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正确率40.0%已知抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点为$${{F}{，}}$$过焦点$${{F}}$$的直线交抛物线于$${{A}{，}{B}}$$两点$${，{O}}$$为坐标原点，若$$| A B |=6，$$则$${{△}{A}{O}{B}}$$的面积为（）
A
A.$${\sqrt {6}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{4}}$$
2、['椭圆的离心率'， '平面上中点坐标公式'， '数量积的性质'， '抛物线的标准方程']正确率19.999999999999996%已知$${{O}}$$为坐标原点，$${{A}{，}{B}}$$分别是椭圆$$C_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \ ( \matrix} a > b > 0 )$$的左，右顶点，抛物线$$E_{\colon} \ y^{2}=2 p x \ ( p > 0 )$$与椭圆$${{C}}$$在第一象限交于点$${{P}}$$，点$${{P}}$$在$${{x}}$$轴上的投影为$${{P}^{′}}$$，且有$$\overrightarrow{O P} \cdot\frac{\overrightarrow{O P^{\prime}}} {| \overrightarrow{O P^{\prime}} |}=c \langle$$其中$$c^{2}=a^{2}-b^{2} \， ) \， \，， \， \， \， A P$$的连线与$${{y}}$$轴交于点$${{M}{，}{B}{M}}$$与$${{P}{{P}^{′}}}$$的交点$${{N}}$$恰为$${{P}{{P}^{′}}}$$的中点，则椭圆$${{C}}$$的离心率为（）
D
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
3、['抛物线的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知抛物线$${{C}}$$的焦点与双曲线$$x^{2}-y^{2}=1$$的一个焦点相同，且抛物线$${{C}}$$的顶点为原点，则抛物线$${{C}}$$的方程是（）
D
A.$$y^{2}=\pm2 \sqrt{2} x$$
B.$$y^{2}=\pm2 x$$
C.$$y^{2}=\pm4 x$$
D.$$y^{2}=\pm4 \sqrt{2} x$$
4、['抛物线的标准方程'， '抛物线的对称性']正确率60.0%抛物线的顶点在原点，对称轴是$${{x}}$$轴，点$$(-5， 2 \sqrt{5} )$$在抛物线上，则抛物线的方程为（）
B
A.$$y^{2}=-2 x$$
B.$$y^{2}=-4 x$$
C.$$y^{2}=2 x$$
D.$$y^{2}=4 x$$
5、['两点间的斜率公式'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义']正确率40.0%已知直线$${{l}}$$过抛物线$$y^{2}=8 x$$的焦点$${{F}{，}}$$与抛物线交于$${{A}{，}{B}}$$两点，与其准线交于点$${{C}}$$.若点$${{F}}$$是线段$${{A}{C}}$$的中点，则线段$${{B}{C}}$$的长为（）
C
A.$$\frac{8} {2}$$
B.$${{3}}$$
C.$$\frac{1 6} {3}$$
D.$${{6}}$$
6、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的焦点弦问题']正确率60.0%若点$$A ( 4， 4 )$$在抛物线$$y^{2} \!=\! 2 p x$$上，$${{F}}$$为抛物线的焦点，则$$| A F |=( \textsubscript{\Lambda} )$$
C
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
7、['双曲线的离心率'， '抛物线的标准方程'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$$E_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( \matrix\ a > 0， \ b > 0 )$$的左右焦点，$${{F}_{2}}$$与抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=4 \sqrt{3} x$$的焦点重合，点$${{M}}$$在$${{E}}$$上，$${{M}{{F}_{2}}}$$与$${{x}}$$轴垂直，$$| M F_{2} |=2$$，则$${{E}}$$的离心率为（）
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
8、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程']正确率60.0%抛物线$$y=\frac{1} {4} x^{2}$$的焦点坐标为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\left( \frac{1} {8}， 0 \right)$$
B.$$\left( 0， \frac{1} {1 6} \right)$$
C.$$\left( \frac{1} {1 6}， 0 \right)$$
D.$$( 0， 1 )$$
9、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的定义'， '抛物线的焦点弦问题']正确率60.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，直线$${{l}}$$过抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点，交抛物线于$${{A}{，}{B}}$$两点，且线段$${{A}{B}}$$中点的横坐标为$${{3}}$$，则线段$${{A}{B}}$$的长为（）
C
A.$${{6}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{1}{0}}$$
10、['抛物线的标准方程'， '抛物线的对称性'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']正确率40.0%设抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=4 x$$的焦点为$${{F}}$$，过$${{F}}$$点作直线交抛物线$${{C}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点，则$${{△}{A}{O}{B}}$$的最小面积是（）
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{1}}$$
1. 抛物线 $$y^2=4x$$ 的焦点为 $$F(1,0)$$。设过 $$F$$ 的直线斜率为 $$k$$，方程为 $$y=k(x-1)$$。与抛物线联立得 $$k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0$$。设 $$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$，则 $$x_1+x_2=2+\frac{4}{k^2}$$，$$x_1x_2=1$$。由 $$|AB|=6$$ 得 $$\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=6$$，解得 $$k^2=1$$。因此，$$x_1+x_2=6$$，$$x_1x_2=1$$，$$y_1y_2=-4$$。三角形面积 $$S=\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|=\frac{1}{2}\sqrt{(x_1+x_2)^2y_1y_2-4x_1x_2y_1y_2}=2\sqrt{2}$$。故选 B。
2. 椭圆 $$C$$ 的顶点为 $$A(-a,0)$$，$$B(a,0)$$。抛物线 $$E$$ 与椭圆在第一象限交于点 $$P(x,y)$$，$$P'$$ 为 $$P$$ 在 $$x$$ 轴上的投影，即 $$P'(x,0)$$。由 $$\overrightarrow{OP}\cdot\frac{\overrightarrow{OP'}}{|\overrightarrow{OP'}|}=c$$ 得 $$x=c$$。因为 $$P$$ 在椭圆上，代入得 $$\frac{c^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$，解得 $$y=\frac{b^2}{a}$$。直线 $$AP$$ 的斜率为 $$\frac{y}{x+a}=\frac{b^2}{a(c+a)}$$，与 $$y$$ 轴交于点 $$M(0,\frac{b^2}{c+a})$$。直线 $$BM$$ 的斜率为 $$\frac{-\frac{b^2}{c+a}}{a}$$，与 $$PP'$$ 的交点 $$N$$ 为 $$PP'$$ 的中点，即 $$N(c,\frac{y}{2})$$。代入直线 $$BM$$ 的方程得 $$\frac{y}{2}=\frac{-\frac{b^2}{c+a}}{a}(c-a)+\frac{b^2}{c+a}$$，解得 $$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$。故选 B。
3. 双曲线 $$x^2-y^2=1$$ 的焦点为 $$(\pm\sqrt{2},0)$$。抛物线 $$C$$ 的焦点与之相同，故抛物线方程为 $$y^2=\pm4\sqrt{2}x$$。故选 D。
4. 抛物线顶点在原点，对称轴为 $$x$$ 轴，设方程为 $$y^2=-4px$$。点 $$(-5,2\sqrt{5})$$ 代入得 $$(2\sqrt{5})^2=-4p(-5)$$，解得 $$p=1$$。故抛物线方程为 $$y^2=-4x$$。故选 B。
5. 抛物线 $$y^2=8x$$ 的焦点为 $$F(2,0)$$，准线为 $$x=-2$$。设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y=k(x-2)$$。与准线交于点 $$C(-2,-4k)$$。因为 $$F$$ 是 $$AC$$ 的中点，故 $$A(6,4k)$$。代入抛物线方程得 $$(4k)^2=8\times6$$，解得 $$k^2=3$$。与抛物线联立得 $$B$$ 的坐标为 $$(\frac{2}{3},-\frac{8\sqrt{3}}{3})$$。因此 $$BC$$ 的长度为 $$\sqrt{(\frac{2}{3}+2)^2+(-\frac{8\sqrt{3}}{3}+4\sqrt{3})^2}=\frac{16}{3}$$。故选 C。
6. 点 $$A(4,4)$$ 在抛物线 $$y^2=2px$$ 上，代入得 $$16=8p$$，解得 $$p=2$$。焦点 $$F(1,0)$$，故 $$|AF|=\sqrt{(4-1)^2+4^2}=5$$。故选 C。
7. 抛物线 $$C$$ 的焦点为 $$(\sqrt{3},0)$$，故双曲线的右焦点 $$F_2(\sqrt{3},0)$$。由 $$MF_2$$ 与 $$x$$ 轴垂直且 $$|MF_2|=2$$，得 $$M(\sqrt{3},\pm2)$$。代入双曲线方程得 $$\frac{3}{a^2}-\frac{4}{b^2}=1$$。又 $$c^2=a^2+b^2=3$$，解得 $$a=1$$，$$b=\sqrt{2}$$。离心率 $$e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}$$。故选 C。
8. 抛物线 $$y=\frac{1}{4}x^2$$ 化为标准形式 $$x^2=4y$$，焦点为 $$(0,1)$$。故选 D。
9. 抛物线 $$y^2=4x$$ 的焦点为 $$F(1,0)$$。设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y=k(x-1)$$。与抛物线联立得 $$k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0$$。设 $$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$，中点横坐标为 $$\frac{x_1+x_2}{2}=3$$，故 $$x_1+x_2=6$$。由韦达定理得 $$2+\frac{4}{k^2}=6$$，解得 $$k^2=1$$。因此 $$|AB|=x_1+x_2+2=8$$。故选 C。
10. 抛物线 $$C$$ 的焦点为 $$F(1,0)$$。设直线斜率为 $$k$$，方程为 $$y=k(x-1)$$。与抛物线联立得 $$k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0$$。设 $$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$，则 $$x_1+x_2=2+\frac{4}{k^2}$$，$$x_1x_2=1$$。三角形面积 $$S=\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|=\frac{1}{2}\sqrt{(x_1+x_2)^2y_1y_2-4x_1x_2y_1y_2}$$。当 $$k\to\infty$$ 时，$$S$$ 最小为 $$2$$。故选 B。