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正确率80.0%已知抛物线$${{C}}$$：$$y^{2}=-8 x$$的焦点为$${{F}}$$，动点$${{M}}$$在$${{C}}$$上，圆$${{M}}$$的半径为$${{1}}$$，过点$${{F}}$$的直线与圆$${{M}}$$相切于点$${{N}}$$，则$$\overrightarrow{F M} \cdot\overrightarrow{F N}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
2、['直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的简单几何性质']正确率40.0%已知抛物线$$y^{2}=8 x$$，过焦点$${{F}}$$的直线与抛物线交于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点，过$${{A}}$$，$${{B}}$$分别作$${{y}}$$轴的垂线，垂足分别为$${{C}}$$，$${{D}}$$，则$$A C+B D$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{8}}$$
3、['双曲线的简单几何性质'， '直线与圆锥曲线的其他应用'， '抛物线的简单几何性质']正确率80.0%已知抛物线$$y^{2}=4 x$$在点$$( 2， 2 \sqrt{2} )$$处的切线与双曲线$$C \colon~ \frac{y^{2}} {a^{2}}-\frac{x^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的一条渐近线平行，则$${{C}}$$的离心率为$${{(}{)}}$$
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
4、['等差数列的定义与证明'， '抛物线的简单几何性质'， '抛物线的定义及其标准方程']正确率40.0%抛物线$$C : y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$的焦点是$${{F}}$$，准线是$${{l}{.}}$$过$${{F}}$$的直线与抛物线交于$${{P}}$$，$${{Q}}$$两点，与$${{l}}$$交于点$${{M}{.}}$$已知点$${{Q}}$$在线段$${{F}{M}}$$上，将$${{|}{P}{F}{|}}$$，$${{|}{Q}{F}{|}}$$，$${{|}{M}{Q}{|}}$$经过适当排序，可以组成一个等差数列，则$$\frac{| P F |} {| Q F |}$$的值可以是$${{(}{)}}$$
A.$${{2}}$$和$${{3}}$$
B.$${{3}}$$和$${{4}}$$
C.$${{4}}$$和$${{5}}$$
D.$${{5}}$$和$${{6}}$$
5、['抛物线的简单几何性质'， '抛物线的定义及其标准方程']正确率80.0%若某抛物线过点$$(-1， 3 )$$，且关于$${{x}}$$轴对称，则该抛物线的标准方程为$${{(}{)}}$$
A.$$y^{2}=-9 x$$
B.$$x^{2}=\frac{1} {3} y$$
C.$$y^{2}=-9 x$$或$$x^{2}=\frac{1} {3} y$$
D.$$y^{2}=\pm9 x$$
6、['抛物线的简单几何性质']正确率80.0%抛物线$${{y}{=}{a}{{x}^{2}}}$$的准线方程是$${{y}{=}{2}}$$，则$${{a}}$$的值为$${{(}{)}}$$
A.$$- \frac{1} {8}$$
B.$$\frac{1} {8}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{−}{8}}$$
7、['抛物线的简单几何性质']正确率80.0%已知抛物线$$x^{2}=4 y$$的焦点为$${{F}}$$，点$$B ( 1， 3 )$$，若点$${{A}}$$为抛物线任意一点，当$$| A B |+| A F |$$取最小值时，点$${{A}}$$的坐标为$${{(}{)}}$$
A.$$( {\frac{1} {4}}， 1 )$$
B.$$( 1， \frac{1} {4} )$$
C.$$( 1， 4 )$$
D.$$( 4， 1 )$$
8、['抛物线的简单几何性质']正确率40.0%已知$${{F}}$$为抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点，过点$${{F}}$$作两条直线$${{l}_{1}}$$，$${{l}_{2}}$$，直线$${{l}_{1}}$$与$${{C}}$$交于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点，直线$${{l}_{2}}$$与$${{C}}$$交于$${{D}}$$，$${{E}}$$两点．若$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{D E}=0$$，则四边形$${{A}{D}{B}{E}}$$面积的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{4}{8}}$$
B.$${{3}{2}}$$
C.$${{1}{6}}$$
D.$${{8}}$$
9、['抛物线的简单几何性质']正确率0.0%svg异常
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{6}}$$
10、['抛物线的简单几何性质']正确率80.0%已知抛物线$${{C}}$$：$$y^{2}=4 x$$，点$${{P}}$$为抛物线上任意一点，过点$${{P}}$$向圆$${{D}}$$：$$x^{2}+y^{2}-6 x+8=0$$作切线，切点分别为$${{A}}$$，$${{B}}$$，则四边形$${{P}{A}{D}{B}}$$的面积的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{3}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${\sqrt {7}}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
1. 解析：
抛物线 $$y^{2}=-8x$$ 的焦点为 $$F(-2,0)$$。设动点 $$M(x,y)$$ 在抛物线上，满足 $$y^{2}=-8x$$。圆 $$M$$ 的半径为 1，过 $$F$$ 的直线与圆 $$M$$ 相切于点 $$N$$，则 $$|FM|=\sqrt{(x+2)^{2}+y^{2}}$$，且 $$|FN|=\sqrt{|FM|^{2}-1}$$。
计算点积： $$\overrightarrow{FM} \cdot \overrightarrow{FN} = |FM| \cdot |FN| \cdot \cos \theta = |FM| \cdot |FN| \cdot \frac{|FN|}{|FM|} = |FN|^{2} = |FM|^{2}-1$$
由 $$y^{2}=-8x$$，得 $$|FM|^{2}=(x+2)^{2}+y^{2}=x^{2}+4x+4-8x=x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}$$。
因为 $$x \leq 0$$，所以 $$|FM|=2-x$$，最小值为 $$2$$（当 $$x=0$$ 时）。因此，$$\overrightarrow{FM} \cdot \overrightarrow{FN}$$ 的最小值为 $$2^{2}-1=3$$。
答案：$$\boxed{B}$$
2. 解析：
抛物线 $$y^{2}=8x$$ 的焦点为 $$F(2,0)$$。设过 $$F$$ 的直线为 $$x=ty+2$$，与抛物线联立得： $$y^{2}=8(ty+2) \Rightarrow y^{2}-8ty-16=0$$
设 $$A(x_{1},y_{1})$$，$$B(x_{2},y_{2})$$，则 $$y_{1}+y_{2}=8t$$，$$y_{1}y_{2}=-16$$。
$$AC+BD=|y_{1}|+|y_{2}|$$。由于 $$y_{1}y_{2}=-16$$，$$|y_{1}|+|y_{2}| \geq 2\sqrt{|y_{1}y_{2}|}=8$$，当 $$|y_{1}|=|y_{2}|=4$$ 时取等。
答案：$$\boxed{D}$$
3. 解析：
抛物线 $$y^{2}=4x$$ 在点 $$(2,2\sqrt{2})$$ 处的切线斜率为 $$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{y}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$。
双曲线 $$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$$ 的渐近线斜率为 $$\pm \frac{a}{b}$$。由题意，$$\frac{a}{b}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$。
离心率 $$e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}$$。
答案：$$\boxed{C}$$
4. 解析：
抛物线 $$y^{2}=2px$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{p}{2},0\right)$$，准线为 $$x=-\frac{p}{2}$$。设直线为 $$x=ty+\frac{p}{2}$$，与准线交于 $$M\left(-\frac{p}{2},-\frac{p}{t}\right)$$。
与抛物线联立得 $$y^{2}=2p\left(ty+\frac{p}{2}\right) \Rightarrow y^{2}-2pty-p^{2}=0$$。设 $$P(x_{1},y_{1})$$，$$Q(x_{2},y_{2})$$，则 $$y_{1}+y_{2}=2pt$$，$$y_{1}y_{2}=-p^{2}$$。
由题意，$$|PF|$$、$$|QF|$$、$$|MQ|$$ 成等差数列。计算得 $$|PF|=x_{1}+\frac{p}{2}$$，$$|QF|=x_{2}+\frac{p}{2}$$，$$|MQ|=\sqrt{\left(-\frac{p}{2}-x_{2}\right)^{2}+\left(-\frac{p}{t}-y_{2}\right)^{2}}$$。
经分析，可能的比值为 4 和 5。
答案：$$\boxed{C}$$
5. 解析：
抛物线关于 $$x$$ 轴对称且过点 $$(-1,3)$$，其方程可能为 $$y^{2}=-4px$$ 或 $$x^{2}=4py$$。
代入 $$(-1,3)$$ 得：
- $$9=-4p(-1) \Rightarrow p=\frac{9}{4}$$，方程为 $$y^{2}=-9x$$。
- $$1=4p(3) \Rightarrow p=\frac{1}{12}$$，方程为 $$x^{2}=\frac{1}{3}y$$。
答案：$$\boxed{C}$$
6. 解析：
抛物线 $$y=ax^{2}$$ 的标准形式为 $$x^{2}=\frac{1}{a}y$$，其准线为 $$y=-\frac{1}{4a}$$。由题意，$$-\frac{1}{4a}=2 \Rightarrow a=-\frac{1}{8}$$。
答案：$$\boxed{A}$$
7. 解析：
抛物线 $$x^{2}=4y$$ 的焦点为 $$F(0,1)$$。点 $$B(1,3)$$ 在抛物线外。由抛物线性质，$$|AF|$$ 等于点 $$A$$ 到准线 $$y=-1$$ 的距离。
因此，$$|AB|+|AF|=|AB|+d(A)$$，最小值为 $$B$$ 到准线的距离，即 $$3-(-1)=4$$，此时 $$A$$ 为 $$B$$ 在抛物线上的投影，即 $$A(1,\frac{1}{4})$$。
答案：$$\boxed{B}$$
8. 解析：
抛物线 $$y^{2}=4x$$ 的焦点为 $$F(1,0)$$。设直线 $$l_{1}$$ 和 $$l_{2}$$ 的斜率分别为 $$k$$ 和 $$-\frac{1}{k}$$（因为 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DE}=0$$）。
计算弦长 $$|AB|=4(1+k^{2})$$，$$|DE|=4\left(1+\frac{1}{k^{2}}\right)$$。
四边形面积 $$S=\frac{1}{2}|AB||DE|=8\left(2+k^{2}+\frac{1}{k^{2}}\right) \geq 32$$，当 $$k^{2}=1$$ 时取等。
答案：$$\boxed{B}$$
10. 解析：
抛物线 $$y^{2}=4x$$，圆 $$D$$：$$(x-3)^{2}+y^{2}=1$$，圆心 $$D(3,0)$$，半径 $$r=1$$。
点 $$P(x,y)$$ 在抛物线上，$$y^{2}=4x$$。切线长 $$PA=\sqrt{PD^{2}-r^{2}}=\sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}-1}=\sqrt{x^{2}-2x+8}$$。
四边形面积 $$S=2 \times \frac{1}{2} \times PA \times r=PA$$，最小值为 $$\sqrt{1^{2}-2 \times 1+8}=\sqrt{7}$$（当 $$x=1$$ 时）。
答案：$$\boxed{C}$$