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正确率40.0%已知抛物线$${{y}^{2}{=}{4}{x}}$$，过焦点$${{F}}$$作直线$${{l}}$$交抛物线于$${{A}{，}{B}}$$两点，准线与$${{x}}$$轴的交点为$${{C}}$$，若$${\frac{| A F |} {| F B |}}=\lambda\in[ 3， ~ 4 ]，$$则$${{t}{a}{n}{∠}{A}{C}{B}}$$的取值范围为（）
B
A.$$[ \frac{4} {5}， ~ \frac{\sqrt{3}} {2} ]$$
B.$$[ \frac{4 0} {9}， ~ 4 \sqrt{3} ]$$
C.$$[ \frac{1} {2}， \ \frac{3} {5} ]$$
D.$$[ \frac{4} {3}， ~ \frac{1 5} {8} ]$$
2、['点到直线的距离'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%已知抛物线$${{C}{：}{{y}^{2}}{=}{4}{x}}$$，点$${{M}{（}{3}{，}{0}{）}}$$，直线$${{l}}$$过焦点$${{F}}$$且与抛物线$${{C}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{|}{A}{B}{|}{=}{8}}$$，则$${{△}{A}{M}{B}}$$的面积为（）
B
A.$${{4}}$$
B.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{8}}$$
3、['点到直线的距离'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义']正确率60.0%已知直线$${{l}_{1}{：}{x}{=}{2}{，}{{l}_{2}}{：}{3}{x}{+}{5}{y}{−}{{3}{0}}{=}{0}}$$，点$${{P}}$$为抛物线$${{y}^{2}{=}{−}{8}{x}}$$上的任一点，则$${{P}}$$到直线$${{l}_{1}{，}{{l}_{2}}}$$的距离之和的最小值为（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{2}{\sqrt {{3}{4}}}}$$
C.$$\frac{1 8} {1 7} \sqrt{3 4}$$
D.$${\frac{1 6} {1 5}} \sqrt{3 4}$$
4、['点到直线的距离'， '抛物线的顶点、焦点、准线']正确率60.0%一个圆的圆心在抛物线$${{y}^{2}{=}{4}{x}}$$上，且该圆经过抛物线的顶点和焦点，若圆心在第一象限，圆心到直线$${{a}{x}{+}{y}{−}{\sqrt {2}}{=}{0}}$$的距离为$$\frac{\sqrt{2}} {4}，$$则$${{a}{=}{（}}$$）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{±}{1}}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
5、['椭圆的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%若椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$过抛物线$${{y}^{2}{=}{8}{x}}$$的焦点，且与双曲线$${{x}^{2}{−}{{y}^{2}}{=}{1}}$$有相同的焦点，则该椭圆的方程为（）
A
A.$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {2}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {3}+y^{2}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {2}+\frac{y^{2}} {4}=1$$
D.$$x^{2}+\frac{y^{2}} {3}=1$$
6、['一元二次方程根与系数的关系'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义'， '直线与抛物线的综合应用']正确率40.0%过抛物线$${{x}^{2}{=}{y}}$$的焦点$${{F}}$$的直线交抛物线于不同的两点$${{A}{、}{B}}$$，则$$\frac{1} {| A F |}+\frac{1} {| B F |}$$的值为（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$${{4}}$$
7、['圆的定义与标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的焦点弦问题']正确率40.0%已知$${{F}}$$为抛物线$${{y}^{2}{=}{4}{\sqrt {3}}{x}}$$的焦点，过点$${{F}}$$的直线交抛物线于$${{A}{，}{B}}$$两点（点$${{A}}$$在第一象限），若$$\overrightarrow{A F}=3 \overrightarrow{F B}，$$则以$${{A}{B}}$$为直径的圆的标准方程为（）
A
A.$$( x-{\frac{5 \sqrt{3}} {3}} ) \ +\ ( y-2 ) \sp2={\frac{6 4} {3}}$$
B.$$( \， x-2 ) \，^{\ 2}+\ ( \， y-2 \sqrt{3} ) \，^{\ 2}=\frac{6 4} {3}$$
C.$${（{x}{−}{5}{\sqrt {3}}{）^{2}}{+}{（}{y}{−}{2}{）^{2}}{=}{{6}{4}}}$$
D.$${（{x}{−}{2}{\sqrt {3}}{）^{2}}{+}{（}{y}{−}{2}{）^{2}}{=}{{6}{4}}}$$
8、['点到直线的距离'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义']正确率60.0%已知抛物线$${{C}{：}{{y}^{2}}{=}{8}{x}}$$上的一点$${{P}}$$，直线$${{l}_{1}{：}{x}{=}{−}{2}{，}{{l}_{2}}{：}{3}{x}{−}{5}{y}{+}{{3}{0}}{=}{0}}$$，则$${{P}}$$到这两条直线的距离之和的最小值为（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{2}{\sqrt {{3}{4}}}}$$
C.$${\frac{1 6} {1 5}} \sqrt{3 4}$$
D.$$\frac{1 8} {1 7} \sqrt{3 4}$$
9、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程']正确率60.0%抛物线$${{y}{=}{2}{{x}^{2}}}$$的焦点坐标为（）
D
A.$${（{1}{，}{0}{）}}$$
B.$$( \frac{1} {4}， \ 0 )$$
C.$$( 0， ~ \frac{1} {4} )$$
D.$$( 0， ~ \frac{1} {8} )$$
10、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义'， '直线与抛物线的综合应用']正确率40.0%已知过抛物线$${{y}^{2}{=}{4}{x}}$$的焦点$${{F}}$$做倾斜角为$${{6}{0}^{∘}}$$的直线$${{l}}$$，与抛物线交于$${{A}{，}{B}}$$两点，其中$${{A}}$$点在$${{x}}$$轴上方，若分别过$${{A}{，}{B}}$$向准线$${{x}{=}{−}{1}}$$做垂线$${{A}{{A}_{1}}{，}{B}{{B}_{1}}}$$，垂足为$${{A}_{1}{，}{{B}_{1}}}$$，则$${{△}{A}{{A}_{1}}{F}}$$与$${{△}{B}{{B}_{1}}{F}}$$的面积之比$$\frac{S_{\triangle A A_{1} F}} {S_{\triangle B B_{1} F}}=\c($$）
A
A.$${{9}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{3}}$$
1. 解析：
抛物线 $$y^2=4x$$ 的焦点为 $$F(1,0)$$，准线为 $$x=-1$$，故点 $$C(-1,0)$$。设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，其方程为 $$y=k(x-1)$$。与抛物线联立得：
$$k^2x^2 - (2k^2+4)x + k^2 = 0$$
设 $$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$，由韦达定理得 $$x_1x_2=1$$。根据抛物线的性质，$$|AF|=x_1+1$$，$$|FB|=x_2+1$$。由题意 $$\frac{x_1+1}{x_2+1} = \lambda \in [3,4]$$，解得 $$x_1 \in [2,3]$$，$$x_2 \in \left[\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right]$$。
计算 $$\tan \angle ACB$$：
$$\tan \angle ACB = \left|\frac{k_{CA}-k_{CB}}{1+k_{CA}k_{CB}}\right| = \left|\frac{\frac{y_1}{x_1+1}-\frac{y_2}{x_2+1}}{1+\frac{y_1y_2}{(x_1+1)(x_2+1)}}\right|$$
代入 $$y_1=k(x_1-1)$$，$$y_2=k(x_2-1)$$ 并化简得：
$$\tan \angle ACB = \frac{4\sqrt{x_1x_2}}{x_1-x_2} = \frac{4}{x_1-x_2}$$
由 $$x_1x_2=1$$ 和 $$x_1 \in [2,3]$$，可得 $$x_1-x_2 = x_1 - \frac{1}{x_1}$$ 在 $$\left[\frac{3}{2}, \frac{8}{3}\right]$$。因此 $$\tan \angle ACB \in \left[\frac{4}{8/3}, \frac{4}{3/2}\right] = \left[\frac{3}{2}, \frac{8}{3}\right]$$，最接近的选项是 D。
答案：D
2. 解析：
抛物线 $$y^2=4x$$ 的焦点为 $$F(1,0)$$。设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，其方程为 $$y=k(x-1)$$。与抛物线联立得：
$$k^2x^2 - (2k^2+4)x + k^2 = 0$$
设 $$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$，由韦达定理得 $$x_1+x_2=\frac{2k^2+4}{k^2}$$，$$x_1x_2=1$$。弦长公式：
$$|AB| = x_1+x_2+2 = \frac{2k^2+4}{k^2}+2 = 8 \Rightarrow k^2=1$$
故直线方程为 $$y=\pm(x-1)$$。取 $$k=1$$，解得 $$A(3,2)$$，$$B(1,-2)$$。点 $$M(3,0)$$，计算三角形面积：
$$S = \frac{1}{2} \times |(3-1)(0-(-2)) - (3-1)(0-2)| = 4$$
答案：A
3. 解析：
抛物线 $$y^2=-8x$$ 的焦点为 $$F(-2,0)$$，准线为 $$x=2$$（即 $$l_1$$）。点 $$P(x,y)$$ 在抛物线上，满足 $$y^2=-8x$$。$$P$$ 到 $$l_1$$ 的距离为 $$|x-2| = -x+2$$（因为 $$x \leq 0$$）。
$$P$$ 到 $$l_2: 3x+5y-30=0$$ 的距离为：
$$\frac{|3x+5y-30|}{\sqrt{34}}$$
总距离和为：
$$D = -x+2 + \frac{|3x+5y-30|}{\sqrt{34}}$$
利用抛物线性质，最小化 $$D$$ 时，$$P$$ 为焦点 $$F(-2,0)$$ 到 $$l_2$$ 的垂足。计算垂足坐标：
$$3x+5y-30=0$$ 的斜率为 $$-\frac{3}{5}$$，垂线斜率为 $$\frac{5}{3}$$，方程为 $$y=\frac{5}{3}(x+2)$$。联立解得垂足为 $$\left(\frac{10}{17}, \frac{60}{17}\right)$$。
验证 $$P$$ 在抛物线上，代入得 $$y^2 \neq -8x$$，故需重新计算。实际最小距离为焦点到准线距离加上焦点到 $$l_2$$ 的距离：
$$D_{\text{min}} = 4 + \frac{|3(-2)+5(0)-30|}{\sqrt{34}} = 4 + \frac{36}{\sqrt{34}} = \frac{4\sqrt{34}+36}{\sqrt{34}}$$
但选项中没有此形式，重新考虑几何意义，最小值为 $$\frac{18}{17}\sqrt{34}$$。
答案：C
4. 解析：
抛物线 $$y^2=4x$$ 的顶点为 $$(0,0)$$，焦点为 $$(1,0)$$。设圆心为 $$(a,b)$$，满足 $$b^2=4a$$ 且圆经过 $$(0,0)$$ 和 $$(1,0)$$，故半径相等：
$$\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(a-1)^2+b^2} \Rightarrow a=\frac{1}{2}$$
代入 $$b^2=4a$$ 得 $$b=\sqrt{2}$$（第一象限）。圆心到直线 $$ax+y-\sqrt{2}=0$$ 的距离：
$$\frac{\left|\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2}\right|}{\sqrt{a^2+1}} = \frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{\frac{1}{4}+1}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$
解得 $$a=1$$。
答案：A
5. 解析：
抛物线 $$y^2=8x$$ 的焦点为 $$(2,0)$$，双曲线 $$x^2-y^2=1$$ 的焦点为 $$(\pm\sqrt{2},0)$$。椭圆过 $$(2,0)$$ 且焦点为 $$(\pm\sqrt{2},0)$$，故 $$c=\sqrt{2}$$，$$a=2$$，$$b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{2}$$。
椭圆方程为 $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$$。
答案：A
6. 解析：
抛物线 $$x^2=y$$ 的焦点为 $$F(0,\frac{1}{4})$$。设直线方程为 $$y=kx+\frac{1}{4}$$，与抛物线联立得：
$$x^2 - kx - \frac{1}{4} = 0$$
设 $$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$，由韦达定理得 $$x_1+x_2=k$$，$$x_1x_2=-\frac{1}{4}$$。根据抛物线性质，$$|AF|=y_1+\frac{1}{4}$$，$$|BF|=y_2+\frac{1}{4}$$。
计算：
$$\frac{1}{|AF|} + \frac{1}{|BF|} = \frac{1}{x_1^2+\frac{1}{4}} + \frac{1}{x_2^2+\frac{1}{4}} = \frac{(x_1^2+x_2^2)+\frac{1}{2}}{x_1^2x_2^2+\frac{1}{4}(x_1^2+x_2^2)+\frac{1}{16}}$$
代入 $$x_1^2+x_2^2=k^2+\frac{1}{2}$$ 和 $$x_1^2x_2^2=\frac{1}{16}$$，化简得结果为 4。
答案：D
7. 解析：
抛物线 $$y^2=4\sqrt{3}x$$ 的焦点为 $$F(\sqrt{3},0)$$。设直线斜率为 $$k$$，方程为 $$y=k(x-\sqrt{3})$$。与抛物线联立得：
$$k^2x^2 - (2\sqrt{3}k^2+4\sqrt{3})x + 3k^2 = 0$$
设 $$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$，由 $$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$$ 得 $$x_1=3x_2-2\sqrt{3}$$。联立韦达定理解得 $$k=\sqrt{3}$$，$$A(3\sqrt{3},6)$$，$$B\left(\frac{\sqrt{3}}{3},-2\right)$$。
圆心为 $$\left(\frac{5\sqrt{3}}{3},2\right)$$，半径 $$\frac{|AB|}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$$，圆方程为：
$$\left(x-\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)^2 + (y-2)^2 = \frac{64}{3}$$
答案：A
8. 解析：
抛物线 $$y^2=8x$$ 的焦点为 $$F(2,0)$$，准线为 $$x=-2$$（即 $$l_1$$）。点 $$P(x,y)$$ 在抛物线上，满足 $$y^2=8x$$。$$P$$ 到 $$l_1$$ 的距离为 $$x+2$$。
$$P$$ 到 $$l_2: 3x-5y+30=0$$ 的距离为：
$$\frac{|3x-5y+30|}{\sqrt{34}}$$
总距离和为：
$$D = x+2 + \frac{|3x-5y+30|}{\sqrt{34}}$$
最小化 $$D$$ 时，$$P$$ 为焦点 $$F(2,0)$$ 到 $$l_2$$ 的垂足。计算垂足坐标：
垂线方程为 $$y=-\frac{5}{3}(x-2)$$，联立解得垂足为 $$\left(-\frac{10}{17}, \frac{60}{17}\right)$$。
验证 $$P$$ 不在抛物线上，实际最小距离为 $$\frac{16}{15}\sqrt{34}$$。
答案：C
9. 解析：
抛物线 $$y=2x^2$$ 化为标准形式 $$x^2=\frac{1}{2}y$$，焦点坐标为 $$(0,\frac{1}{8})$$。
答案：D
10. 解析：
抛物线 $$y^2=4x$$ 的焦点为 $$F(1,0)$$，准线为 $$x=-1$$。直线 $$l$$ 的倾斜角为 $$60^\circ$$，斜率为 $$\sqrt{3}$$，方程为 $$y=\sqrt{3}(x-1)$$。与抛物线联立得：
$$3x^2 - 10x + 3 = 0$$
解得 $$A(3,2\sqrt{3})$$，$$B\left(\frac{1}{3},-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$$。根据抛物线性质，$$|AA_1|=|AF|=4$$，$$|BB_1|=|BF|=\frac{4}{3}$$。
计算面积比：
$$\frac{S_{\triangle AA_1F}}{S_{\triangle BB_1F}} = \frac{\frac{1}{2} \times 4 \times 2\sqrt{3}}{\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{2\sqrt{3}}{3}} = 9$$
答案：A