抛物线的对称性-抛物线知识点考前进阶选择题自测题答案-湖南省等高一数学选择必修,平均正确率52.0%

1、['用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性'， '直线与抛物线的综合应用'， '直线的斜率']

正确率40.0%已知抛物线$${{y}^{2}{=}{2}{p}{x}{（}{p}{>}{0}{）}}$$的焦点为$${{F}}$$，准线为$${{l}}$$，过点$${{F}}$$的直线交抛物线于$${{A}{，}{B}}$$两点，点$${{A}}$$在$${{l}}$$上的射影为$${{A}_{1}}$$．若$${{|}{A}{B}{|}{=}{|}{{A}_{1}}{B}{|}}$$，则直线$${{A}{B}}$$的斜率为（）

A.$${{±}{3}}$$

B.$${{±}{2}{\sqrt {2}}}$$

C.$${{±}{2}}$$

D.$${{±}{\sqrt {2}}}$$

2、['抛物线的对称性']

正确率80.0%抛物线$${{x}^{2}{=}{4}{y}}$$的对称轴是直线（）

A.$${{x}{=}{−}{2}}$$

B.$${{y}{=}{2}}$$

C.$${{y}{=}{0}}$$

D.$${{x}{=}{0}}$$

3、['抛物线的定义'， '抛物线的对称性']

正确率40.0%已知等边三角形的一个顶点为抛物线$$y=\frac{1} {2} x^{2}$$的焦点，另外两个顶点在该抛物线上，则这个等边三角形的边长为（）

A.$${{4}{±}{2}{\sqrt {3}}}$$

B.$${{3}{±}{2}{\sqrt {3}}}$$

C.$$4 \pm\frac{\sqrt3} {2}$$

D.$$3 \pm\frac{\sqrt3} {2}$$

4、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性'， '抛物线的定义']

正确率60.0%已知抛物线$${{y}{=}{a}{{x}^{2}}}$$上点$${{P}{（}{{x}_{0}}{，}{2}{）}}$$到焦点的距离为$${{3}}$$，则点$${{P}}$$到$${{y}}$$轴的距离是（）

A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{2}}$$

5、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性']

正确率19.999999999999996%已知等边$${{△}{A}{O}{B}{（}{O}}$$为坐标原点）的三个顶点在抛物线$${{Γ}{：}{{y}^{2}}{=}{2}{p}{x}{（}{p}{>}{0}{）}}$$上，且$${{△}{A}{O}{B}}$$的面积为$${{9}{\sqrt {3}}}$$，则$${{p}{=}{（}}$$）

A.$${\sqrt {3}}$$

B.$${{3}}$$

C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

6、['抛物线的对称性'， '二次函数的图象分析与判断']

正确率60.0%若函数$${{y}{=}{{x}^{2}}{−}{3}{x}{−}{4}}$$的定义域为$${{[}{0}{，}{m}{]}}$$，值域为$$[-\frac{2 5} {4}，-4 ]$$，则实数$${{m}}$$的取值范围$${{(}{)}}$$

A.$$[ \frac{3} {2}， 3 ]$$

B.$${{(}{0}{，}{4}{]}}$$

C.$$[ \frac{3} {2}， 4 ]$$

D.$$[ \frac{3} {2}，+\infty)$$

7、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的对称性']

正确率40.0%已知点$${{A}{（}{0}{，}{2}{）}}$$，抛物线$${{C}{：}{{y}^{2}}{=}{2}{p}{x}{（}{p}{>}{0}{）}}$$的焦点为$${{F}}$$，射线$${{F}{A}}$$与抛物线$${{C}}$$交于点$${{M}}$$，与抛物线准线相交于$${{N}}$$，若$${{|}{M}{N}{|}{=}{\sqrt {5}}{|}{F}{M}{|}}$$，则$${{p}}$$的值为（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

8、['抛物线的对称性']

正确率60.0%已知点$${{P}}$$是抛物线$${{y}^{2}{=}{4}{x}}$$上的一个动点，则点$${{P}}$$到点$${{A}{（}{0}{，}{2}{）}}$$的距离与点$${{P}}$$到$${{y}}$$轴的距离之和的最小值为（）

A.$${{2}}$$

B.$${\sqrt {5}}$$

C.$${\sqrt {5}{+}{1}}$$

D.$${\sqrt {5}{−}{1}}$$

9、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性'， '抛物线的定义']

正确率60.0%已知点$${{P}}$$在以原点为顶点$${、}$$以坐标轴为对称轴的抛物线$${{C}}$$上，抛物线$${{C}}$$的焦点为$${{F}}$$，准线为$${{l}}$$，过点$${{P}}$$作$${{l}}$$的垂线，垂足为$${{Q}}$$，若$$\angle P F Q=\frac{\pi} {6}， \， \， \triangle P F Q$$的面积为$${\sqrt {3}{，}}$$则焦点$${{F}}$$到准线$${{l}}$$的距离为（）

A.$${{1}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

D.$${{3}}$$

10、['抛物线的对称性'， '圆中的对称问题']

正确率60.0%已知抛物线$${{y}^{2}{=}{2}{p}{x}{(}{p}{>}{0}{)}}$$与圆$${{(}{x}{−}{a}{{)}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{{r}^{2}}{(}{a}{>}{0}{)}}$$有且只有一个公共点，则$${{(}{)}}$$

A.$${{r}{=}{a}{=}{p}}$$

B.$${{r}{=}{a}{⩽}{p}}$$

C.$${{r}{<}{a}{⩽}{p}}$$

D.$${{r}{<}{a}{=}{p}}$$

1. 解析：

抛物线 $$y^2=2px$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{p}{2},0\right)$$，准线为 $$x=-\frac{p}{2}$$。设直线 $$AB$$ 的斜率为 $$k$$，其方程为 $$y=k\left(x-\frac{p}{2}\right)$$。联立抛物线方程得：

$$k^2x^2 - (k^2p+2p)x + \frac{k^2p^2}{4} = 0$$

设 $$A(x_1,y_1)$$，则 $$A_1\left(-\frac{p}{2},y_1\right)$$。由题意 $$|AB|=|A_1B|$$，利用距离公式化简可得 $$k^2=8$$，故斜率为 $$±2\sqrt{2}$$。答案为 B。

2. 解析：

抛物线 $$x^2=4y$$ 的标准形式为 $$x^2=4py$$，其对称轴为 $$x=0$$。答案为 D。

3. 解析：

抛物线 $$y=\frac{1}{2}x^2$$ 的焦点为 $$(0,1)$$。设等边三角形另两点为 $$(x,\frac{1}{2}x^2)$$ 和 $$(-x,\frac{1}{2}x^2)$$。由边长相等和点到点距离公式解得 $$x^2=4±2\sqrt{3}$$，边长为 $$4±2\sqrt{3}$$。答案为 A。

4. 解析：

抛物线 $$y=ax^2$$ 化为标准形式 $$x^2=\frac{1}{a}y$$，其焦点为 $$\left(0,\frac{1}{4a}\right)$$。点 $$P(x_0,2)$$ 到焦点的距离为 $$3$$，利用距离公式解得 $$x_0^2=8$$，故点 $$P$$ 到 $$y$$ 轴的距离为 $$2\sqrt{2}$$。答案为 C。

5. 解析：

设等边三角形 $$△AOB$$ 顶点坐标为 $$A(x_1,y_1)$$、$$B(x_1,-y_1)$$ 和 $$O(0,0)$$。由抛物线方程和等边条件得 $$y_1^2=2px_1$$，且边长为 $$2y_1$$。面积为 $$9\sqrt{3}$$，解得 $$p=3$$。答案为 B。

6. 解析：

函数 $$y=x^2-3x-4$$ 在 $$x\in[0,m]$$ 的最小值为 $$-\frac{25}{4}$$（顶点处），且 $$y(0)=-4$$。由值域要求，$$m$$ 必须包含顶点 $$x=\frac{3}{2}$$ 且不超过 $$x=3$$（此时 $$y=-4$$）。故 $$m\in\left[\frac{3}{2},3\right]$$。答案为 A。

7. 解析：

焦点 $$F\left(\frac{p}{2},0\right)$$，射线 $$FA$$ 的方程为 $$y=\frac{4}{p}x+2$$。联立抛物线得 $$M\left(\frac{p^2}{8},p+2\right)$$，与准线 $$x=-\frac{p}{2}$$ 交于 $$N\left(-\frac{p}{2},0\right)$$。由 $$|MN|=\sqrt{5}|FM|$$ 解得 $$p=2$$。答案为 C。

8. 解析：

点 $$P$$ 到 $$y$$ 轴的距离为 $$|x|$$，问题转化为求 $$|PA|+|x|$$ 的最小值。利用抛物线定义和几何性质，最小值为焦点 $$(1,0)$$ 到点 $$A(0,2)$$ 的距离减 $$1$$，即 $$\sqrt{5}-1$$。答案为 D。

9. 解析：

设抛物线方程为 $$y^2=4px$$ 或 $$x^2=4py$$。由 $$\angle PFQ=\frac{\pi}{6}$$ 和面积 $$\sqrt{3}$$，可得 $$|PQ|=2$$，故焦点到准线的距离为 $$2$$。但进一步计算表明实际距离为 $$2\sqrt{3}$$。答案为 C。

10. 解析：

抛物线与圆相切时，联立方程有唯一解。由几何对称性，圆心必须在抛物线的顶点 $$(a,0)$$ 处，且半径 $$r=a$$。为保证唯一交点，需 $$r=a \leq p$$。答案为 B。

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