抛物线的定义-3.3 抛物线知识点专题进阶选择题自测题解析-江苏省等高一数学选择必修,平均正确率55.99999999999999%

正确率60.0%已知抛物线$${{y}^{2}{=}{8}{x}{，}{O}}$$为坐标原点，过抛物线焦点的直线$${{l}}$$与抛物线相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{|}{A}{B}{|}{=}{{1}{0}}{，}}$$则$${{A}{B}}$$的中点$${{M}}$$到$${{y}}$$轴的距离为（）

B

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{6}}$$

正确率60.0%过抛物线$${{E}{：}{{y}^{2}}{=}{2}{p}{x}{(}{p}{>}{0}{)}}$$焦点$${{F}}$$的直线$${{l}}$$与$${{E}}$$交于$$A \left( \frac p 8， y_{0} \right) ( y_{0} > 0 )， \， \， \， B$$两点．若$$| A F |=\frac{5} {4}$$，则$${{|}{B}{F}{|}{=}}$$

D

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{5}}$$

正确率40.0%抛物线$${{x}^{2}{=}{8}{y}}$$焦点为$${{F}}$$，准线为$${{l}{，}{P}}$$为抛物线上一点，$${{P}{A}{⊥}{l}{，}{A}}$$为垂足，如果直线$${{A}{F}}$$的倾斜角等于$${{6}{0}^{∘}}$$，那么$${{|}{P}{F}{|}}$$等于（）

C

A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

B.$${{4}{\sqrt {3}}}$$

C.$$\frac{8} {2}$$

D.$${{3}}$$

正确率60.0%设抛物线$${{C}{:}{{y}^{2}}{=}{4}{x}}$$的焦点为 $${{F}}$$，直线$${{l}}$$过点$${{M}{{(}{2}{，}{0}{)}}}$$且与$${{C}}$$交于 $${{A}}$$， $${{B}}$$两点，$$| B F |={\frac{3} {2}}$$.若$${{|}{A}{M}{|}{=}{λ}{{|}{B}{M}{|}}{，}}$$则$${{λ}{=}{（}}$$）

D

A.$$\frac{1} {4}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{4}}$$

正确率40.0%已知点$${{F}}$$是抛物线$${{y}{=}{2}{{x}^{2}}}$$的焦点，$${{M}{，}{N}}$$是该抛物线上的两点，若$$| M F |+| N F |=\frac{1 7} {4}$$，则线段$${{M}{N}}$$中点的纵坐标为（）

B

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

B.$${{2}}$$

C.$$\frac{5} {2}$$

D.$${{3}}$$

正确率60.0%已知点$${{A}{（}{2}{，}{2}{）}}$$，点$${{P}}$$为抛物线$${{x}^{2}{=}{4}{y}}$$的动点，$${{F}}$$点为抛物线的焦点，则$${{|}{P}{F}{|}{+}{|}{P}{A}{|}}$$的最小值为（）

C

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

正确率40.0%设抛物线$${{C}{：}{x}{=}{2}{p}{{y}^{2}}}$$$${（{p}{>}{0}{）}}$$的焦点为$${{F}}$$，准线为$${{l}{，}{A}}$$为$${{C}}$$上一点，$${{B}}$$为$${{l}}$$上一点，满足$$\overrightarrow{A F}=\frac{1} {2} \overrightarrow{F B}$$则直线$${{A}{B}}$$的斜率为（）

B

A.$${{±}{4}}$$

B.$${{±}{2}{\sqrt {2}}}$$

C.$${{±}{2}}$$

D.$${{±}{\sqrt {2}}}$$

正确率60.0%过抛物线$${{y}^{2}{=}{4}{x}}$$焦点的直线$${{l}}$$交抛物线于$${{P}{（}{{x}_{1}}{，}{{y}_{1}}{）}{，}{Q}{（}{{x}_{2}}{，}{{y}_{2}}{）}}$$两点，若$${{x}_{1}{+}{{x}_{2}}{=}{4}}$$，则$${{|}{P}{Q}{|}{=}}$$（）

C

A.$${{8}}$$

B.$${{7}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{5}}$$

正确率40.0%已知双曲线$$C_{1} \colon\ {\frac{x^{2}} {a^{2}}}-{\frac{y^{2}} {b^{2}}}=1 ( a > 0， \ b > 0 )$$的焦点为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，其中$${{F}_{2}}$$为抛物线$${{C}_{2}{：}{{y}^{2}}{=}{2}{p}{x}{(}{p}{>}{0}{)}}$$的焦点，设$${{C}_{1}}$$与$${{C}_{2}}$$的一个交点为$${{P}}$$，若$${{|}{P}{{F}_{2}}{|}{=}{|}{{F}_{1}}{{F}_{2}}{|}}$$，则$${{C}_{1}}$$的离心率为（）

B

A.$${\sqrt {5}{−}{1}}$$

B.$${\sqrt {2}{+}{1}}$$

C.$${{3}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$

D.$${\sqrt {5}{+}{1}}$$

1. 抛物线方程为$$y^2=8x$$，焦点为$$(2,0)$$。设直线$$l$$的斜率为$$k$$，其方程为$$y=k(x-2)$$。与抛物线联立得$$k^2x^2-(4k^2+8)x+4k^2=0$$。设$$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$，则$$x_1+x_2=4+\frac{8}{k^2}$$。抛物线定义得$$|AB|=x_1+x_2+4=10$$，解得$$k^2=2$$。中点$$M$$的横坐标为$$\frac{x_1+x_2}{2}=3$$，故距离为$$3$$。

3. 抛物线$$E: y^2=2px$$，焦点$$F\left(\frac{p}{2},0\right)$$。点$$A\left(\frac{p}{8},y_0\right)$$在抛物线上，代入得$$y_0=\frac{p}{2}$$。由$$|AF|=\frac{5}{4}$$，解得$$p=2$$。设$$B(x_2,y_2)$$，由抛物线性质得$$|BF|=x_2+\frac{p}{2}$$。联立直线与抛物线，利用韦达定理得$$x_2=2$$，故$$|BF|=3$$。

4. 抛物线$$x^2=8y$$，焦点$$F(0,2)$$，准线$$l: y=-2$$。设$$P(x_0,y_0)$$，由定义得$$y_0+2=|PF|$$。直线$$AF$$的斜率为$$\sqrt{3}$$，解得$$A(x_0,-2)$$，$$F(0,2)$$，故$$|AF|=4\sqrt{3}$$。由几何关系得$$|PF|=8$$。

5. 抛物线$$C: y^2=4x$$，焦点$$F(1,0)$$。设直线$$l$$为$$y=k(x-2)$$，与抛物线联立得$$k^2x^2-(4k^2+4)x+4k^2=0$$。设$$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$，由$$|BF|=\frac{3}{2}$$得$$x_2=\frac{1}{2}$$。利用韦达定理得$$x_1=8$$，故$$\lambda=4$$。

6. 抛物线$$y=2x^2$$，焦点$$F(0,\frac{1}{8})$$。设$$M(x_1,y_1)$$，$$N(x_2,y_2)$$，由定义得$$|MF|+|NF|=y_1+y_2+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$$，故$$y_1+y_2=4$$。中点纵坐标为$$\frac{y_1+y_2}{2}=2$$。

7. 抛物线$$x^2=4y$$，焦点$$F(0,1)$$。点$$A(2,2)$$在抛物线外，最小值为$$|AF|=3$$。

8. 抛物线$$C: x=2py^2$$，焦点$$F\left(\frac{p}{2},0\right)$$，准线$$l: x=-\frac{p}{2}$$。设$$A(2py_1^2,y_1)$$，$$B(-\frac{p}{2},y_2)$$，由向量条件得$$y_2=-3y_1$$，斜率为$$\pm2\sqrt{2}$$。

9. 抛物线$$y^2=4x$$，焦点$$F(1,0)$$。设直线$$l$$为$$y=k(x-1)$$，与抛物线联立得$$k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0$$。由$$x_1+x_2=4$$得$$k^2=2$$，故$$|PQ|=x_1+x_2+2=6$$。

10. 双曲线$$C_1$$与抛物线$$C_2$$的焦点重合，设$$P(x,y)$$在$$C_2$$上，由$$|PF_2|=|F_1F_2|$$得$$x+\frac{p}{2}=2c$$。代入双曲线和抛物线方程，解得离心率$$e=\sqrt{5}-1$$。