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正确率40.0%已知抛物线$$C_{\colon} \， \， x^{2}=2 p y ( p > 0 )$$与直线$${{y}{=}{5}}$$交于$${{M}{、}{N}}$$两点，$${{O}}$$为坐标原点，若线段$${{△}{O}{M}{N}}$$的垂心恰为抛物线$${{C}}$$的焦点，则抛物线$${{C}}$$的方程为（）
C
A.$$x^{2}=9 y$$
B.$$x^{2}=4 \sqrt{2} y$$
C.$$x^{2}=4 y$$
D.$$x^{2}=2 y$$
2、['抛物线的对称性']正确率60.0%若点$$( m， ~ n )$$在抛物线$$y^{2}=-1 3 x$$上，则下列点中一定在该抛物线上的是（）
B
A.$$(-m， ~-n )$$
B.$$( m， ~-n )$$
C.$$(-m， ~ n )$$
D.$$(-n， ~-m )$$
3、['抛物线的标准方程'， '抛物线的对称性']正确率60.0%已知等腰直角三角形$${{A}{O}{B}}$$内接于抛物线$$y^{2}=2 p x ( p > 0 )， \， \， \， O$$为抛物线的顶点$$， \， \， O A \perp O B，$$则$${{△}{A}{O}{B}}$$的面积是（）
B
A.$${{8}{{p}^{2}}}$$
B.$${{4}{{p}^{2}}}$$
C.$${{2}{{p}^{2}}}$$
D.$${{p}^{2}}$$
4、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性']正确率60.0%已知圆$$x^{2}+y^{2}=1$$与抛物线$$y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$交于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点，与抛物线的准线交于$${{C}}$$，$${{D}}$$两点，若四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$是矩形，则$${{p}}$$等于（）
D
A.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{2}} {5}$$
C.$$\frac{5 \sqrt{2}} {2}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
5、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性'， '直线与抛物线的综合应用']正确率40.0%已知等边三角形的一个顶点坐标是$$( \mathrm{\frac{\sqrt{3}} {4}}， \mathrm{\ 0} )$$，另外两个顶点在抛物线$$y^{2}=\sqrt{3} x$$上，则这个等边三角形的边长为（）
C
A.$${{3}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}{±}{3}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}{+}{3}}$$
6、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的对称性']正确率60.0%抛物线$$x^{2}=4 y$$关于直线$$x+y=0$$的对称曲线的焦点坐标为（）
B
A.$$( {\bf1}， \enspace0 )$$
B.$$( \ -1， \ 0 )$$
C.$$( {\frac{1} {1 6}}， ~ 0 )$$
D.$$( 0， ~-\frac{1} {1 6} )$$
7、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性'， '直线与抛物线的综合应用']正确率60.0%过抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=8 x$$的焦点$${{F}}$$的直线$${{l}{（}}$$倾斜角为锐角）交抛物线于$${{P}{，}{Q}}$$两点，若$${{R}}$$为线段$${{P}{Q}}$$的中点，连接$${{O}{R}}$$并延长交抛物线$${{C}}$$于点$${{S}}$$，已知$$| \frac{O S} {O R} |=3$$，则直线$${{l}}$$的斜率是（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
8、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性']正确率40.0%已知$${{F}}$$为抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=4 x$$的集点，$$A， ~ B， ~ C$$为抛物线$${{C}}$$上三点，当$$\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{F B}+\overrightarrow{F C}=\overrightarrow{0}$$时，称$${{△}{A}{B}{C}}$$为$${{“}}$$和谐三角形$${{”}}$$，则$${{“}}$$和谐三角形$${{”}}$$有（）
D
A.$${{0}}$$个
B.$${{1}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.无数个
9、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性'， '抛物线的定义'， '直线与抛物线的综合应用']正确率19.999999999999996%已知抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=2 x$$的焦点为$${{F}}$$，直线$${{l}^{′}}$$过$${{F}}$$与$${{C}}$$交于$${{A}{、}{B}}$$两点，与抛物线的准线$${{l}}$$交于点$${{P}}$$，若$$| A F |=2 | B F |$$，则$$| P F |=~ ($$）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{6}}$$
10、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性'， '直线的斜率']正确率40.0%直线$${{l}}$$经过抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点$${{F}}$$，交抛物线于$${{A}{，}{B}}$$两点，过$${{A}{，}{B}}$$作抛物线的准线的垂线，垂足分别为$${{M}{，}{N}}$$，若直线$${{M}{F}}$$的斜率是$${{3}}$$，则直线$${{N}{F}}$$的斜率为（）
A
A.$$- \frac{1} {3}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
D.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
1. 抛物线方程为$$x^{2}=2 p y$$，与直线$$y=5$$的交点为$$M(\sqrt{10p},5)$$和$$N(-\sqrt{10p},5)$$。焦点为$$F(0,\frac{p}{2})$$。
垂心条件：$$k_{OF} \times k_{MN} = -1$$，即$$\frac{\frac{p}{2}-0}{0-0}$$无意义，需用向量法。向量$$\overrightarrow{OM}=(\sqrt{10p},5)$$，$$\overrightarrow{FM}=(\sqrt{10p},5-\frac{p}{2})$$，$$\overrightarrow{FN}=(-\sqrt{10p},5-\frac{p}{2})$$。
由垂心性质：$$\overrightarrow{FM} \cdot \overrightarrow{ON}=0$$，即$$-10p + 5(5-\frac{p}{2})=0$$，解得$$p=2$$。
答案：C.$$x^{2}=4 y$$
2. 点$$(m,n)$$在抛物线上满足$$n^{2}=-13 m$$。验证选项：
A.$$(-m,-n)$$：$$(-n)^{2}=-13(-m) \Rightarrow n^{2}=13m$$不成立。
B.$$(m,-n)$$：$$(-n)^{2}=-13m \Rightarrow n^{2}=-13m$$成立。
答案：B.$$(m,-n)$$
3. 设$$A(a^{2}/2p,a)$$，$$B(b^{2}/2p,b)$$。由$$OA \perp OB$$得$$\frac{a^{2}}{2p} \times \frac{b^{2}}{2p} + a \times b = 0$$，即$$ab(ab+4p^{2})=0$$，故$$ab=-4p^{2}$$。
等腰直角三角形条件：$$|OA|=|OB|$$，解得$$a^{2}=b^{2}=4p^{2}$$。
面积：$$\frac{1}{2} \times 2\sqrt{2}p \times 2\sqrt{2}p = 4p^{2}$$。
答案：B.$$4p^{2}$$
4. 矩形条件：$$AB$$与$$CD$$平行且垂直平分。抛物线与圆交点$$A(x,\sqrt{2px})$$，准线为$$x=-\frac{p}{2}$$。
由对称性，$$AB$$为水平线，故$$y=\pm \sqrt{1-\frac{p^{2}}{4}}$$。矩形对角线交点$$(0,0)$$，解得$$p=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$。
答案：D.$$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$$
5. 设顶点$$(\frac{\sqrt{3}}{4},0)$$，另两点$$(x,\pm \sqrt{\sqrt{3}x})$$。等边条件：边长相等，解得边长为$$2\sqrt{3}+3$$。
答案：D.$$2\sqrt{3}+3$$
6. 抛物线$$x^{2}=4y$$的焦点为$$(0,1)$$。关于$$x+y=0$$对称点为$$(-1,0)$$。
答案：B.$$(-1,0)$$
7. 设直线$$l$$斜率为$$k$$，参数方程代入抛物线得$$k^{2}x^{2}-(8+4k^{2})x+4k^{2}=0$$。
由$$|OS/OR|=3$$及中点公式得$$k=2$$。
答案：D.$$2$$
8. 由$$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=0$$知$$F$$为重心。满足条件的三角形有无数个。
答案：D.无数个
9. 设$$A(2a^{2},2a)$$，$$B(2b^{2},2b)$$。由$$|AF|=2|BF|$$得$$a=-2b$$。
直线方程与准线交点$$P(-1/2, \frac{a+b}{2})$$，计算得$$|PF|=3$$。
答案：B.$$3$$
10. 设$$A(a^{2},2a)$$，$$B(b^{2},2b)$$。由$$k_{MF}=3$$得$$a=3$$，$$b=-1/3$$。
故$$k_{NF}=-1/3$$。
答案：A.$$-\frac{1}{3}$$