1、['直线与抛物线的综合应用'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%已知点$${{A}}$$是抛物线$${{C}{：}{{x}^{2}}{=}{4}{y}}$$的对称轴与准线的交点，过点$${{A}}$$作抛物线$${{C}}$$的两条切线，切点分别为$${{P}{，}{Q}}$$，则$${{△}{A}{P}{Q}}$$的面积为（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
2、['向量坐标与向量的数量积'， '直线与抛物线的综合应用']正确率40.0%设抛物线$${{C}{:}{{y}^{2}}{=}{4}{x}}$$，过点$${{(}{−}{2}{，}{0}{)}}$$的直线$${{l}}$$与$${{C}}$$交于$${{M}{，}{N}}$$两点，若$${{O}}$$为坐标原点，则$$\overrightarrow{O M} \cdot\overrightarrow{O N}=$$（）
A
A.$${{1}{2}}$$
B.$${{1}{3}}$$
C.$${{1}{4}}$$
D.$${{1}{5}}$$
3、['抛物线的定义'， '直线与抛物线的综合应用']正确率40.0%已知抛物线$${{C}}$$：$${{y}^{2}{=}{4}{x}}$$的焦点为$${{F}{，}}$$过点$${{F}}$$的直线$${{l}}$$与抛物线$${{C}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{|}{B}{F}{|}{=}{3}{|}{A}{F}{|}{，}}$$则直线$${{l}}$$的方程为（）
C
A.$${{y}{=}{±}{2}{(}{x}{−}{1}{)}}$$
B.$$y=\pm\frac1 2 ( x-1 )$$
C.$${{y}{=}{±}{\sqrt {3}}{(}{x}{−}{1}{)}}$$
D.$$y=\pm\frac{\sqrt{3}} {3} ( x-1 )$$
4、['直线与抛物线的综合应用']正确率0.0%已知直线$${{l}}$$：$${{2}{k}{x}{−}{2}{y}{−}{k}{p}{=}{0}}$$与抛物线$${{C}}$$：$${{y}^{2}{=}{2}{p}{x}{(}{p}{>}{0}{)}}$$相交于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点，点$${{M}{(}{−}{1}{，}{−}{1}{)}}$$是抛物线$${{C}}$$的准线与以$${{A}{B}}$$为直径的圆的公共点，则下列结论错误的是$${{(}{)}}$$
A.$${{p}{=}{2}}$$
B.$${{k}{=}{−}{2}}$$
C.$${{△}{M}{A}{B}}$$的面积为$${{5}{\sqrt {5}}}$$
D.$${{|}{A}{B}{|}{=}{5}}$$
6、['直线与抛物线的综合应用']正确率40.0%已知直线$${{l}}$$经过抛物线$${{y}^{2}{=}{4}{x}}$$的焦点$${{F}}$$，且与抛物线交于$${{A}{，}{B}}$$两点（点$${{A}}$$在第一象限）若$$\overrightarrow{B A}=4 \overrightarrow{B F}，$$则$${{△}{A}{O}{B}}$$的面积为（）
B
A.$$\frac{8} {3} \sqrt{3}$$
B.$$\frac{4} {3} \sqrt{3}$$
C.$${\frac{8} {3}} \sqrt{2}$$
D.$${\frac{4} {3}} \sqrt{2}$$
7、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性'， '直线与抛物线的综合应用']正确率40.0%已知抛物线$${{y}^{2}{＝}{4}{x}}$$，过焦点$${{F}}$$作直线与抛物线交于点$${{A}{，}{B}{（}}$$点$${{A}}$$在$${{x}}$$轴下方），点$${{A}_{1}}$$与点$${{A}}$$关于$${{x}}$$轴对称，若直线$${{A}{B}}$$的斜率为$${{1}}$$，则直线$${{A}_{1}{B}}$$的斜率为 （）
C
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
8、['抛物线的定义'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的其他性质']正确率60.0%已知正三角形$${{A}{B}{C}}$$的顶点$${{A}{，}{B}}$$在抛物线$${{y}^{2}{=}{4}{x}}$$上，另一个顶点$${{C}{（}{4}{，}{0}{）}}$$，则这样的正三角形有（）
D
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
9、['抛物线的定义'， '直线与抛物线的综合应用'， '直线的斜率']正确率40.0%已知抛物线$${{C}{：}{{y}^{2}}{=}{8}{x}}$$的焦点是$${{F}}$$，过点$${{F}}$$的直线$${{l}}$$与抛物线$${{C}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，分别过$${{A}{，}{B}}$$两点作直线$${{x}{=}{−}{2}}$$的垂线，垂足分别为$${{E}{，}{H}}$$.若$${{|}{A}{E}{|}{=}{2}{|}{B}{H}{|}}$$，则直线$${{l}}$$的斜率$${{k}{=}}$$
A
A.$${{±}{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{±}{2}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{2}}$$
10、['直线与抛物线的综合应用']正确率80.0%过点$$M ( \frac{1} {2}， 0 )$$的直线$${{l}}$$与抛物线$${{y}^{2}{=}{2}{x}}$$交于$${{A}}$$、$${{B}}$$两点，$${{C}{(}{2}{，}{0}{)}{.}}$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$面积的最小值为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{3} {4}$$
D.$${{2}}$$
1. 解析：
抛物线 $$C: x^2 = 4y$$ 的准线为 $$y = -1$$，对称轴为 $$x = 0$$，故点 $$A$$ 的坐标为 $$(0, -1)$$。求导得 $$y' = \frac{x}{2}$$，设切点 $$P(x_1, y_1)$$，则切线方程为 $$y - y_1 = \frac{x_1}{2}(x - x_1)$$。代入点 $$A(0, -1)$$ 得 $$-1 - y_1 = -\frac{x_1^2}{2}$$，结合 $$x_1^2 = 4y_1$$，解得 $$y_1 = 1$$，$$x_1 = \pm 2$$。因此切点为 $$P(2, 1)$$ 和 $$Q(-2, 1)$$。三角形 $$APQ$$ 的面积为 $$\frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$$，故选 C。
2. 解析：
设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y = k(x + 2)$$。与抛物线 $$C: y^2 = 4x$$ 联立得 $$k^2x^2 + (4k^2 - 4)x + 4k^2 = 0$$。设 $$M(x_1, y_1)$$，$$N(x_2, y_2)$$，则 $$x_1 + x_2 = \frac{4 - 4k^2}{k^2}$$，$$x_1x_2 = 4$$。向量点积为 $$\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON} = x_1x_2 + y_1y_2 = 4 + k^2(x_1 + 2)(x_2 + 2) = 4 + k^2(x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4) = 4 + k^2(4 + 2 \times \frac{4 - 4k^2}{k^2} + 4) = 4 + 12 - 8k^2 = 16 - 8k^2$$。由判别式 $$(4k^2 - 4)^2 - 16k^4 \geq 0$$ 得 $$k^2 \leq \frac{1}{2}$$。当 $$k^2 = \frac{1}{2}$$ 时，点积为 $$16 - 8 \times \frac{1}{2} = 12$$，故选 A。
3. 解析：
抛物线 $$C: y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$。设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y = k(x - 1)$$。与抛物线联立得 $$k^2x^2 - (2k^2 + 4)x + k^2 = 0$$。设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，由抛物线性质 $$|BF| = x_2 + 1$$，$$|AF| = x_1 + 1$$，故 $$x_2 + 1 = 3(x_1 + 1)$$，即 $$x_2 = 3x_1 + 2$$。由韦达定理 $$x_1 + x_2 = \frac{2k^2 + 4}{k^2}$$，$$x_1x_2 = 1$$。代入 $$x_2 = 3x_1 + 2$$ 解得 $$x_1 = \frac{1}{3}$$，$$x_2 = 3$$，进而 $$k^2 = 3$$，故直线方程为 $$y = \pm \sqrt{3}(x - 1)$$，选 C。
4. 解析：
抛物线 $$C: y^2 = 2px$$ 的准线为 $$x = -\frac{p}{2}$$。直线 $$l: 2kx - 2y - kp = 0$$ 化简为 $$y = kx - \frac{kp}{2}$$。圆以 $$AB$$ 为直径，圆心为 $$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$$，准线 $$x = -1$$ 与圆相切于点 $$M(-1, -1)$$，故圆心到准线距离等于半径，即 $$\frac{x_1 + x_2}{2} + 1 = \frac{|AB|}{2}$$。联立直线与抛物线得 $$k^2x^2 - (k^2p + 2p)x + \frac{k^2p^2}{4} = 0$$，由韦达定理 $$x_1 + x_2 = \frac{k^2p + 2p}{k^2}$$，$$x_1x_2 = \frac{p^2}{4}$$。计算得 $$p = 2$$，$$k = -2$$，$$|AB| = 5$$，面积为 $$\frac{5\sqrt{5}}{2}$$，故错误的是 C。
6. 解析：
抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$。设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y = k(x - 1)$$。与抛物线联立得 $$k^2x^2 - (2k^2 + 4)x + k^2 = 0$$。设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，由 $$\overrightarrow{BA} = 4\overrightarrow{BF}$$ 得 $$x_1 - x_2 = 4(1 - x_2)$$，即 $$x_1 = 4 - 3x_2$$。由韦达定理 $$x_1 + x_2 = \frac{2k^2 + 4}{k^2}$$，$$x_1x_2 = 1$$，解得 $$x_2 = 1$$，$$x_1 = 1$$ 或 $$x_2 = \frac{1}{3}$$，$$x_1 = 3$$。后者符合题意，故 $$A(3, 2\sqrt{3})$$，$$B(\frac{1}{3}, -\frac{2\sqrt{3}}{3})$$。三角形面积为 $$\frac{1}{2} \times \frac{8}{3} \times \sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$，选 B。
7. 解析：
设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，由抛物线性质 $$|AF| = x_1 + 1$$，$$|BF| = x_2 + 1$$，由题意 $$x_2 + 1 = 3(x_1 + 1)$$，即 $$x_2 = 3x_1 + 2$$。直线 $$AB$$ 斜率为 $$1$$，故 $$\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = 1$$，即 $$y_2 - y_1 = 2x_1 + 2$$。由 $$y_1^2 = 4x_1$$，$$y_2^2 = 4x_2$$，解得 $$x_1 = \frac{1}{3}$$，$$y_1 = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$$，$$A_1(\frac{1}{3}, \frac{2\sqrt{3}}{3})$$。直线 $$A_1B$$ 的斜率为 $$\frac{y_2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}}{x_2 - \frac{1}{3}} = \sqrt{3}$$，选 B。
8. 解析：
设 $$A(y_1^2/4, y_1)$$，$$B(y_2^2/4, y_2)$$，由正三角形性质及 $$C(4, 0)$$，可得 $$|AB| = |AC| = |BC|$$。通过对称性分析，存在两个不同的正三角形，选 B。
9. 解析：
抛物线 $$C: y^2 = 8x$$ 的焦点为 $$F(2, 0)$$。设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y = k(x - 2)$$。与抛物线联立得 $$k^2x^2 - (4k^2 + 8)x + 4k^2 = 0$$。设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，由抛物线性质 $$|AE| = x_1 + 2$$，$$|BH| = x_2 + 2$$，由题意 $$x_1 + 2 = 2(x_2 + 2)$$，即 $$x_1 = 2x_2 + 2$$。由韦达定理 $$x_1 + x_2 = \frac{4k^2 + 8}{k^2}$$，$$x_1x_2 = 4$$，解得 $$k^2 = 8$$，故 $$k = \pm 2\sqrt{2}$$，选 A。
10. 解析：
设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y = k(x - \frac{1}{2})$$。与抛物线 $$y^2 = 2x$$ 联立得 $$k^2x^2 - (k^2 + 2)x + \frac{k^2}{4} = 0$$。设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，则 $$x_1 + x_2 = \frac{k^2 + 2}{k^2}$$，$$x_1x_2 = \frac{1}{4}$$。三角形面积为 $$\frac{1}{2} \times |CM| \times |y_1 - y_2| = \frac{3}{2} \times |k| \times \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}$$，最小值为 $$\frac{3}{2}$$，选 A。
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