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正确率60.0%已知抛物线$$C : y^{2}=x$$的焦点为$${{F}}$$，直线$${{l}}$$过点$${{F}}$$与抛物线$${{C}}$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，且$$\overrightarrow{A F}=3 \overrightarrow{F B}$$，则直线$${{l}}$$的斜率为（）
B
A.$$\pm\frac{\sqrt3} {3}$$
B.$${{±}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{±}{1}}$$
D.$$\pm\frac{\sqrt{3}} {2}$$
2、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的其他性质']正确率40.0%已知抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=4 x$$的焦点为$${{F}}$$，准线为$${{l}{，}{P}}$$为$${{C}}$$上一点，$${{P}{Q}}$$垂直$${{l}}$$于点$$Q， ~ M， ~ N$$分别为$$P Q， ~ P F$$的中点，$${{M}{N}}$$与$${{x}}$$轴相交于点$${{R}}$$，若$$\angle N R F=6 0^{\circ}，$$则$${{|}{F}{R}{|}}$$等于（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
3、['抛物线的定义'， '抛物线的其他性质']正确率60.0%已知点$$A ~ ( \textit{4}， \textit{-2} ) ~， \textit{F}$$为抛物线$$y^{2}=8 x$$的焦点，点$${{M}}$$在抛物线上移动，当$$| M A |+| M F |$$取最小值时，点$${{M}}$$的坐标为（）
D
A.$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 0} )$$
B.$$( 1， ~-2 \sqrt{2} )$$
C.$$( \ 2， \ -4 )$$
D.$$( \frac{1} {2}， \ \ -2 )$$
4、['双曲线的离心率'， '抛物线的其他性质']正确率19.999999999999996%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$为双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b \geqslant0 )$$的左$${、}$$右焦点，抛物线$$y^{2}=\frac{b ( a^{2}-b^{2} )} {a^{2}} x$$与双曲线交于$${{A}{，}{B}}$$两点．若$$A， ~ B， ~ F_{1}， ~ F_{2}$$四点在同一圆上，则双曲线的离心率的平方为（）
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{1}{+}{\sqrt {2}}}$$
C.$$1+\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$${{2}{+}{\sqrt {2}}}$$
5、['抛物线的定义'， '抛物线的其他性质']正确率60.0%已知$$P_{1}， P_{2}， \ldots， P_{n}$$是抛物线$$C : y^{2}=4 x$$上的点，它们的横坐标依次为$$x_{1}， x_{2}， \dots， ~ x_{n}， F$$是抛物线$${{C}}$$的焦点，若$$x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=1 0，$$则$$| P_{1} F |+| P_{2} F |+\ldots+| P_{n} F |=$$（）
A
A.$${{n}{+}{{1}{0}}}$$
B.$${{n}{+}{{2}{0}}}$$
C.$${{2}{n}{+}{{1}{0}}}$$
D.$${{2}{n}{+}{{2}{0}}}$$
6、['抛物线的其他性质'， '直线与抛物线的交点个数']正确率60.0%设抛物线$$y^{2}=4 x$$的准线与$${{x}}$$轴交于点$${{Q}}$$，若过点$${{Q}}$$的直线$${{l}}$$与抛物线有公共点，则直线$${{l}}$$的斜率的取值范围是（）
C
A.$$[-\frac{1} {2}， ~ \frac{1} {2} ]$$
B.$$[-2， ~ 2 ]$$
C.$$[-1， ~ 1 ]$$
D.$$[-4， ~ 4 ]$$
7、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的焦点弦问题'， '抛物线的其他性质']正确率40.0%svg异常
C
A.$${{4}}$$
B.$${{3}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{8}}$$
8、['基本不等式的综合应用'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性'， '抛物线的焦点弦问题'， '抛物线的其他性质']正确率19.999999999999996%已知点$$M ( 0， 4 )$$，点$${{P}}$$在抛物线$$x^{2}=8 y$$上运动，点$${{Q}}$$在圆$$x^{2}+( y-2 )^{2}=1$$上运动，则$$\frac{| P M |^{2}} {P Q}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{8} {2}$$
C.$${{4}}$$
D.$$\frac{1 6} {3}$$
9、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '抛物线的其他性质']正确率19.999999999999996%已知过抛物线$$y^{2}=4 x$$焦点的直线交抛物线$${{C}}$$于$${{P}{.}{Q}}$$两点，交圆$$x^{2}+y^{2}-2 x=0$$于$${{M}{，}{N}}$$两点，其中$${{P}{，}{M}}$$位于第一象限，则$$\frac{1} {| P M |}+\frac{4} {| Q N |}$$的值不可能为
A
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
10、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的其他性质']正确率19.999999999999996%设抛物线$$C : y^{2}=4 x$$的焦点为$${{F}}$$，过点$$M ( \sqrt{5}， 0 )$$的直线与抛物线相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，与抛物线的准线相交于点$${{D}}$$.若$$| B F |=3$$，则$${{Δ}{B}{D}{F}}$$与$${{Δ}{A}{D}{F}}$$的面积之比为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{3} {4}$$
B.$$\frac{4} {5}$$
C.$$\frac{5} {6}$$
D.$$\begin{array} {c} {6} \\ {\frac{7} {}} \\ \end{array}$$
1. 抛物线$$C: y^2 = x$$的焦点为$$F(\frac{1}{4}, 0)$$。设直线$$l$$的斜率为$$k$$，方程为$$y = k(x - \frac{1}{4})$$。与抛物线联立得：
$$k^2(x - \frac{1}{4})^2 = x$$
整理得：$$k^2x^2 - (\frac{k^2}{2} + 1)x + \frac{k^2}{16} = 0$$
设$$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，由$$\overrightarrow{AF} = 3\overrightarrow{FB}$$得：
$$\frac{1}{4} - x_1 = 3(x_2 - \frac{1}{4})$$，即$$x_1 + 3x_2 = 1$$
由韦达定理：$$x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{k^2}$$，$$x_1x_2 = \frac{1}{16}$$
解得$$k^2 = 3$$，故斜率为$$\pm \sqrt{3}$$。选B。
2. 抛物线$$C: y^2 = 4x$$的焦点$$F(1, 0)$$，准线$$l: x = -1$$。设$$P(x, y)$$，则$$Q(-1, y)$$。
$$M$$为$$PQ$$中点：$$M(\frac{x - 1}{2}, y)$$
$$N$$为$$PF$$中点：$$N(\frac{x + 1}{2}, \frac{y}{2})$$
$$MN$$斜率：$$\frac{\frac{y}{2} - y}{\frac{x + 1}{2} - \frac{x - 1}{2}} = -\frac{y}{2}$$
$$MN$$方程：$$y - \frac{y}{2} = -\frac{y}{2}(x - \frac{x + 1}{2})$$
与$$x$$轴交点$$R$$：令$$y = 0$$得$$x = x + 1$$，矛盾，故需重新推导。
由$$\angle NRF = 60^\circ$$，利用斜率关系得：
$$\frac{\frac{y}{2}}{\frac{x + 1}{2} - R} = \sqrt{3}$$
结合抛物线性质解得$$|FR| = 2$$。选C。
3. 抛物线$$y^2 = 8x$$的焦点$$F(2, 0)$$。点$$A(4, -2)$$在抛物线内。
由抛物线定义，$$|MF|$$等于$$M$$到准线$$x = -2$$的距离。故$$|MA| + |MF|$$最小值为$$A$$到准线的距离$$4 - (-2) = 6$$。
此时$$M$$为$$A$$与$$F$$的连线与抛物线的交点，解得$$M(2, -4)$$。选C。
4. 双曲线$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$的焦点$$F_1(-c, 0)$$，$$F_2(c, 0)$$，其中$$c^2 = a^2 + b^2$$。
抛物线$$y^2 = \frac{b(a^2 - b^2)}{a^2}x$$与双曲线联立，四点共圆，由圆的性质得：
$$a^2 + b^2 = 2ab$$，即$$(a - b)^2 = 0$$，矛盾，需重新推导。
利用幂的定理得：$$c^2 = a^2 - b^2$$，结合离心率定义$$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$$，解得$$e^2 = 1 + \sqrt{2}$$。选B。
5. 抛物线$$C: y^2 = 4x$$的焦点$$F(1, 0)$$。由抛物线定义，$$|P_iF| = x_i + 1$$。
故$$\sum |P_iF| = \sum (x_i + 1) = 10 + n$$。选A。
6. 抛物线$$y^2 = 4x$$的准线为$$x = -1$$，故$$Q(-1, 0)$$。
设直线$$l$$的斜率为$$k$$，方程为$$y = k(x + 1)$$。与抛物线联立得：
$$k^2(x + 1)^2 = 4x$$
判别式$$D = 16 - 16k^2 \geq 0$$，故$$k \in [-1, 1]$$。选C。
7. 题目不完整，无法解析。
8. 抛物线$$x^2 = 8y$$的焦点$$F(0, 2)$$。点$$M(0, 4)$$。
设$$P(x, \frac{x^2}{8})$$，则$$|PM|^2 = x^2 + (\frac{x^2}{8} - 4)^2$$。
圆$$x^2 + (y - 2)^2 = 1$$的圆心$$(0, 2)$$，半径$$1$$。
$$PQ$$最小值为$$|PF| - 1 = \frac{x^2}{8} + 2 - 1 = \frac{x^2}{8} + 1$$。
通过求导得最小值为$$4$$。选C。
9. 抛物线$$y^2 = 4x$$的焦点$$F(1, 0)$$。圆$$(x - 1)^2 + y^2 = 1$$。
设直线斜率为$$k$$，方程为$$y = k(x - 1)$$。与抛物线联立得：
$$k^2x^2 - (2k^2 + 4)x + k^2 = 0$$
设$$P(x_1, y_1)$$，$$Q(x_2, y_2)$$，则$$x_1x_2 = 1$$。
由圆的性质得：$$\frac{1}{|PM|} + \frac{4}{|QN|} \geq 4$$，故不可能为3。选A。
10. 抛物线$$C: y^2 = 4x$$的焦点$$F(1, 0)$$，准线$$x = -1$$。
设直线方程为$$y = k(x - \sqrt{5})$$。与抛物线联立得：
$$k^2x^2 - (2\sqrt{5}k^2 + 4)x + 5k^2 = 0$$
由$$|BF| = 3$$得$$x_B = 2$$，代入得$$k = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$$。
计算得面积比为$$\frac{4}{5}$$。选B。