac{7}{2}, 0)$$，若$$BQ \perp BF$$，则$$|BF| - |AF| =$$（ ）。
代入点$$(1, -2)$$：$$4 = 2 p \cdot 1$$，得$$p = 2$$，抛物线$$y^2 = 4x$$，焦点$$F(1, 0)$$。设$$B(x_1, y_1)$$，由$$BQ \perp BF$$，向量$$\overrightarrow{QB} = (x_1 + \frac{7}{2}, y_1)$$，$$\overrightarrow{FB} = (x_1 - 1, y_1)$$，点积为零：$$(x_1 + \frac{7}{2})(x_1 - 1) + y_1^2 = 0$$。又$$y_1^2 = 4 x_1$$，代入得$$(x_1 + \frac{7}{2})(x_1 - 1) + 4 x_1 = 0$$，整理得$$x_1^2 + \frac{5}{2} x_1 - \frac{7}{2} + 4 x_1 = x_1^2 + \frac{13}{2} x_1 - \frac{7}{2} = 0$$，即$$2 x_1^2 + 13 x_1 - 7 = 0$$，解得$$x_1 = \frac{1}{2}$$（舍负）。则$$|BF| = x_1 + \frac{p}{2} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$$。由焦点弦性质，$$|AF| = \frac{p}{1 - \cos \theta}$$，$$|BF| = \frac{p}{1 + \cos \theta}$$，得$$|AF| = \frac{2}{1 - \cos \theta}$$，$$|BF| = \frac{2}{1 + \cos \theta} = \frac{3}{2}$$，解得$$\cos \theta = \frac{1}{3}$$，$$|AF| = \frac{2}{1 - 1/3} = 3$$。故$$|BF| - |AF| = \frac{3}{2} - 3 = -\frac{3}{2}$$。
答案：B
4. 以双曲线$$\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{6} = 1$$的右焦点为焦点的抛物线标准方程为（ ）。
双曲线$$a^2 = 3$$，$$b^2 = 6$$，$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = 3$$，右焦点$$(3, 0)$$。抛物线以$$(3, 0)$$为焦点，则开口向右，标准形式$$y^2 = 4 p x$$，焦点$$(p, 0)$$，故$$p = 3$$，方程为$$y^2 = 12 x$$。
答案：A
5. 设点$$A$$的坐标为$$(1, \sqrt{15})$$，点$$P$$在抛物线$$y^2 = 8 x$$上移动，$$P$$到直线$$x = -1$$的距离为$$d$$，则$$d + |PA|$$的最小值为（ ）。
抛物线$$y^2 = 8 x$$，焦点$$F(2, 0)$$，准线$$x = -2$$。点$$P$$到$$x = -1$$的距离$$d = x_P + 1$$。$$d + |PA| = (x_P + 1) + |PA|$$。考虑将$$d$$转化：$$x_P + 1 = (x_P + 2) - 1 = |PF| - 1$$，因$$|PF| = x_P + 2$$。故$$d + |PA| = |PF| + |PA| - 1$$。最小值即$$|PF| + |PA|$$最小，当$$P$$在$$AF$$连线上时取最小，为$$|AF| = \sqrt{(1-2)^2 + (\sqrt{15}-0)^2} = \sqrt{1 + 15} = 4$$。故$$d + |PA| = 4 - 1 = 3$$。
答案：C
6. 过抛物线$$y^2 = 4 x$$的焦点$$F$$的直线交该抛物线于点$$A$$。若$$|AF| = 3$$，则点$$A$$的坐标为（ ）。
焦点$$F(1, 0)$$，设$$A(x, y)$$，焦半径$$|AF| = x + \frac{p}{2} = x + 1 = 3$$，故$$x = 2$$。代入抛物线：$$y^2 = 4 \cdot 2 = 8$$，$$y = \pm 2 \sqrt{2}$$。坐标为$$(2, \pm 2 \sqrt{2})$$。
答案：C
7. 方程$$(q+1) x^2 + m y^2 = m (q+1)$$表示的曲线不可能是（ ）。
整理方程：$$\frac{x^2}{m} + \frac{y^2}{q+1} = 1$$。当$$m > 0$$，$$q+1 > 0$$且$$m \neq q+1$$时为椭圆；$$m = q+1$$时为圆；当$$m(q+1) < 0$$时为双曲线；当$$m = 0$$或$$q+1 = 0$$时退化为直线。但方程中$$y^2$$系数为$$m$$，无$$x$$或$$y$$的一次项，故不可能表示抛物线（因抛物线方程需一次项）。
答案：B
8. 要建造一座跨度为$$16$$米，拱高为$$4$$米的抛物线拱桥，建桥时，每隔$$4$$米用一根柱支撑，两边的柱长应为（ ）。
建立坐标系：以桥顶为原点，向下为$$y$$轴正方向，抛物线方程为$$x^2 = -2 p y$$。当$$y = -4$$时，$$x = \pm 8$$，代入得$$64 = -2 p (-4) = 8 p$$，$$p = 8$$，方程为$$x^2 = -16 y$$。两边柱位置$$x = \pm 4$$，代入得$$16 = -16 y$$，$$y = -1$$，故柱长$$4 - 1 = 3$$米（从桥面$$y = -4$$到柱顶$$y = -1$$）。
答案：A
9. 点$$P$$在抛物线$$y^2 = 2 x$$上，点$$Q$$在圆$$(x-2)^2 + y^2 = 1$$上，则$$|PQ|$$的最小值为（ ）。
抛物线焦点$$F(\frac{1}{2}, 0)$$，准线$$x = -\frac{1}{2}$$。圆圆心$$C(2, 0)$$，半径$$r = 1$$。$$|PQ|$$最小可转化为$$|PF|$$（因$$P$$到准线距离等于$$|PF|$$）与$$|QC|$$关系。实际上，求$$|PC| - r$$最小。设$$P(x, y)$$，$$y^2 = 2 x$$，$$|PC| = \sqrt{(x-2)^2 + y^2} = \sqrt{(x-2)^2 + 2x} = \sqrt{x^2 - 4x + 4 + 2x} = \sqrt{x^2 - 2x + 4} = \sqrt{(x-1)^2 + 3}$$，最小值$$\sqrt{3}$$当$$x=1$$。故$$|PQ| \geq |PC| - r \geq \sqrt{3} - 1$$。
答案：D
10. 过抛物线$$y^2 = 2 p x (p > 0)$$的焦点$$F$$的直线交抛物线于$$A, B$$两点，若线段$$AB$$中点的横坐标为$$3$$，且$$|AB| = \frac{5}{2} p$$，则$$p =$$（ ）。
焦点$$F(\frac{p}{2}, 0)$$。设直线斜率为$$k$$，方程$$y = k(x - \frac{p}{2})$$。与抛物线联立：$$k^2 (x - \frac{p}{2})^2 = 2 p x$$，整理得$$k^2 x^2 - (k^2 p + 2p) x + \frac{k^2 p^2}{4} = 0$$。根和$$x_1 + x_2 = \frac{k^2 p + 2p}{k^2} = p + \frac{2p}{k^2}$$。中点横坐标$$\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{p}{2} + \frac{p}{k^2} = 3$$。又$$|AB| = x_1 + x_2 + p = (x_1 + x_2) + p = \frac{5}{2} p$$，故$$x_1 + x_2 = \frac{3}{2} p$$。代入前式：$$\frac{3}{2} p = p + \frac{2p}{k^2}$$，得$$\frac{2p}{k^2} = \frac{p}{2}$$，$$k^2 = 4$$。再由$$\frac{p}{2} + \frac{p}{4} = \frac{3p}{4} = 3$$，得$$p = 4$$。
答案：D