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正确率60.0%已知抛物线$$C : y^{2}=x$$的焦点为$${{F}}$$，直线$${{l}}$$过点$${{F}}$$与抛物线$${{C}}$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，且$$\overrightarrow{A F}=3 \overrightarrow{F B}$$，则直线$${{l}}$$的斜率为（）
B
A.$$\pm\frac{\sqrt3} {3}$$
B.$${{±}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{±}{1}}$$
D.$$\pm\frac{\sqrt{3}} {2}$$
2、['抛物线的标准方程'， '三角形的面积（公式）'， '抛物线的其他性质']正确率60.0%已知直线$${{x}}$$过抛物线$$C_{\colon} \， \， x^{2}=2 p y ( p > 0 )$$的焦点且与对称轴垂直，与抛物线$${{C}}$$交于$${{M}{、}{N}}$$两点，点$${{P}}$$为其准线上一点，若$${{△}{M}{N}{P}}$$的面积为$${{1}{6}}$$，则$${{p}{=}{（}}$$）
B
A.$${{5}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{2}}$$
3、['抛物线的其他性质'， '直线的倾斜角']正确率60.0%过抛物线$$x^{2}=2 p y ( p > 0 )$$的焦点$${{F}}$$，且倾斜角为$${{3}{0}^{∘}}$$的直线$${{l}}$$与抛物线在第一，二象限分别交于$${{A}{，}{B}}$$两点，则
）
C
A.$${{5}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{2}}$$
4、['双曲线的离心率'， '抛物线的其他性质']正确率19.999999999999996%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$为双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b \geqslant0 )$$的左$${、}$$右焦点，抛物线$$y^{2}=\frac{b ( a^{2}-b^{2} )} {a^{2}} x$$与双曲线交于$${{A}{，}{B}}$$两点．若$$A， ~ B， ~ F_{1}， ~ F_{2}$$四点在同一圆上，则双曲线的离心率的平方为（）
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{1}{+}{\sqrt {2}}}$$
C.$$1+\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$${{2}{+}{\sqrt {2}}}$$
5、['抛物线的定义'， '抛物线的其他性质']正确率60.0%已知$$P_{1}， P_{2}， \ldots， P_{n}$$是抛物线$$C : y^{2}=4 x$$上的点，它们的横坐标依次为$$x_{1}， x_{2}， \dots， ~ x_{n}， F$$是抛物线$${{C}}$$的焦点，若$$x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=1 0，$$则$$| P_{1} F |+| P_{2} F |+\ldots+| P_{n} F |=$$（）
A
A.$${{n}{+}{{1}{0}}}$$
B.$${{n}{+}{{2}{0}}}$$
C.$${{2}{n}{+}{{1}{0}}}$$
D.$${{2}{n}{+}{{2}{0}}}$$
6、['抛物线的定义'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的其他性质']正确率40.0%已知不过原点的直线$${{l}}$$与抛物线$$C \colon~ y^{2}=2 p x ~ ( p > 0 )$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$$| A F |=2 | B F |$$，且$$\angle A F B=9 0^{\circ} \，，$$则直
线$${{l}}$$的斜率为（）
C
A.$${{±}{1}}$$
B.$${{±}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{±}{2}}$$
D.$${{±}{2}{\sqrt {3}}}$$
7、['抛物线的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的焦点弦问题'， '抛物线的其他性质'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率40.0%抛物线$$C_{\colon~ x^{2}=2 p y ~ ( p > 0 )}$$焦点$${{F}}$$与双曲线$$2 y^{2}-2 x^{2}=1$$一个焦点重合，过点$${{F}}$$的直线交$${{C}^{′}}$$于点$${{A}{、}{B}}$$，点$${{A}}$$处的切线与$${{x}{、}{y}}$$轴分别交于$${{M}{、}{N}}$$，若$${{△}{O}{M}{N}}$$的面积为$${{4}}$$，则$${{|}{A}{F}{|}}$$的长为（）
C
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
8、['抛物线的焦点弦问题'， '抛物线的其他性质'， '直线与抛物线的交点个数']正确率60.0%已知抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=1 2 x$$，过点$$P ( 2， 0 )$$且斜率为$${{1}}$$的直线$${{l}}$$与抛物线$${{C}}$$相交于$${{A}{、}{B}}$$两点，则线段$${{A}{B}}$$的中点到抛物线$${{C}}$$的准线的距离为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{2}{2}}$$
B.$${{1}{4}}$$
C.$${{1}{1}}$$
D.$${{8}}$$
9、['两点间的斜率公式'， '圆的定义与标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的其他性质'， '直线与抛物线的交点个数'， '直线的斜率']正确率60.0%已知抛物线$$y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$的准线与$${{x}}$$轴交于点$${{M}}$$，以原点$${{O}}$$为圆心的圆与准线交于$${{A}{，}{B}}$$两点，与抛物线交于点$$C ( x_{0}， \sqrt{2} )$$，且$$| A B |=\sqrt{1 1}$$，则直线$${{M}{C}}$$的斜率为
D
A.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
10、['抛物线的标准方程'， '抛物线的其他性质']正确率60.0%若点$${{P}}$$为抛物线$$C_{\colon} ~ y=2 x^{2}$$上的动点，$${{F}}$$为$${{C}}$$的焦点，则$${{|}{P}{F}{|}}$$的最小值为（）
D
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$$\frac{1} {8}$$
1. 抛物线 $$C: y^2 = x$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{1}{4}, 0\right)$$。设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，其方程为 $$y = k\left(x - \frac{1}{4}\right)$$。与抛物线联立得 $$k^2x^2 - \left(\frac{k^2}{2} + 1\right)x + \frac{k^2}{16} = 0$$。设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，由 $$\overrightarrow{AF} = 3\overrightarrow{FB}$$ 得 $$x_1 - \frac{1}{4} = 3\left(\frac{1}{4} - x_2\right)$$，即 $$x_1 + 3x_2 = 1$$。由韦达定理 $$x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{k^2}$$，$$x_1x_2 = \frac{1}{16}$$。解得 $$k^2 = 3$$，故斜率为 $$\pm \sqrt{3}$$，选 B。
3. 抛物线 $$x^2 = 2py$$ 的焦点为 $$F(0, \frac{p}{2})$$。直线 $$l$$ 的斜率为 $$\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$$，方程为 $$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{p}{2}$$。与抛物线联立得 $$x^2 - \frac{2\sqrt{3}p}{3}x - p^2 = 0$$。设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，由韦达定理 $$x_1 + x_2 = \frac{2\sqrt{3}p}{3}$$，$$x_1x_2 = -p^2$$。计算 $$\frac{|AF|}{|BF|} = \frac{y_1 + \frac{p}{2}}{y_2 + \frac{p}{2}} = \frac{x_1^2}{x_2^2} = 3$$，选 C。
5. 抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$。点 $$P_i(x_i, y_i)$$ 到焦点的距离为 $$|P_iF| = x_i + 1$$。由题意 $$\sum_{i=1}^n x_i = 10$$，故 $$\sum_{i=1}^n |P_iF| = n + 10$$，选 A。
7. 双曲线 $$2y^2 - 2x^2 = 1$$ 的焦点为 $$(0, \pm 1)$$，故抛物线 $$x^2 = 2py$$ 的焦点 $$F(0, \frac{p}{2}) = (0, 1)$$，即 $$p = 2$$。抛物线方程为 $$x^2 = 4y$$。点 $$A(x_0, \frac{x_0^2}{4})$$ 处的切线为 $$x_0x = 2(y + \frac{x_0^2}{4})$$，与坐标轴交于 $$M(\frac{x_0}{2}, 0)$$，$$N(0, -\frac{x_0^2}{4})$$。三角形面积为 $$\frac{1}{2} \times \frac{x_0}{2} \times \frac{x_0^2}{4} = 4$$，解得 $$x_0 = 4$$，故 $$|AF| = 5$$，选 C。
9. 抛物线 $$y^2 = 2px$$ 的准线为 $$x = -\frac{p}{2}$$，点 $$M(-\frac{p}{2}, 0)$$。圆方程为 $$x^2 + y^2 = \frac{p^2}{4} + \frac{11}{4}$$。点 $$C(x_0, \sqrt{2})$$ 在抛物线上，代入得 $$x_0 = \frac{1}{p}$$。由圆方程解得 $$p = 2$$，故 $$C(1, \sqrt{2})$$，直线 $$MC$$ 的斜率为 $$\frac{\sqrt{2}}{1 - (-1)} = \frac{\sqrt{2}}{3}$$，选 D。