正确率40.0%设抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点为$${{F}}$$,过点$$P \ ( \ 5, \ 0 )$$的直 线与抛物线相交于$${{A}{,}{B}}$$两点,与抛物线的准线相交于$${{C}}$$,若$$| B F |=5$$,则$${{△}{B}{C}{F}}$$与$${{△}{A}{C}{F}}$$的面积之比$${\frac{S_{\triangle B C F}} {S_{\triangle A C F}}}={\it(}$$)
D
A.$$\frac{5} {6}$$
B.$$\frac{2 0} {3 3}$$
C.$$\frac{1 5} {3 1}$$
D.$$\frac{2 0} {2 9}$$
2、['抛物线上点坐标的范围', '抛物线的顶点、焦点、准线', '直线与抛物线的综合应用']正确率19.999999999999996%已知抛物线$$E_{\colon} ~ y^{2}=2 p x$$($${{p}{>}{0}}$$)的焦点为$${{F}{,}{O}}$$为坐标原点,点$${{M}}$$$$( \mathit{\Pi}-\frac{p} {2}, \mathit{9} ) \mathit{\Pi}, \mathit{\Pi} N$$$$( \mathit{\Pi}-\frac{p} {2}, \mathit{\Pi}-1 )$$,连结$$O M, \ O N$$分别交抛物线$${{E}}$$于点$${{A}{,}{B}}$$,且$$A, ~ B, ~ F$$三点共线,则$${{p}}$$的值为()
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
3、['抛物线上点坐标的范围', '抛物线的顶点、焦点、准线', '抛物线的其他性质']正确率40.0%如果$$P_{1}, ~ P_{2}, ~ P_{3} \ldots$$是抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=4 x$$的点,它们的横坐标依次为$$x_{1}, ~ x_{2}, ~ x_{3} \dots, ~ F$$是抛物线$${{C}}$$的焦点,若$$x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=2 0$$,则$$| P_{1} F |+| P_{2} F |+\ldots+| P_{n} F |=\c($$)
B
A.$${{n}{+}{{1}{0}}}$$
B.$${{n}{+}{{2}{0}}}$$
C.$${{2}{n}{+}{{1}{0}}}$$
D.$${{2}{n}{+}{{2}{0}}}$$
4、['抛物线上点坐标的范围', '抛物线的定义', '抛物线的其他性质']正确率40.0%设$${{F}}$$为抛物线$$y^{2}=8 x$$的焦点,$$A. ~ B. ~ C$$为该抛物线上不同的三点,且$$\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{F B}+\overrightarrow{F C}=\overrightarrow{0}, \, \, \, O$$为坐标原点,若$$\triangle O F A. \, \triangle O F B. \, \triangle O F C$$的面积分别为$$S_{1}, \ S_{2}, \ S_{3}$$,则$$S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}=\mathrm{~ ( ~}$$)
B
A.$${{3}{6}}$$
B.$${{4}{8}}$$
C.$${{5}{4}}$$
D.$${{6}{4}}$$
5、['抛物线上点坐标的范围', '抛物线的顶点、焦点、准线', '抛物线的对称性', '直线与抛物线的综合应用']正确率60.0%过抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=8 x$$的焦点$${{F}}$$的直线$${{l}{(}}$$倾斜角为锐角)交抛物线于$${{P}{,}{Q}}$$两点,若$${{R}}$$为线段$${{P}{Q}}$$的中点,连接$${{O}{R}}$$并延长交抛物线$${{C}}$$于点$${{S}}$$,已知$$| \frac{O S} {O R} |=3$$,则直线$${{l}}$$的斜率是()
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
6、['圆上的点到直线的最大(小)距离', '抛物线上点坐标的范围', '抛物线的顶点、焦点、准线']正确率60.0%已知$${{F}}$$是抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点,$${{M}}$$是抛物线上的一个动点,是一个定点,则$$| M P |+| M F |$$的最小值为()
C
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
7、['抛物线上点坐标的范围', '抛物线的顶点、焦点、准线', '抛物线的定义']正确率60.0%若抛物线$$y^{2}=2 p x \ ( p > 0 )$$上任意一点到焦点的距离恒大于$${{1}}$$,则$${{p}}$$的取值范围是()
D
A.$${{p}{<}{1}}$$
B.$${{p}{>}{1}}$$
C.$${{p}{<}{2}}$$
D.$${{p}{>}{2}}$$
8、['抛物线上点坐标的范围', '抛物线的顶点、焦点、准线', '抛物线的对称性', '抛物线的定义', '直线与抛物线的综合应用']正确率19.999999999999996%已知抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=2 x$$的焦点为$${{F}}$$,直线$${{l}^{′}}$$过$${{F}}$$与$${{C}}$$交于$${{A}{、}{B}}$$两点,与抛物线的准线$${{l}}$$交于点$${{P}}$$,若$$| A F |=2 | B F |$$,则$$| P F |=~ ($$)
B
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{6}}$$
9、['抛物线上点坐标的范围', '抛物线的顶点、焦点、准线', '抛物线的焦点弦问题']正确率40.0%已知直线$${{l}}$$过抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点$${{F}}$$,交抛物线于$${{A}{、}{B}}$$两点,且点$${{A}{、}{B}}$$到$${{y}}$$轴的距离分别为$${{m}{、}{n}}$$,则$$m+n+2$$的最小值为()
C
A.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{6}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{6}}$$
10、['抛物线上点坐标的范围', '抛物线的顶点、焦点、准线', '抛物线的对称性']正确率40.0%过抛物线$$y^{2}=2 p x \ ( p > 0 )$$上一定点$$P ~ ( \ x_{0}, \ y_{0} ) ~ ( y_{0} > 0 )$$,作两条直线分别交抛物线于$$A ~ ( \boldsymbol{x}_{1}, \boldsymbol{y}_{1} ) ~ B ~ ( \boldsymbol{x}_{2}, \boldsymbol{y}_{2} )$$.当$${{P}{A}}$$与$${{P}{B}}$$的斜率存在且倾斜角互补时,$$\frac{y_{1}+y_{2}} {y_{0}}$$的值为()
B
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{2}}$$
D.无法确定
1. 解析:
抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$,准线为 $$x = -1$$。设直线过点 $$P(5, 0)$$,斜率为 $$k$$,其方程为 $$y = k(x - 5)$$。
与抛物线联立得:$$k^2(x - 5)^2 = 4x$$,即 $$k^2x^2 - (10k^2 + 4)x + 25k^2 = 0$$。
设 $$A(x_1, y_1)$$,$$B(x_2, y_2)$$,由抛物线性质 $$|BF| = x_2 + 1 = 5$$,故 $$x_2 = 4$$。
代入抛物线方程得 $$y_2^2 = 16$$,即 $$y_2 = \pm 4$$。将 $$B(4, 4)$$ 或 $$B(4, -4)$$ 代入直线方程,解得 $$k = \pm \frac{4}{-1} = \mp 4$$。
取 $$B(4, 4)$$,则直线方程为 $$y = -4(x - 5)$$。求准线交点 $$C(-1, 24)$$。
计算面积比:$$\frac{S_{\triangle BCF}}{S_{\triangle ACF}} = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{|x_B - x_C|}{|x_A - x_C|} = \frac{5}{6}$$。
答案为 $$\boxed{A}$$。
2. 解析:
抛物线 $$y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$。点 $$M\left(-\frac{p}{2}, 9\right)$$ 和 $$N\left(-\frac{p}{2}, -1\right)$$。
直线 $$OM$$ 方程为 $$y = -\frac{18}{p}x$$,与抛物线联立得 $$A\left(\frac{p^3}{162}, -\frac{p^2}{9}\right)$$。
直线 $$ON$$ 方程为 $$y = \frac{2}{p}x$$,与抛物线联立得 $$B\left(\frac{p^3}{8}, \frac{p^2}{4}\right)$$。
由 $$A, B, F$$ 共线,斜率相等:$$\frac{\frac{p^2}{4} - 0}{\frac{p^3}{8} - \frac{p}{2}} = \frac{-\frac{p^2}{9} - 0}{\frac{p^3}{162} - \frac{p}{2}}$$,解得 $$p = 2$$。
答案为 $$\boxed{B}$$。
3. 解析:
抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$。对于点 $$P_i(x_i, y_i)$$,有 $$|P_iF| = x_i + 1$$。
给定 $$x_1 + x_2 + \dots + x_n = 20$$,则 $$|P_1F| + |P_2F| + \dots + |P_nF| = (x_1 + 1) + (x_2 + 1) + \dots + (x_n + 1) = 20 + n$$。
答案为 $$\boxed{B}$$。
4. 解析:
抛物线 $$y^2 = 8x$$ 的焦点为 $$F(2, 0)$$。设 $$A(x_1, y_1)$$,$$B(x_2, y_2)$$,$$C(x_3, y_3)$$。
由 $$\overrightarrow{FA} + \overrightarrow{FB} + \overrightarrow{FC} = \overrightarrow{0}$$,得 $$(x_1 + x_2 + x_3 - 6, y_1 + y_2 + y_3) = (0, 0)$$,即 $$x_1 + x_2 + x_3 = 6$$,$$y_1 + y_2 + y_3 = 0$$。
面积 $$S_i = \frac{1}{2} |y_i| \cdot 2 = |y_i|$$,故 $$S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 = y_1^2 + y_2^2 + y_3^2$$。
由 $$y_1 + y_2 + y_3 = 0$$,得 $$y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 = 2(y_1y_2 + y_2y_3 + y_3y_1)$$。
利用抛物线性质,$$y_i^2 = 8x_i$$,故 $$y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 = 8(x_1 + x_2 + x_3) = 48$$。
答案为 $$\boxed{B}$$。
5. 解析:
抛物线 $$y^2 = 8x$$ 的焦点为 $$F(2, 0)$$。设直线 $$l$$ 方程为 $$y = k(x - 2)$$,与抛物线联立得 $$k^2x^2 - (4k^2 + 8)x + 4k^2 = 0$$。
设 $$P(x_1, y_1)$$,$$Q(x_2, y_2)$$,中点 $$R\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$。
由韦达定理,$$x_1 + x_2 = \frac{4k^2 + 8}{k^2}$$,$$x_1x_2 = 4$$。
直线 $$OR$$ 方程为 $$y = \frac{y_1 + y_2}{x_1 + x_2}x$$,与抛物线联立得 $$S$$ 的横坐标 $$x_S = \frac{(x_1 + x_2)^2}{4x_1x_2} = \frac{(4k^2 + 8)^2}{16k^4}$$。
由 $$|OS| = 3|OR|$$,得 $$x_S = 9 \cdot \frac{(x_1 + x_2)^2}{4}$$,解得 $$k = 2$$。
答案为 $$\boxed{D}$$。
6. 解析:
抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$,定点 $$P(3, 2)$$。
由抛物线定义,$$|MF|$$ 等于点 $$M$$ 到准线 $$x = -1$$ 的距离。故 $$|MP| + |MF|$$ 最小值为点 $$P$$ 到准线的距离,即 $$3 - (-1) = 4$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
7. 解析:
抛物线 $$y^2 = 2px$$ 上任意点 $$(x, y)$$ 到焦点 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$ 的距离为 $$x + \frac{p}{2}$$。
由题意,$$x + \frac{p}{2} > 1$$ 对所有 $$x \geq 0$$ 成立。当 $$x = 0$$ 时,$$\frac{p}{2} > 1$$,即 $$p > 2$$。
答案为 $$\boxed{D}$$。
8. 解析:
抛物线 $$y^2 = 2x$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{1}{2}, 0\right)$$,准线为 $$x = -\frac{1}{2}$$。
设直线 $$l$$ 方程为 $$y = k\left(x - \frac{1}{2}\right)$$,与抛物线联立得 $$k^2x^2 - (k^2 + 2)x + \frac{k^2}{4} = 0$$。
设 $$A(x_1, y_1)$$,$$B(x_2, y_2)$$,由 $$|AF| = 2|BF|$$,得 $$x_1 + \frac{1}{2} = 2\left(x_2 + \frac{1}{2}\right)$$,即 $$x_1 = 2x_2 + \frac{1}{2}$$。
由韦达定理,$$x_1 + x_2 = \frac{k^2 + 2}{k^2}$$,$$x_1x_2 = \frac{1}{4}$$,解得 $$k^2 = 8$$。
求准线交点 $$P\left(-\frac{1}{2}, -k\right)$$,则 $$|PF| = \sqrt{1 + k^2} = 3$$。
答案为 $$\boxed{B}$$。
9. 解析:
抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$。设直线 $$l$$ 方程为 $$y = k(x - 1)$$,与抛物线联立得 $$k^2x^2 - (2k^2 + 4)x + k^2 = 0$$。
设 $$A(x_1, y_1)$$,$$B(x_2, y_2)$$,则 $$m + n = x_1 + x_2 = \frac{2k^2 + 4}{k^2} = 2 + \frac{4}{k^2}$$。
故 $$m + n + 2 = 4 + \frac{4}{k^2} \geq 4$$,当 $$k \to \infty$$ 时取最小值。
答案为 $$\boxed{C}$$。
10. 解析:
抛物线 $$y^2 = 2px$$ 上点 $$P(x_0, y_0)$$,$$A(x_1, y_1)$$,$$B(x_2, y_2)$$。
由 $$PA$$ 与 $$PB$$ 斜率倾斜角互补,得 $$\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} + \frac{y_2 - y_0}{x_2 - x_0} = 0$$。
利用抛物线性质,化简得 $$\frac{y_1 + y_2}{y_0} = -2$$。
答案为 $$\boxed{B}$$。